专题1.3整式加减的应用及综合问题11种类型（知识梳理典例剖析变式训练）-2022-2023学年七年级数学上学期复习备考高分秘籍（原卷版）

20222023学年七年级数学上学期复习备考高分秘籍【苏科版】专题1.3整式加减的应用及综合问题11种类型精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式训练）【目标导航】【知识梳理】2.整式的加减（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．（2）整式的加减实质上就是合并同类项．（3）整式加减的应用：①认真审题，弄清已知和未知的关系；②根据题意列出算式；③计算结果，根据结果解答实际问题．【规律方法】整式的加减步骤及注意问题（1）整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．（2）去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．2.整式加减的常见类型类型1.整体思想在整式加减中的应用类型2.代数式求值问题类型3.整式加减中的无关性问题类型4.探索规律——数字变化问题类型5.探索规律——图形变化问题类型6.整式的应用——面积问题类型7.整式的应用——销售问题类型8.整式的应用——方案比较问题类型9.代数式与数轴综合问题类型10.代数式与数字综合问题类型11.与代数式有关的新定义问题【典例剖析】【考点1】整体思想在整式加减中的应用【例1】（2020秋•江苏省清江浦区期中）一位同学一道题：“已知两个多项式A和B，计算2A+B“，他误将2A+B看成A+2B，求得的结果为9x2+2x﹣1，已知B＝x2+3x﹣2．（1）求多项式A；（2）请你求出2A+B的正确答案．【变式1.1】（2022·江苏·宿迁市宿豫区教育局教研室七年级期中）已知A=3a2(1)求A-(2)当a=-2，b=3时，求【变式1.2】（2021·江苏·泰州市姜堰区励才实验学校七年级期中）已知A=3x2(1)求B（用含x的代数式表示）(2)比较A与B的大小．【变式1.3】（2022·江苏·宿迁经济技术开发区厦门路实验学校七年级期中）思想是中学数学解题中的一种重要的思想方法，例如，我们可以将(a+b(1)把x-y2(2)已知3m3+【考点2】代数式求值问题【例2】（2020秋•江苏省崇川区校级期中）（1）当a＝2，b＝1时，求两个代数式a2﹣2ab+b2与（a﹣b）2的值；（2）当a＝5，b＝﹣3时，再求以上两个代数式的值；（3）你能从上面的计算结果中，发现什么结论？（4）利用你发现的结论，求：20202﹣2×2020×2021+20212的值．【变式2.1】（2022·江苏·鼓楼实验中学七年级期中）（1）已知m=1+2n，求代数式（2）已知m-2n【变式2.2】（2022·江苏·淮安市淮海初级中学七年级阶段练习）求代数式的值：(1)3x2y-5(2)5(a+【变式2.3】（2022·江苏·泰州市民兴中英文学校七年级期中）已知有下列3个代数式：①a2+b2；②a(1)当a=2，b=-1时，从①、②或①、(2)再选一组你喜欢的a，b的值，求所选的两个代数式的值：通过计算你发现所选两个代数式的关系是：______；(3)已知x+y2=9，x-y2【考点3】整式加减中的无关性问题【例3】（2021秋•长丰县期中）李老师写出了一个整式（ax2+bx﹣2）﹣（5x2+3x），其中a、b为常数，且表示为系数，然后让同学赋予a、b不同的数值进行计算．（1）甲同学给出了a＝6、b＝﹣2，请按照甲同学给出的数值化简整式；（2）乙同学给出了一组数据，最后计算的结果为3x2﹣2x﹣2，求乙同学给出的a、b的值；（3）丙同学给出了一组数据，计算的最后结果与x的取值无关，请求出丙同学的计算结果．【变式3.1】（2022·江苏·宿迁经济技术开发区厦门路实验学校七年级期中）已知A=-3a2(1)求A-(2)若A-3B的值与a【变式3.2】（2021·江苏·连云港市新海实验中学七年级期中）已知A=2(1)若A+B的结果中不存在含x的一次项，求(2)当a=-2时，先化简A-B【变式3.3】（2018·江苏盐城·七年级期中）如果关于x、y的代数式2x2+ax-【考点4】探索规律——数字变化问题【例4】（2020春•扬中市期中）观察下列式子，11×2=1-12，（1）用正整数n表示这个规律，并加以证明；（2）设F(①F（10）＝；②求证：F(1)+【变式4.1】（2022·江苏无锡·七年级期中）式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的连续100个正整数的和，由于上述式子比较长，书写不方便，为了简便起见，可以将上述式子表示为n=1100n，这里“∑”是求和的符号．例如“1+3+5+7+…+99”用“∑”可以表示为n=150(2n-1)，“(1)把n=16n(2)“2+4+6+8+…+100”用“∑”可以表示为______；(3)计算：n=1【变式4.2】（2022·江苏·靖江市靖城中学七年级阶段练习）从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表：加数n的个数

