专题19变量之间的关系应用题专练

专题19变量之间的关系应用题专练题型一行程问题中的变量关系1．、两地相距20千米，甲、乙两人都从地去地，图中射线和分别表示甲、乙两人所走路程（千米）与时间（小时）之间的关系．下列说法：①乙晚出发1小时；②乙出发3小时后追上甲；③甲的速度是4千米小时，乙的速度是6千米小时；④乙先到达地．其中正确的个数是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：由函数图象可知，乙比甲晚出发1小时，故①正确；乙出发小时后追上甲，故②错误；甲的速度为：（千米小时），故③正确；乙的速度为：（千米小时），则甲到达地用的时间为：（小时），乙到达地用的时间为：（小时），，乙先到达地，故④正确；正确的有3个．故选：．2．甲、乙两同学从地出发，骑自行车在同一条路上行驶到地，他们离出发地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的关系图象如图2所示，根据图中提供的信息，有下列说法：（1）他们都行驶了18千米；（2）甲在途中停留了0.5小时；（3）乙比甲晚出发了0.5小时；（4）相遇后，甲的速度小于乙的速度；（5）甲、乙两人同时到达目的地．其中符合图象描述的说法有A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：（1）两函数图象中的最大值为18，他们都行驶了18千米，说法（1）符合题意；（2）（小时），甲在途中停留了0.5小时，说法（2）符合题意；（3）观察函数图象可知，乙比甲晚出发了0.5小时，说法（3）符合题意；（4）当时，甲的函数图象在乙的函数图象的下方，相遇后，甲的速度小于乙的速度，说法（4）符合题意；（5）乙2小时到达目的地，甲2.5小时到达目的地，甲比乙晚0.5小时到达目的地，说法（5）不符合题意．综上所述：符合题意得说法有4个．故选：．3．甲、乙两车都从地出发，沿相同的道路，以各自的速度匀速驶向地．甲车先出发，乙车出发一段时间后追上甲并反超，乙车到达地后，立即按原路返回，在途中再次与甲车相遇．若两车之间的路程为（千米），与甲车行驶的时间（小时）之间的图象如图所示乙车从地出发到返回地需小时．【解答】解：设甲车的速度为千米小时，乙的速度为千米小时，甲乙第一相遇之后在小时，相距200千米，，解得，，乙车从地出发到返回地需要：（小时），故答案为：．4．甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从地到地，乙驾车从地到地，他们分别以不同的速度匀速行驶，已知甲先出发6分钟后，乙才出发，在整个过程中，甲、乙两人的距离（千米）与甲出发的时间（分之间的关系如图所示，当乙到达终点时，甲还需78分钟到达终点．【解答】解：由纵坐标看出甲先行驶了1千米，由横坐标看出甲行驶1千米用了6分钟，甲的速度是千米分钟，由纵坐标看出两地的距离是16千米，设乙的速度是千米分钟，由题意，得，解得千米分钟，相遇后乙到达站还需分钟，相遇后甲到达站还需分钟，当乙到达终点时，甲还需分钟到达终点，故答案为：78．5．甲、乙两车同时从地出发，沿同一条笔直的公路匀速前往相距的地，半小时后甲发现有东西落在地，于是立即以原速返回地取物品，取到物品后立即以比原来速度每小时快继续前往地（所有掉头时间和领取物品的时间忽略不计），甲、乙两车之间的距离与甲车行驶的时间之间的部分函数关系如图所示：当甲车到达地时，乙车离地的距离是．【解答】解：甲出发到返回用时0.5小时，返回后速度不变，返回到地的时刻为，此时，乙的速度为60千米时．设甲重新出发后的速度为千米时，列得方程：，解得：．设甲在第小时到达地，列得方程：，解得：．此时乙行驶的路程为：（千米）．离地距离为：（千米）．故答案为：．6．2017年3月19日在都江堰举行了成都双遗马拉松比赛，全程50公里，比赛前一大组委会安排工作人员对沿途的后勤保障工作的准备情况进行检查．组委会先安排甲在下午1时骑自行车沿比赛线路从起点出发驶向终点，后又有紧急任务安排乙骑摩托车沿比赛线路从起点驶向终点，如图所示，图中的折线和线段分别表示甲、乙两人行驶的路程与该日下午的时间之间的关系．请根据图象回答下列问题：（1）填空：甲比乙早出发1小时；（2）求乙全程行驶的平均速度及甲在下午2时以后行驶的平均速度；（3）试问乙从出发到追上甲需要多长时间？