专题07三角形的计算与证明-2023年中考数学大题高分秘籍（原卷版）

2023年中考数学大题高分秘籍（江苏专用）专题07三角形的计算与证明【方法揭秘】揭示思想方法，提升解题效率全等三角形的性质与判定全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；全等三角形的周长相等，面积相等；全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．全等三角形的判定定理：①边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；②边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；③角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；④角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）；⑤对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．（3）判定两个三角形全等的思路（4）全等三角形中常见的辅助线：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．等腰三角形与等边三角形等腰三角形的性质：性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．推论：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；④判定定理在同一个三角形中才能适用．等边三角形的性质①等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．②等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．（4）等边三角形的判定①由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．②）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．③判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．4.直角三角形与勾股定理（1）定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．（2）性质：①直角三角形两锐角互余；②在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（3）判定：①两个内角互余的三角形是直角三角形；②三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（4）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．（5）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．5.相似三角形性质与判定（1）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．（2）性质：①相似三角形的对应角相等；②相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；③相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．（3）判定：①有两角对应相等，两三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；③三边对应成比例，两三角形相似；④两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．相似基本模型：【专项突破】深挖考点考向，揭示内涵实质考向一、全等三角形的性质与判定1．（2022·江苏盐城·盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）校考模拟预测）如图，已知点，，，在一条直线上，，，．(1)求证(2)若，，求的长．2．（2021·江苏常州·常州实验初中校考二模）如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC异侧，ABCD，AE＝DF，∠A＝∠D．(1)求证：AB＝CD；(2)若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．3．（2022·江苏南通·统考二模）在①DE＝BC，②，③AE＝AC这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．问题：如图，AC平分，D是AC上的一点，．若______，求证：．4．（2022·江苏苏州·统考模拟预测）如图，已知AB=CD，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF=CE．(1)说明：△ABE≌△CDF；(2)连接BC，若∠CFD=100°，∠BCE=30°，求∠CBE的度数．5．（2019·江苏徐州·统考三模）在中，，如图①，当，为的平分线时，在上截取，连接DE，易证．(1)如图②，当，为的角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想.(2)如图③，当，为的外角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明.考向二、等腰三角形与等边三角形6．（2017·江苏苏州·统考中考模拟）已知：如图，在四边形中，，点是的中点．(1)求证：是等腰三角形：(2)当°时，是等边三角形．7．（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）如图，在中，，垂足为H，且，E为延长线上一点，过点E作，分别交于F，M．(1)求证；(2)若，求的长．8．（2020·江苏扬州·统考一模）数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：(1)特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AEDB（填“＞”，“＜”或“＝”）．(2)特例启发，解答题目题目中，AE与DB的大小关系是：AEDB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作EFBC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）(3)拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你直接写出结果）．