和（S）1————————→2=1×22345(1)这个规律，当n=6时，和为____________(2)从2开始，n个连续偶数相加，它们的和S____________；（用含有n的式子表示）(3)应用上述公式计算：①2+4+6+⋯+200；

②202+204+206+⋯+300．【变式4.3】（2022·江苏连云港·七年级期中）代数式是表示数量变化规律的重要形式．一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化，观察表格：x…--012…-…0---a…2…--b02…2…--135…【初步感知】(1)根据表中信息可知：a=___________；b=【归纳规律】(2)表中-x-2的值随着x的变化而变化的规律是：x的值每增加1，-x-2的值就减少1．类似地，(3)观察表格，下列说法错误的有___________（填序号）；①当x=-1②当x=-2时，2③当x=1时，-④当x>0时，-【应用迁移】(4)若已知2x+1的值总是大于2x【考点5】探索规律——图形变化问题【例5】（2021秋•海州区期中）下面是一组有规律的图案：（1）第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第10个图案由31个基础图形组成．（2）第n个图案由（3n+1）个基础图形组成（用含n的代数式表示）．（3）在上面的图案中，能否找得到一个由2020个基础图形组成的图案？如果能，说明是第几个图案；如果不能，说明理由．【变式5.1】（2021·江苏·泰州市姜堰区励才实验学校七年级期中）如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面．(1)第1个图案用了___________块灰色的瓷砖，第2个图案用了___________块灰色的瓷砖，第3个图案用了___________块灰色的瓷砖；(2)第1个图案用了___________块白色的瓷砖，第2个图案用了___________块白色的瓷砖，第3个图案用了___________块白色的瓷砖；(3)第n个图案中灰色瓷砖和白色瓷砖共用了多少块？【变式5.2】（2022·江苏·泰州市第二中学附属初中七年级期中）用同样大小的两种正方形纸片，按下图方式拼正方形．(1)图3中共有1+3+5=9个小正方形，图4中共有1+3+5+     =16个小正方形，…，按图示方式继续拼下去，图10中（未画出）共有(2)以此类推，图n中（未画出）共有1+3+5+⋯+     (3)借助以上结论计算：1+3+5+⋯+1999．【变式5.3】（2022·江苏镇江·七年级期中）下列是用火柴棒拼出的一列图形．(1)第5个图中共有___________根火柴；(2)第n个图形中共有多少根火柴（用含n的式子表示）．(3)若f(n)=2n-1（如f【考点6】整式的应用——面积问题【例6】2021秋•姜堰区期中）如图，已知长方形ABCD的宽AB＝4，以B为圆心，AB长为半径画弧与边BC交于点E，连接DE．若CE＝x．（计算结果保留π）（1）用含x的代数式表示图中阴影部分的面积；（2）当x＝4时，求图中阴影部分的面积．【变式6.1】（2022·江苏·鼓楼实验中学七年级期中）我国“华为”公司是世界通讯领城的龙头企业，某款后置摄像头模组如图所示．其中大圆的半径为r，中间小圆的半径为12r，4个半径为15(1)请用含r的式子表示图中阴影部分的面积；(2)当r=2cm时，求图中阴影部分的面积（π取【变式6.2】（2022·江苏徐州·七年级期中）小颖家买了一套新房，他准备将地面铺上地砖，地面机构如图所示，根据图中的数据（单位：m），解答下列问题：(1)客厅的面积是______m2(2)用含x、y的式子表示这套房子的总面积（写出必要的过程，结果保留最简形式）；(3)当x=3.6,y=2时，若铺1m2【变式6.3】（2022·江苏苏州·七年级阶段练习）小红家新买了一套商品房，其平面图如图所示（单位：米）(1)这套住房的总面积是_____________平方米；（用含a，b的代数式表示）(2)经测量，a=5甲公司：客厅地面每平方米200元，书房和卧室地面每平方米300元，厨房和卫生间地面每平方米100元；乙公司：全屋地面每平方米折合均价为220元．请你帮助小红家测算一下选择哪个公司比较合算，请说明理由．【考点7】整式的应用——销售问题【例7】（2019秋•江苏省姜堰区期末）学校体育室有两个球筐，已知甲筐内的球比乙筐内球的个数的2倍还多6只．