2025届高考数学一轮复习讲义：平面解析几何

2025届高考数学一轮复习讲义一平面解析几何

【高考考情分析】

直线与方程一般作为条件与圆锥曲线结合命题，命题点主要有三个方面：①有关直线的倾

斜角、斜率、截距、平行或垂直等基础知识；②考查直线的方程、两直线的位置关系、点到直

线的距离公式；③考查直线与圆锥曲线的位置关系.

圆与方程的主要命题点如下：①与直线、圆有关的综合问题，如求圆的方程、直线与圆的

位置关系、弦长、切线及三角形（四边形）的面积问题；②将圆的方程及几何性质，直线与圆、

圆与圆的位置关系作为研究圆锥曲线几何量的桥梁及条件，主要以选择题、填空题的形式出现,

也可能作为解答题的一部分考查，要重点关注圆的几何性质在研究圆锥曲线几何量中的应用，

特别是圆的切线问题在研究椭圆、双曲线几何性质中的应用，圆的几何性质与抛物线焦点弦、

准线的结合，都有可能成为命题的热点.

椭圆的定义、标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系一直是高考命题的热点，命

题主要体现三个特色：①以定义作为命题思路求解椭圆的标准方程、离心率等；②以特殊的几

何图形为命题背景，求解三角形的面积、弦长等；③研究直线与椭圆的位置关系.这类命题常

与向量、数列、圆、三角函数、方程、不等式等知识交汇，难度中等偏上.选择题、填空题应

关注椭圆的定义和几何图形的性质在解题中的应用，解答题应重视和直线与椭圆的位置关系相

关的典型题型的研究，在解题时，要充分利用数形结合、转化与化归等思想，注重数学思想在

解题中的应用.

双曲线的定义、标准方程、几何性质一直是高考命题的热点，命题主要体现两个特色：①

以定义作为命题思路求解双曲线的标准方程、离心率、渐近线等；②以特殊的几何图形、向量

关系为命题背景，求解双曲线的标准方程、研究直线与双曲线的位置关系等，多以选择题、填

空题的形式出现，难度中等.要关注双曲线的定义、渐近线方程、几何图形的性质在解题中的

应用.

抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与抛物线的位置关系一直是高考命题的热点，

命题主要体现三个特色：①以定义作为命题思路，求解轨迹问题、距离问题、最值问题等；②

以焦点弦为主线的几何图形为命题背景，求解焦点弦的长、三角形（四边形）的面积的值（或

最值）等；③研究直线与抛物线的位置关系，这类命题常与向量、切线等知识综合进行考查,

多以解答题的形式出现，难度中等偏上.选择题、填空题要关注抛物线的定义、焦点弦的性质

在解题中的应用；解答题应重视直线与抛物线的位置关系中以焦点弦的性质及抛物线的切线等

为命题背景的问题，注意设而不求法及根与系数的关系在解题中的应用.

圆锥曲线综合是高考的热点，题型以解答题为主，难度中等偏上，考查的知识点较多，对

能力要求较高.直线与圆锥曲线的解答题，主要是直线与椭圆、直线与抛物线的综合问题，特

别是一些经典问题，如定点与定值、取值范围与最值、证明、探索性问题等，常与向量、数列

等知识交汇，在涉及最值、范围的问题时，常与不等式、函数、导数等交汇.着重考查函数与

方程、分类讨论、数形结合等数学思想的应用.

【基础知识复习】

1.直线的斜率和倾斜角：已知直线的倾斜角为90。），则直线的斜率为左=tans

经过两点枢石，X），2（9，乂）。产马）的直线的斜率公式左=皆^.

2.两条直线平行与垂直的判定：设两条直线4M的斜率分别为左，右.

（1）\Hl2<^kx=k2-（2）[_L4。左/2=—1.

3.直线的方程

（1）点斜式：y-y0=k（x-x0）.

（2）斜截式：y=kx+b.

y-y,x-x,

（3）两点式：-=——L.

%一%%2—%

（4）截距式：2+'=1（。/0力/0）.

ab

（5）一般式：Ax+By+C=0（A,3不同时为0）.

4.直线的交点坐标与距离公式

①一般地，将两条直线的方程联立，得方程组:''二C，若方程组有唯一解，则两

条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行.