【解答】解：（1）由图象可知：甲从1时开始出发，乙从2时开始出发，，故甲骑车出发1小时后，乙骑摩托车才开始出发．故答案为：1；（2）由图象可知：乙的行驶路程为50千米，时间为小时，乙骑摩托的行驶速度为千米小时，甲骑自行车在下午2时至5时的行驶路程为的距离，千米，时间为小时，甲骑自行车在下午2时至5时的行驶速度为千米小时；答：乙骑摩托的行驶速度为50千米小时；甲骑自行车在下午2时至5时的行驶速度10千米小时；（3）设相遇时乙出发了小时，此时二者行驶距离相同，，解得：小时答：乙从出发到追上甲需要0.5小时．7．疫情防控常态化后，防控部门根据疫情的变化，积极调配防疫资源．为了调配医疗物资，甲、乙两辆汽车分别从、两个城市同时出发，沿同一条公路相向而行，匀速前往地、地，在途中的服务区两车相遇，休整了后，又各自以原速度继续前往目的地，两车之间的距离和所用时间之间的关系的图象如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题：（1）图中的自变量是时间，因变量是；（2）、两地相距；（3）在如图中，；（4）甲车的速度为．【解答】解：（1）横轴是时间，纵轴是两车之间的距离，所以自变量是时间（或，因变量是两车之间的距离（或；故答案为：时间；两车之间的距离；（2）由图象可知，、两地相距；故答案为：900；（3）设甲车的速度为，乙车的速度为，根据题意，得：，解得，且满足题意，；故答案为：12；（4）由（3）可知，甲车的速度为．故答案为：90．8．2015年5月中旬，中国和俄罗斯海军在地中海海域举行了代号为“海上联合（1）”的联合军事演习，这是中国第一次地中海举行军事演习，也是这个海军距本土最远的一次军演，某天，“临沂舰”、“潍坊舰”两舰同时从、两个港口出发，均沿直线匀速驶向演习目标地海岛，两舰艇都到达岛后演习第一阶段结束，已知港位于港、岛之间，且、、在一条直线上，如图所示，、分别表示“临沂舰”、“潍坊舰”离港的距离行驶时间变化的图象．（1）港与岛之间的距离为；（2）分别求出“临沂舰”、“潍坊舰”的航速及相遇时行驶的时间；（3）若“临沂舰”、“潍坊舰”之间的距离不超过时就属于最佳通讯距离，求出两舰艇在演习第一阶段处于最佳通讯距离时的的取值范围．【解答】解：（1）由图象，得港与岛之间的距离为：；故答案为：；（2）“临沂舰”的航速：，“潍坊舰”的航速：，，设的解析式为，的解析式为，由图象得，，，解得：，，，，当时，，，相遇时行驶的时间为；（3）当时，则，解得，当时，则，解得处于最佳通讯距离时的的取值范围为．9．一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为千米，出租车离甲地的距离为千米，两车行驶的时间为小时，、关于的函数图象如图所示．（1）根据图象，求出、关于的函数关系式；（2）设两车之间的距离为千米．①求两车相遇前关于的函数关系式；②求出租车到达甲地后关于的函数关系式．（3）甲、乙两地间有、两个加油站，相距200千米，加油站在甲地与加油站之间，若两车相遇后，客车进入加油站时，出租车恰好进入加油站，求此时两车的行驶时间的值和加油站到甲地的距离．【解答】解：（1）设，代入点，得：，；设，代入点，，得：，；（2）①由题意，得，②；（3）由题意，得，解得，此时，加油站距离甲地：，所以，此时两车的行驶时间为5小时，加油站到甲地距离为．10．高铁的开通，给大家出行带来了极大的方便，五一期间，小张和小李到剑门关风景区游玩，小张乘私家车从成都东站出发0.5小时后，小李乘坐高铁从成都东站出发，先到广元站，然后转乘出租车到剑门关风景区（换车时间忽略不计），两人恰好同时到达剑门关风景区，他们离开成都的距离（千米）与时间（小时）的关系如图所示，请结合图象解决下面问题：（1）小李乘坐高铁的平均速度是千米小时；（2）小张乘的私家车平均速度是小李乘的高铁平均速度的，小张乘的私家车平均速度是小李乘的出租车的平均速度的倍，求，的值．（3）求线段所表示的与的关系式．【解答】解：（1）由图可得，小李乘坐高铁的平均速度是：（千米小时），故答案为：；（2）小张乘的私家车平均速度是：（千米小时），小李乘的出租车的平均速度是：（千米小时），，解得，，，即的值是3，的值是210；（3）设线段所表示的与的关系式是，，得，即线段所表示的与的关系式是．