现进行如下操作：第一次，从甲筐中取出一半放入乙筐；第二次，又从甲筐中取出若干只球放入乙筐．设乙筐内原来有a只球．（1）第一次操作后，乙筐内球的个数为只；（用含a的代数式表示）（2）若第一次操作后乙筐内球的个数比甲筐内球的个数多10只，求a的值；（3）第二次操作后，乙筐内球的个数可能是甲筐内球个数的2倍吗？请说明理由．【变式7.1】（2022·江苏·常州外国语学校七年级期中）某土特产公司组织10辆汽车装运甲、乙两种土特产去外地销售，按计划10辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一土特产，且必须装满，设装运甲种土特产的汽车有x辆，根据下表提供的信息，解答以下问题：土特产种类甲乙每辆汽车运载量（吨）42每吨土特产利润（元）10090(1)装运乙种土特产的车辆数为（用含有x的式子表示）；(2)求这10辆汽车共装运土特产的数量（用含有x的式子表示并化简）；(3)求销售完装运的这批土特产后所获得的总利润（用含有x的式子表示并化简），当x=6【变式7.2】（2021·江苏镇江·七年级期中）小明的爸爸以每件m元的成本价购进了30件甲种商品，以每件n元的成本价购进了40件乙种商品，且m>（1）在销售前小明的爸爸经市场调查发现，甲种商品比较畅销供不应求，乙种商品基本没人问津．为了尽快减少库存，但又不能亏本，小明的爸爸决定将甲种商品按成本价提高40%后标价出售；乙种商品按成本价的七折出售，则甲种商品的每件售价可表示为______（用含m的代数式表示），乙种商品的每件售价可表示为______（用含n的代数式表示）；（2）在（1）的条件下，将甲、乙商品全部售出，用含m、n的代数式表示小明爸爸的获利；（3）若小明的爸爸将两种商品都以m+【变式7.3】（2021·江苏南京·七年级期中）某水果经销户从水果市场批发了苹果和桔子共100千克，苹果和桔子当天的批发价、零售价如下表：品名苹

果桔

子批发价（元/kg）5.23.2零售价（元/kg）8.86.2（1）若经销户分别批发了60kg苹果和40kg桔子，那么当天卖完这些苹果和桔子该经销户能盈利元．（2）若经销户批发了mkg苹果，当天卖完这些苹果和桔子经销户能盈利多少元？（用含m的代数式表示，要求化简）【考点8】整式的应用——方案比较问题【例8】（2019秋•江苏省玄武区期中）为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表：居民每月用电量单价（元/度）不超过50度的部分0.5超过50度但不超过200度的部分0.6超过200度的部分0.8已知小刚家上半年的用电情况如下表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）：一月份二月份三月份四月份五月份六月份﹣50+30﹣26﹣45+36+25根据上述数据，解答下列问题：（1）小刚家用电量最多的是五月份，实际用电量为236度；（2）小刚家一月份应交纳电费85元；（3）若小刚家七月份用电量为x度，求小刚家七月份应交纳的电费（用含x的代数式表示）．【变式8.1】（2021·江苏·靖江市靖城中学七年级期中）某商场销售一种西装和领带，西装每套定价1000元，领带每条定价200元．“国庆节”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．方案一：买一套西装送一条领带；方案二：西装和领带都按定价的90%付款．现某客户要到该商场购买西装20套，领带x条（x＞20）．（1）若该客户按方案一购买，需付款元．（用含x的代数式表示）若该客户按方案二购买，需付款元．（用含x的代数式表示）（2）若x＝32，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？（3）当x＝32时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．【变式8.2】（2021·江苏南京·七年级期中）某电器商销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价900元，电磁炉每台定价300元．“双十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．方案一：买一台微波炉送一台电磁炉；方案二：微波炉和电磁炉都按定价的80%付款．现某客户要到该卖场购买微波炉2台，电磁炉x台(x＞2)．（1）若该客户按方案一购买，需付款元(用含x的代数式表示)．若该客户按方案二购买，需付款元(用含x的代数式表示)．（2）若x＝6时，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算?