②两点4（X1，M），2（%，％）间的距离公式|片g|="（%—西）2+（%—X）2•

特别地，原点。（0，0）与任一点P（X，y）的距离IOP|=旧

③点到直线的距离：点区（/，%）到直线/：Ax+冷+C=。的距离d」W.

，A+B

④两条平行直线间的距离：若直线乙，4的方程分别为4：不+gy+C=0,4：井+3〉+C2=0,

—IC-C.|

则两平行线的距离d=，・

VA2+B2

5.圆的方程

标准方程：（x-a）2+（y-b）2=r2,圆心为程。方）,半径为兀

一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F^0（D2+E2-4F>0）.

6.判断直线与圆的位置关系的方法：

（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：A>0o相交，A<0o相

离，A=0=相切.

（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径厂的大小）：设圆心到直线的距离为力则d<ro

相交，d>ro相离，d=ro相切.

7.圆与圆的位置关系

设圆。半径为G，圆。2半径为

圆心距与两圆半径的关系两圆的位置关系

1。。21<14-41内含

1。1。21=16-41内切

KF<。02<弓+弓1相交

1。1。2目6+4।外切

1。。21>16+41外离

8.椭圆的方程与简单几何性质

焦点在X轴上焦点在y轴上

2222

标准方程部+上人…）3"。）

一般方程Ax2+By2=l(A>0,B>0,A^

焦点坐标耳(―c,0),居(c,0)耳(0,—C),居(0,c)

A(—0),(。,0)A(0,—。),A2(0,。)

顶点坐标

耳(0,—圾员(0力)司(—瓦0),与(。,0)

范围\x\<a,\y\<b|x|<b,\y\<a

长轴长1441=2〃

短轴长|3也1=2》

焦距\FlF2\=2c

e=—=\<e<l），

离心率a\a

e越接近于1,椭圆越扁；e越接近于0,椭圆越圆

9.双曲线的几何性质

焦点在X轴上焦点在y轴上

2222

标准方程—-yy=1(^>0,/?>0)与-*=1(〃>。力>0)

abab

焦点坐标耳(-c,0),骂(c,0)耳(0,-c),g(0,c)

顶点坐标A(-〃,0)，4(a,0)

范围Ix|>a\y\>a

对称性关于X轴、y轴对称，关于原点对称

实、虚轴长实轴长为2a,虚轴长为2。

离心率双曲线的焦距与实轴长的比e=f

a

y=±^x

渐近线方程y=±—x

ab

10.抛物线的方程与几何性质

标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)

范围x>0,yeR%<0,yeR%eR,y>0xeR,y<0

p

准线x=----X_PTyJ

222

隹占g,0)

八、、八'、吗）

对称性关于x轴对称关于y轴对称

顶点(0,0)

离心率e=l

p

焦半径长Xo+2ya+2~y0+2

焦点弦长%o+%+p-(Xo+%1)+/?%+X+〃一(%+%)+。

【重点难点复习】

1.椭圆中的焦点三角形

（1）P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，片，巴为椭圆的两焦点，则遥=〃tang,

其中。为/耳「鸟.

（2）尸是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，耳，心为椭圆的两焦点，则月的周长为

2（〃+c）.

（3）过焦点F、的弦AB与椭圆另一个焦点心构成的△A3K的周长为4a.

2.双曲线中的焦点三角形

（i）p为双曲线上的点，耳，色为双曲线的两个焦点，且NEPG=6,则-一ci%i.

tan—

2

（2）过焦点£的直线与双曲线的一支交于A,3两点，则A,3与另一个焦点工构成的AAB用

的周长为4a+2IAR.

(3)若P是双曲线右支上一点，£，巴分别为双曲线的左、右焦点，则

\PF2Ln"一。.

22

(4)尸是双曲线♦-七=1(。〉0］〉0)右支上不同于实轴端点的任意一点，片，居分别为双曲

线的左、右焦点，/为月内切圆的圆心，则圆心/的横坐标恒为定值a

3.圆锥曲线的重要性质

(1)椭圆、双曲线中a,b,c之间的关系

②在双曲线中c2=a2+Z?2；离心率为e=：=q1+^2-

(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标

①双曲线/一京=l(a＞0,。＞0)的渐近线方程为丁=±不；焦点坐标Ri(—c,0),(c.O).

t-T-iyCt-FT

②双曲线”一^=l(a＞0,。＞0)的渐近线方程为y=±7，焦点坐标为(0,—c),仍(0,c).