11．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，到达目的地后停止，设慢车行驶时间为小时，两车之间的距离为千米，两者的关系如图所示，根据图象探究：（1）看图填空：两车出发小时，两车相遇；（2）求快车和慢车的速度；（3）求线段所表示的与的关系式，并求两车行驶6小时两车相距多少千米．【解答】解：（1）由图知：两车出发4.8小时相遇；（2）快车8小时到达，慢车12小时到达，故：快车速度为（千米时），慢车速度为（千米时）；（3）由题可得，点是快车刚到达乙地，点的横坐标是8，纵坐标是：，即点的坐标为．设线段对应的函数解析式为，点，点，，解得，线段所表示的与的函数关系式是．当时，，即两车行驶6小时两车相距300千米．题型二几何图形中的变量关系12．如图1，，是线段上一点，分别以、为边作正方形，设，这两个正方形的面积之和为，且与之间的关系如图2所示，则下列说法中正确的是A．在点由点向点运动过程中，有最小值为2 B．在点由点向点运动过程中，的值不变 C．与之间的关系式为 D．当时，的值越来越大【解答】解：，，，，故错误；由图可得，当时，有最小值2，故正确；在点由点向点运动过程中，的值先变小，再变大，故错误；当时，的值越来越小，故错误；故选：．13．已知：如图①，长方形中，是边上一点，且，，点从出发，沿折线匀速运动，运动到点停止．的运动速度为，运动时间为，的面积为，与的函数关系图象如图②，则下列结论正确的有①②③当时为等腰三角形④当时，A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：当点运动到点时，面积最大，结合函数图象可知当时，面积最大为40，．，．则．当点从点到点时，所用时间为，．故①正确；点运动完整个过程需要时间，即，②错误；当时，，又，（两直线平行，内错角相等），，，，是等腰三角形，故③正确；当时，点运动的路程为，此时，面积为，④错误．正确的结论有①③．故选：．14．已知动点以的速度沿图1所示的边框从的路径运动，记的面积为，与运动时间的关系如图2所示，若，则13．【解答】解：由图得，点在上移动了，故点在上移动了，故点在上移动了，故由可得，点在上移动了由，可得点在上移动了为点走完全程的时间：．故．故答案为：1315．如图1，在中，点从点出发向点运动，在运动过程中，设表示线段的长，表示线段的长，与之间的关系如图2所示，当线段最短时，与的周长的差为5.5．【解答】解：当线段最短时，，从图2可以看出：，，，，此时，，的周长，的周长，故：与的周长的差为5.5，故答案为5.5．16．如图1，在长方形中，动点从点出发，沿运动，至点处停止．设点运动的路程为，的面积为，与的关系如图2所示，则当时，对应的的值是1或7．【解答】解：由②知，当时，，即，解得：，如下图，在点的坐标为，点，则的表达式为：，当时，，根据函数图象的对称性，则时，另外一个的值为7，故答案为1或7．17．如图①，在长方形中，，，点从出发，沿路线运动，到停止，点的速度为每秒，秒时点改变速度，变为每秒，图②是点出发秒后的面积与（秒的关系图象．（1）参照图②，求、及图②中的值；（2）设点离开点的路程为，请直接写出动点改变速度后与出发后的运动时间（秒的关系式；（3）当点出发多少秒后，的面积是长方形面积的？【解答】解：（1）根据图象可知，，，；（2），，动点改变速度后与出发后的运动时间（秒的函数关系式为：，（3）①当时，，；②当时，，；③当运动到点时，解得：，即：时，；④当时，，，综上：，，①时，，满足，符合，②时，，不满足，舍去，③时，，舍去，④，，符合，所以点出发后5秒或14.5秒，的面积是长方形面积的．18．如图在长方形中，，，点从点出发，沿路线运动，到点停止；点从点出发，沿运动，到点停止．若点、点同时出发，点的速度为每秒，点的速度为每秒，用（秒表示运动时间．（1）求点和点相遇时的值．（2）连接，当平分矩形的面积时，求运动时间值．（3）若点、点运动到6秒时同时改变速度，点的速度变为每秒，点的速度为每秒，求在整个运动过程中，点、点在运动路线上相距路程为时运动时间值．【解答】解：（1）根据题意得：，解得：．答：点和点相遇时的值为．（2）平分矩形的面积，，即或，解得：或．答：当运动4秒或20秒时，平分矩形的面积．