9．（2022·江苏扬州·校联考三模）已知和都为等腰三角形，．(1)当时，①如图1，当点D在上时，请直接写出与的数量关系：；②如图2，当点D不在上时，判断线段与的数量关系，并说明理由；(2)当时，①如图3，探究线段与的数量关系，并说明理由；②当时，请直接写出的长．10．（2022·江苏泰州·统考二模）如图，在中，，，点在上，且．(1)尺规作图：请在的延长线上找一点，使得；（不写作图，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下探索与的数量关系，并说明理由．考向三、直角三角形与勾股定理11．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，已知中，，，，垂直平分交于，交于，连接，求的长．12．（2022·江苏南京·统考二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC上且DA⊥AC，垂足为A．(1)求证：；(2)若BD＝2，则AC的长是______．13．（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考二模）已知△ABC，∠B=60°，．(1)如图1，若，求AC的长；(2)试确定四边形ABCD，满足∠ADC+∠B=180°，且AD=2DC．（尺规作图，不需写作法，但要保留作图痕迹．）14．（2022·江苏苏州·统考一模）定义：若一个三角形一边长的平方等于另两边长的乘积的2倍，我们把这个三角形叫做有趣三角形．(1)若是有趣三角形，，，则______；(2)已知等腰的周长为10，若是有趣三角形，求的腰长；(3)如图，在中，，点，在边上，且是以为斜边的等腰直角三角形．求证：由三条线段，，组成的三角形是有趣三角形．15．（2022·江苏南通·统考一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为BC边上一点（与B，C不重合），连接AD，过点C作CE⊥AD交AB于点E，设CD＝a，(1)求证：∠CAD＝∠BCE；(2)当a＝时，求BE的长；(3)探究的值（用含a的代数式表示）．考向四、几何基本作图16．（2022·江苏无锡·校考二模）如图，，P为线段上的一点．

(1)在图①中仅用圆规和无刻度直尺分别在、上分别作点E、F，使，且．无需写出作图步骤，但保留作图痕迹；(2)若，求．（图②供问题（2）用）17．（2022·江苏盐城·校考三模）如图，在中，点是的中点，．(1)试用无刻度的直尺和圆规，在上作一点，使得直线平分的周长；(不要求写作法，但要保留作图痕迹)；(2)在（1）的条件下，若，，求的长．18．（2020·江苏盐城·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．(1)尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作BC的垂线，垂足为E．(2)在（1）作出的图形中，求DE的长．19．（2022·江苏盐城·滨海县第一初级中学校考三模）如图，一张矩形纸片ABCD中，，．将矩形纸片折叠，使得点A与点C重合，折痕交AD于点M，交BC于点N．(1)请在图中用圆规和无刻度的直尺作出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，连接AN、CM，判断四边形ANCM的形状并说明理由；(3)若，，求折痕MN的长．20．（2022·江苏南京·统考二模）已知△ABC，请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）．(1)在图①中，BC所在直线的下方求作一点M，使得∠BMC＝∠A；(2)在图②中，BC所在直线的下方求作一点N，使得∠BNC＝2∠A．考向五、相似三角形21．（2022·江苏盐城·校考一模）如图，点D是△ABC的边AB上一点，∠ABC＝∠ACD．(1)求证：△ABC∽△ACD；(2)当AD＝2，AB＝3时，求AC的长．22．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，中，平分，，(1)求证：﹔(2)若，求．23．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）已知：中，为边上的一点(1)如图①，过点作DE//AB交边于点若，，，求的长；(2)在图②中，用无刻度的直尺和圆规在边上作点，使；保留作图痕迹，不要求写作法(3)如图③，点在边上，连接、若，的面积等于，以为半径作，试判断直线与的位置关系，并说明理由．24．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，点E、F、G分别在边上，且．(1)求证：；(2)若，求的长.25．（2023秋·江苏泰州·九年级泰州市第二中学附属初中校考期末）（1）如图1，、为等边中边所在直线上两点，，求证：；（2）中，，请用不含刻度的直尺和圆规在上求作两点、，点在点的左侧，使得为等边三角形；（3）在（1）的条件下，为边上一点，过作交延长线于点，交延长线于点，若，，，求的值．（用含有的代数式表示）考向六、三角形综合问题26．（2023秋·江苏南通·八年级校联考期末）（1）如图1，在中．点D，E，F分别在边上，，．求证；（2）如图2．在中．．点D，F分别是边上的动点．且．以为腰向右作等腰．使得．连接．①试猜想线段之间的数量关系，并说明理由．②如图3．已知，点G是的中点，连接．请直接写出的度数和的最小值．27．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，的角平分线，，、所对的边记为a、c．(1)当时，求a的值；(2)求的面积（用含a，c的式子表示即可）；(3)求证：a，c之和等于a，c之积．28．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）(1)如图1，在四边形中，，，对角线，求四边形的面积；(2)如图2，园艺设计师想在正六边形草坪一角内改建一个小型的儿童游乐场，其中平分，米，，点M，N分别在射线和上，且，为了尽可能的少破坏草坪，要使游乐场面积最小，你认为园林规划局的想法能实现吗？若能，请求出游乐场面积的最小值；若不能，请说明理由．29．（2022秋·江苏常州·八年级校考期中）如图1，在中，，D为射线上（不与B、C重合）一动点，在的右侧射线的上方作．使得，，连接．(1)找出图中的一对全等三角形，并证明你的结论；(2)延长交的延长线于点F，若，①利用（1）中的结论求出的度数；②当是等腰三角形时，直接写出的度数；(3)当D在线段上时，若线段，面积为3，则四边形周长的最小值是．