(3)抛物线的焦点坐标与准线方程

①抛物线V=±2R(户0)的焦点坐标为畛0),准线方程为尸内

②抛物线的焦点坐标为(0,±9，准线方程为y=干方

3.弦长问题

(1)直线与圆锥曲线相交时的弦长

斜率为左的直线与圆锥曲线交于点AQi,yi),3(x2,竺)时，

\AB\=J1+12,|石一%|=J1+左2•+%2/-4平2或IA31=

(2)抛物线焦点弦的几个常用结论

设A3是过抛物线产=2夕如＞0)焦点R的弦，若A(xi,yi),3(X2,yi),

贝！!①xix2=5,yiy2=-p2；

②弦长|AB|=xi+x2+p=2f(a为弦AB的倾斜角)；

sin-a

4—=2

当阿十|FB|一丁

④以弦A5为直径的圆与准线相切.

【基本方法与技能复习】

1.与直线方程相关问题的常见类型及解题策略

(1)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式

求解最值.

(2)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或

基本不等式求解.

2.与圆有关的轨迹方程问题的求解方法

(1)直接法：当题目条件中含有与动点有关的等式时，可设出动点的坐标，用坐标表示等式，

直接求解轨迹方程.

(2)定义法：当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写出圆的方

程.

(3)代入法：当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关时，常找出要

求的点与动点的关系，代入动点满足的关系式求轨迹方程.

3.过一点的圆的切线问题的求解方法

(1)若点在圆上，斜率存在时，先求点与圆心连线的斜率，由切线与过切点、圆心的直线垂

直的关系知切线的斜率为-1,由点斜式方程可求出切线方程；斜率不存在时，则根据图形可直

接写出切线方程.

(2)若点在圆外，可采用几何法和代数法两种方法来求.

几何法：当斜率存在时，由圆心到直线的距离等于半径求出斜率，即可得出切线方程.

代数法：当斜率存在时，将直线方程代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，根据判

别式A=0求出斜率，即可得出切线方程.

4.圆与圆有关问题的解题方法

（1）判断两圆位置关系的方法：常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的

关系，一般不用代数法.

（2）两圆公共弦长的求法：两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距d,半弦

长工，半径厂所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解.

2

（3）两圆的公切线问题的求法：在求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，以

确定公切线的条数，从而防止漏解；其次，应注意公切线的几何性质，得出最佳解法.

5.与椭圆性质有关的最值或取值范围的求解方法

（1）利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围.

（2）利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围.

（3）利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围.

（4）利用一元二次方程的根的判别式求最值或取值范围.

6.直线与椭圆相交的弦长问题的求法

（1）直线斜率不存在时的弦长问题：若直线斜率不存在，可以直接将直线方程

（一般方程中带有字母参数）代入椭圆方程，得交点坐标，进而求相交弦问题.直接求解此类

问题的情况较少，一般是在求直线方程的有关问题中，分类讨论此种情况.注意在解答时不要

漏解，同时注意检验是否符合题意.

（2）直线斜率存在时的弦长公式：若直线斜率存在，直线方程为y=与椭圆的两个交

点为N5,%),则相交弦长|MN|=-石J+(%—K1

%|=71寿•巫伏工0）［其中A为Y的系数］.

=J1+32|%2—X,|=

|A|

7.求解与双曲线性质有关的范围（或最值）问题的方法

（1）几何法：如果题中给出的条件有明显的几何特征，那么可以考虑用图形的性质来求解，

特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解.

（2）代数法：若题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，将双曲线

的范围（或最值）问题转化为二次函数或三角函数等函数的范围（或最值）问题，然后利用配

方法、判别式法、基本不等式法、函数的单调性及三角函数的有界性等求解.

（3）不等式法：借助题目给出的不等信息列出不等关系式求解.