（3），，，变速前点、点在运动路线上可以相距；，，，变速后且点未到达点时，点、点在运动路线上可以相距．变速前：，解得：；变速后：，解得：．答：当运动时间为4秒或秒时，点、点在运动路线上相距路程为．题型三其他类型的变量关系19．如图表示某加工厂今年前5个月每月生产某种产品的产量（件与时间（月之间的关系，则对这种产品来说，该厂A．1月至3月每月产量逐月增加，4，5两月产量逐月减小 B．1月至3月每月产量逐月增加，4，5两月产量与3月持平 C．1月至3月每月产量逐月增加，4，5两月产量均停止生产 D．1月至3月每月产量不变，4，5两月均停止生产【解答】解：由图中可以看出，函数图象在1月至3月，图象由低到高，说明随着月份的增加，产量不断提高，从3月份开始，函数图象的高度不再变化，说明产量不再变化，和3月份是持平的．故选：．20．小明家最近购买了一套住房，准备在装修时用木质地板铺设卧室，用瓷砖铺设客厅，经市场调查得知，买这两种材料和用这两种材料铺设地面的工钱都不一样．小明根据地面的面积，对铺设卧室和客厅的费用（购买材料费和工钱）分别做了预算，并用（平方米）表示铺设地面的面积，用（元表示购买和铺设的总费用，并制成下图，请你根据图中所提供信息，解答下列问题：（1）铺设卧室每平方米的费用为135元，铺设客厅每平方米的费用为元；（2）表示铺设卧室的费用（元与面积（平方米）之间的关系式为；表示铺设客厅的费用（元与面积（平方米）之间的关系式为．（3）已知在小明的预算中，铺设瓷砖的工钱比铺设木质地板的工钱多5元，购买瓷砖的单价是购买木质地板的单价的，那么铺设木质地板、瓷砖的工钱单价各是多少元？购买木质地板、瓷砖的单价各是多少元？【解答】解：（1）由题得：，，即预算中铺设居室的费用为135元；铺设客厅的费用为110元；故答案是：135；110；（2）；；故答案是：；；（3）设铺木质地板的工钱为元平方米，那么铺瓷砖的工钱为元平方米，设购买木质地板费用是元，那么购买的瓷砖的费用是元．根据题意有：，解得，因此元，元．答：铺设每平方米木质地板、瓷砖的工钱分别是15元和20元；购买每平方米的木质地板、瓷砖的费用分别是120元和90元．21．四川省正在打造“世界最长城市中轴线”天府大道北延线德阳段，现甲乙两工程队共同承包德阳段中，两地之间的道路，两队分别从，两地相向修建．已知甲队先施工3天，乙队才开始施工，乙队施工几天后因另有紧急任务暂停施工，因考虑工期，由甲队以原速的2倍修建，乙队完成紧急任务后又以原速恢复施工，直到道路修通．甲，乙两队各自修路长度与时间之间的关系如图所示，请结合图中信息解答下列问题：（1）试问：在施工的过程中，甲队在提速前每天修道路多少米？（2）求乙队中途暂停施工的天数；（3）求，两地之间的道路长度．【解答】解：（1）根据题意，设甲队在提速前每天修道路米，可得：，解得：，即甲队在提速前每天修道路88米；（2）根据题意，乙队的速度为（米天），设乙队中途暂停施工的天数为，可得：，解得：，即乙队中途暂停施工的天数为3天；（3）由（1）知，甲队提速前的施工速度为88米天，则提速后甲队是速度为（米天），设两地之间长度为，则，解得：，则两地之间长度为2508米．22．在新冠疫情期间，成都市某医疗器械厂接到生产口罩的任务，要求在11天内生产2000万个口罩．该医疗器械厂安排甲、乙两车间共同完成本次生产任务．已知甲车间每天生产60万个口罩，乙车间每天生产90万个口罩．甲，乙两车间同时开工，甲车间生产天后停工1天改造工艺，然后按照新工艺继续生产，其每天生产口罩的数量变为万个．甲、乙两车间各自生产口罩的数量（万个）与乙车间的生产时间（天之间的关系如图所示，请结合图象回答下列问题：（1）填空：2，；（2）试问：当取何值时，甲、乙两车间生产口罩的数量相同；（3）甲、乙两车间能否在11天内完成本次生产任务？若能，求甲车间比乙车间多生产多少万个口罩？若不能，请说明理由．【解答】解：（1）由题意，，故答案为2，120．（2）由题意，解得，当时，甲、乙两车间生产口罩的数量相同．（3）乙11天完成（万个），甲10天完成（万个），，（万个）在11天内能完成本次生产任务，甲车间比乙车间多生产90万个口罩．23．在疫情期间，某口罩生产厂为提高生产效益引进了新的设备，其中甲表示新设备的产量（万个）与生产时间（天的关系，乙表示旧设备的产量（万个）与生产时间（天的关系：（1）由图象可知，新设备因工人操作不当停止生产了