（3）当x＝6时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗?试写出购买方案，并计算需要付款多少元?【变式8.3】（2022·江苏·宿迁市宿豫区教育局教研室七年级期中）某物流公司配送防疫物资，甲、乙两仓库分别有防疫物资35箱和45箱，A、B两地分别需要防疫物资20箱和60箱．已知从甲、乙仓库到A、B两地的运价如表：到A地到B地甲仓库每箱15元每箱12元乙仓库每箱10元每箱9元(1)若从甲仓库运到A地的防疫物资为x箱，则用含x的代数式表示：从甲仓库运到B地的防疫物资为______________箱，从乙仓库将防疫物资运到B地的防疫物资为___________箱；(2)求把全部防疫物资从甲、乙两仓库运到A、B两地的总运输费（用含x的代数式表示并化简）；(3)从物流公司少花钱角度考虑，希望从乙仓库运到A地的防疫物资为__________箱时，总运输费最少，此时总运输费为____________元．【考点9】代数式与数轴综合问题【例9】（2021秋•沭阳县期中）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是4；数轴上表示1和﹣4的两点之间的距离是5．（2）数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为|x﹣6|；数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为|x+3|．若|x+3|＝4，则x＝1或﹣7．（3）若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+4|的最小值＝5．（4）若x表示一个有理数，且|x+1|+|x﹣3|＝4，则满足条件的所有整数x的值为﹣1或0或1或2或3；.则满足条件的所有整数x的和为5．（5）若x表示一个有理数，当x为3，式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|有最小值为6．【【变式9.1】（2022·江苏江苏·七年级期中）如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足a+9(1)a=；b=；(2)动点P，Q分别从点A，点B同时出发，沿着数轴向右匀速运动，点P的速度为每秒3个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度．①几秒时，点P与点Q距离2个单位长度?②动点P，Q分别从点A，点B出发的同时，动点R也从原点O出发，沿着数轴向右匀速运动，速度为每秒nn>3个单位长度．记点P与点R之间的距离为PR，点A与点Q之间的距离为AQ，点O与点R之间的距离为OR．设运动时间为t秒，请问：是否存在n的值，使得在运动过程中，7PR-4【变式9.2】（2022·江苏南京·七年级期中）如图，数轴上依次排列着四个点A、B、C、D，且A、B间的距离与C、D间的距离相等，点A表示的数是x．【问题提出】(1)如图①，若A、B间的距离为2，且B、C两点到原点的距离相等，则①点B表示的数为______（用含x的代数式表示），②点C表示的数为______（用含x的代数式表示）；【初步思考】(2)如图②，若A、B间的距离为2，点A、B都以每秒3个单位长度的速度沿数轴同时向右运动，当点B与C重合时，点D表示的数为4x-14，求点A【类比解决】(3)一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经是102岁的老寿星了”．①请在数轴上大致标出小明的年龄数对应的点M以及他爷爷的年龄数对应的点N；②爷爷的年龄是______岁．【变式9.3】（2022·江苏泰州·七年级期末）如图，点A、B、C、D分别表示四个车站的位置．(1)A、D两站的距离是_______，C、D两站的距离是______；（用含a、b的代数式表示）(2)若已知C、D两站之间的距离是8km，求A、D两站之间的距离．【考点10】代数式与数字综合问题【例10】（2019秋•江苏省建邺区期中）已知a是一个正整数，且1≤a≤9，用只含a的代数式表示：（1）一个两位数的个位数字是a，十位数字是3，这个两位数是；（2）一个两位数的十位数字是a，且无论a取何值，这个两位数均能够被3整除，则这个两位数是．【变式10.1】（2022·江苏·宿迁市宿豫区教育局教研室七年级期中）神奇的幸福年份．每一个新生命的出生都给亲人带来欢乐和希望．现代社会，我们把人出生的年份减去组成这个年份的数字之和，所得的差称为幸福年份．例如中国科学院院士、数学家陈景润出生于1933年，他的幸福年份就是1933-1+9+3+3(1)一位大叔出生于1972年，他的幸福年份是__________；(2)问幸福年份能否一定被9整除？请说明理由．【变式10.2】（202