8.解决与双曲线性质有关的范围（或最值）问题时的注意点

（1）双曲线上本身就存在最值问题，如异支双曲线上两点间的最短距离为2a（实轴长）；

（2）由直线和双曲线的位置关系，求直线或双曲线中某个参数的范围，常把所求参数作为函

数中的因变量来求解；

（3）所构建的函数关系式中变量的取值范围往往受到双曲线中变量范围的影响.

9.利用抛物线的定义可解决的常见问题

（1）轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线；

（2）距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意利用两者之间

的转化在解题中的应用.

10.直线与抛物线的位置关系的常见类型及解题策略：

（1）求线段长度和线段之积（和）的最值.可依据直线与抛物线相交，利用弦长公式，求出弦

长或弦长关于某个量的函数，然后利用基本不等式或利用函数的知识，求函数的最值；也可利

用抛物线的定义转化为两点间的距离或点到直线的距离.

（2）求直线方程.先寻找确定直线的两个条件，若缺少一个可设出此量，利用题设条件寻找关

于该量的方程，解方程即可.

（3）求定值.可借助于已知条件，将直线与抛物线方程联立，寻找待定式子的表达式，化简即

可得到.

11.圆锥曲线中的最值问题的求解方法

（1）几何转化代数法：将常见的几何图形所涉及的结论转化为代数问题求解，常见的几何图

形所涉及的结论有：①两圆相切时半径的关系；②三角形三边的关系式；③动点与定点构成线

段的和或差的最小值，经常在两点共线时取到，注意同侧与异侧；④几何法转化所求目标，常

用勾股定理、对称、圆锥曲线的定义等.

（2）函数最值法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则考虑先建立目标函数（通常

为二次函数），再求这个函数的最值，求函数的最值常见的方法有配方法、基本不等式法、判

别式法、单调性法、三角换元法.

12.圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法

（1）函数法：用其他变量表示参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解.

（2）不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数的取值范围.

（3）判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式△求参数的取值范围.

（4）数形结合法：研究参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解.

13.圆锥曲线中定点问题求解步骤

一选（设参）：选择变量，定点问题中的定点，随某一个量的变化而固定，可选择这个量为变

量（有时可选择两个变量，如点的坐标、斜率、截距等，然后利用其他辅助条件消去其中之一）.

二求（用参）：求出定点所满足的方程，即把需要证明为定点的问题表示成关于上述变量的方

程.

三定点（消参）：对上述方程进行必要的化简，即可得到定点坐标.

14.求解定值问题的方法

（1）证明代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简

即可得出定值.

（2）证明点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的关系式，再利用题设

条件化简、变形得出定值.

（3）证明某线段长度为定值：利用两点间距离公式求得关系式，再依据条件对关系式进行化

简、变形即可得出定值.

（4）证明某几何图形的面积为定值：解决此类问题的关键点有两个，一是计算面积，二是恒

等变形，通常是规则图形的面积，一般是三角形或四边形.对于其他凸多边形，一般需要分割

成三角形求解，利用面积求解方法，求得关系式，再将由已知得到的变量之间的等量关系式代

入面积关系式中，进行化简即可求得定值.

15.几何证明问题的解题策略

(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关

系，如某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥

曲线中的一些数量关系(相等或不等).

(2)解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通

过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.

【典型例题复习】

1.【2024年新课标n卷】已知曲线。:/+丁2=16(y〉0),从c上任意一点p向X轴作垂线PP,

尸'为垂足，则线段PP的中点般的轨迹方程为()

2222

A.J+J=l(y〉0)B.—+^-=l(y>0)

164168

2222

c{+一=l(y〉0)D.^-+—=l(y>0)

164168

22

2.【2023年新课标I卷】设椭圆G：二+y=1(。＞1)，y=1的离心率分别为9，

a4

若62=后耳，则a=()

A.述B.V2

c.6D.V6

3

3.【2023年新课标I卷】过点(0,-2)与圆炉+产―4x-l=0相切的两条直线的夹角为a,则

sina=()

A」B.孚「河V6

-----un.----

44

2

4.【2023年新课标H卷】已知椭圆C::+y2=i的左、右焦点分别为耳，F2,直线y=x+加与

C交于A,3两点，若△耳A5的面积是△鸟A3面积的2倍，则加=()

A]B.fC-TD-l

5.【2024年新课标n卷】（多选）抛物线C:/=4x的准线为/,尸为C上的动点.对P作

。4犬+（丁一4）2=1的一条切线，Q为切点.对P作/的垂线，垂足为氏则（）

A./与0A相切B.当尸，A,3三点共线时，|PQ|=&?