30．（2022春·江苏·九年级专题练习）(1)如图1，点在线段上，点、在线段上方，连接、、、、，当时，（填“”或“”；(2)如图2，点在线段上，点、在线段上方，连接、、、、，当锐角时，（1）中的结论是否依然成立？请说明理由；(3)如图3，在中，，，点为边中点．点是边上一个动点，由点A出发，以每秒的速度，沿边向点运动，点在边上，且．点的运动时间为（秒），当为等腰三角形时，请直接写出的值．【真题再现】直面中考真题，实战培优提升一、解答题1．（2022·江苏淮安·统考中考真题）已知：如图，点A、D、C、F在一条直线上，且AD=CF，AB=DE，∠BAC=∠EDF．求证：∠B=∠E．2．（2022·江苏常州·统考中考真题）如图，点A在射线OX上，OA=a．如果OA绕点O按逆时针方向旋转n°(0<n≤360)到OA′，那么点A′(1)按上述表示方法，若a=3，n=37，则点A′(2)在（1）的条件下，已知点B的位置用3,74°表示，连接A′A、A′3．（2021·江苏无锡·统考中考真题）已知：如图，AC，DB相交于点O，AB=DC，∠ABO=∠DCO．求证：（1）△ABO≌△DCO；（2）∠OBC=∠OCB．4．（2020·江苏镇江·统考中考真题）如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E、F分别在AB、BC上，BE＝CD，BF＝CA，连接EF．（1）求证：∠D＝∠2；（2）若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数．5．（2020·江苏徐州·统考中考真题）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC=BC．DC=EC，AE与BD交于点F．（1）求证：AE=BD；（2）求∠AFD的度数．6．（2021·江苏徐州·统考中考真题）如图，将一张长方形纸片ABCD沿E折叠，使C,A两点重合．点D落在点G处．已知AB=4，BC=8（1）求证：ΔAEF是等腰三角形；（2）求线段FD的长．7．（2022·江苏无锡·统考中考真题）如图，△ABC为锐角三角形．(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且CD⊥AD；（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若∠B=60∘，AB=2，BC=3，则四边形ABCD的面积为8．（2022·江苏苏州·统考中考真题）如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为E，AE与CD交于点F．(1)求证：△DAF≌△ECF；(2)若∠FCE=40°，求∠CAB的度数．9．（2021·江苏常州·统考中考真题）如图，B、F、C、E是直线l上的四点，AB//（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）将△ABC沿直线l翻折得到△A①用直尺和圆规在图中作出△A②连接A′D，则直线A′10．（2021·江苏泰州·统考中考真题）（1）如图①，O为AB的中点，直线l1、l2分别经过点O、B，且l1∥l2，以点O为圆心，OA长为半径画弧交直线l2于点C，连接AC．求证：直线l1垂直平分AC；（2）如图②，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两直线间距离相等，点P、Q分别在直线l1、l4上，连接PQ．用圆规和无刻度的直尺在直线l4上求作一点D，使线段PD最短．（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹）11．（2021·江苏南京·统考中考真题）如图，AC与BD交于点O，OA=OD,∠ABO=∠DCO，E为BC延长线上一点，过点E作EF//CD，交BD的延长线于点F．（1）求证△AOB≌△DOC；（2）若AB=2,BC=3,CE=1，求EF的长．12．（2020·江苏淮安·统考中考真题）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A、B、C，测得∠CAB=30°，∠ABC=45°，AC=8千米，求A、B两点间的距离．（参考数据：2≈1.4，313．（2020·江苏泰州·统考中考真题）如图，已知线段a，点A在平面直角坐标系xOy内，（1）用直尺和圆规在第一象限内作出点P，使点P到两坐标轴的距离相等，且与点A的距离等于a．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，若a≈25，A点的坐标为3,1，求P14．（2020·江苏苏州·统考中考真题）问题1：如图①，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，P是BC上一点，PA=PD，∠APD=90°．求证：AB+CD=BC．问题2：如图②，在四边形ABCD中，∠B=∠C=45°，P是BC上一点，PA=PD，∠APD=90°．求AB+CDBC15．（2020·江苏无锡·统考中考真题）如图，已知AB//CD，AB=CD，BE=CF．求证：（1）ΔABF≅ΔDCE；（2）AF//DE．16．（2020·江苏淮安·统考中考真题）【初步尝试】（1）如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为；【思考说理】（2）如图②，在三角形纸片ABC中，AC=BC=6，AB=10，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求AMBM【拓展延伸】（3）如图③，在三角形纸片ABC中，AB=9，BC=6，∠ACB=2∠A，将△ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点B′处，折痕为CM①求线段AC的长；②若点O是边AC的中点，点P为线段OB′上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A′PM，点A的对应点为点A′，A′17．（2021·江苏徐州·统考中考真题）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边AD上（P不与A,D重合），连接PB,PC．将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到PE，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到PF．连接EF,EA,FD．（1）求证：①ΔPDF的面积S=1②EA=FD；（2）如图2，EA.FD的延长线交于点M，取EF的中点N，连接MN，求MN的取值范围．1