C.当|P3|=2时，PA±ABD.满足|PARP例的点尸有且仅有2个

6.【2024年新课标I卷】（多选）设计一条美丽的丝带，其造型卜可以看作图中的曲线C的

一部分.已知C过坐标原点。，且C上的点满足：横坐标大于-2,到点/（2,0）的距离与到定直

线x=a（a<0）的距离之积为4,则（）

A.a=—2

B.点（20,0）在C上

CC在第一象限的点的纵坐标的最大值为1

4

D.当点（九。,为）在C上时，y0<^-

玉）十/

22

7.【2024年新课标I卷】设双曲线C:2-当=1（。>0,>>0）的左、右焦点分别为片，居，

ab

过F2作平行于y轴的直线交C于A,3两点，若闺H=13,|A51=10,则C的离心率为.

8.【2024年新课标I卷】已知4（0,3）和小,|）为椭圆。:!?+%=1（。〉6〉0）上两点.

(1)求C的离心率；

(2)若过尸的直线/交C于另一点3,且AABP的面积为9,求/的方程.

答案以及解析

L答案：A

解析：法一：设/(如%)，则P(%o,2%),因为点P在曲线C上，所以君+(2%y=16(%>0),

九〉。)，所以线段的中点”的轨迹方程为小、。)，故选

即*+1(PP2A.

法二：由题意可知把曲线C上所有点的纵坐标缩短至原来的一半，横坐标不变，即可得到点

M的轨迹.曲线C为半圆，则点〃的轨迹为椭圆(x轴上方部分)，其中长半轴长为4,短半轴

长为2,故选A.

2.答案：A

解析：法一：由已知得“=也三，62=3^=且，因为02=氐1，所以立=百义也三，

a222a

得八？故选A.

所以02=石弓，所以。=乎

又3

符合题意，由于是单选题，故选A.

3.答案：B

解析：如图，7+/—以―1=0得(x-2)2+/=5,所以圆心坐标为(2,0),半径r=逐，所以

圆心到点(0,—2)的距离为J(2—0)2+(0+2)2=2及,由于圆心与点(o,_2)的连线平分角a,

g、i.。rA/5M在四a店g、i・c•aa71076V15

所以sin—=-7==-—=-----，所以cos—=--，所以sina=2sin—cos—=2x------x——=-----.

22722A/242422444

故选B.

解析：由题意，耳(-&,0),耳(直,0),△耳A3面积是△gAB面积的2倍，所以点耳到直线

A3的距离是点心到直线A3的距离的2倍，即।—令刈=2/与刈，解得加=-手或

机=-3&(舍去)，故选C.

5.答案：ABD

解析：对于A,易知/:x=-1,故/与0A相切，A正确；

对于B,4(0,4),OA的半径厂=1,当尸，A,3三点共线时，P(4,4),所以|PA|=4,

IPQ\==A/42-12=V15,故B正确；

对于C,当|依|=2时，P(l,2),5(-1,2)或。(1,-2),5(-1,-2),易知出与A3不垂直，故C

错误；

对于D,记抛物线C的焦点为R连接AR,PF,易知网1,0)，由抛物线定义可知IPF1=1依|，

因为|PA|=|P3|,所以IPARPFI，所以点P在线段AR的中垂线上，线段AR的中垂线方程

为y=！x+"，即x=4y-",代入丁=4x可得产一16丁+30=0,解得y=8土易知满

482

足条件的点P有且仅有两个，故D正确.故选ABD.

6.答案：ABD

解析：因为坐标原点O在曲线。上，所以2x|〃|=4,又〃<0,所以〃=-2,所以A正确.

因为点(20,0)到点尸(2,0)的距离与到定直线x=-2的距离之积为(272-2)(2夜+2)=4,所以

点(2点,0)在曲线C上，所以B正确.

设尸(x,y)(尤＞0,y〉0)是曲线C在第一象限的点，则有，(尤—2)?+。(尤+2)=4