【学霸满分】2023-2024学年九年级数学下册重难点专题提优训练（北师大版）专题17 弧长与扇形的面积之七大考点（解析版）

专题17弧长与扇形的面积之七大考点【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一已知圆心角的度数，求弧长】 1【考点二已知弧长，求圆心角的度数】 2【考点三求某点的弧形运动路径长度】 3【考点四已知圆心角的度数或弧长，求扇形的面积】 6【考点五求图形旋转后扫过的面积】 7【考点六求弓形的面积】 10【考点七求其他不规则图形的面积】 12【过关检测】 15【典型例题】【考点一已知圆心角的度数，求弧长】例题：（2023上·江苏盐城·九年级统考期中）已知圆弧所在圆的半径为3，所对的圆心角为，这条弧的长为．【答案】/【分析】本题考查了弧长公式．根据弧长公式进行计算即可．【详解】解：因为圆弧所在圆的半径为3，所对的圆心角为，则这条弧长为：．故答案为：．【变式训练】1．（2023上·福建厦门·九年级校考阶段练习）在中，已知半径为，所对的圆心角，那么的长度为．【答案】/【分析】本题考查了求弧长；根据弧长公式，即可求解．【详解】解：∵在中，已知半径为，所对的圆心角，∴的长度为,故答案为：．2．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，则的长为．【答案】/【分析】本题考查了弧长的计算，直角三角形的性质，根据直角三角形的性质得到，，代入弧长计算公式即可求解，掌握弧长计算公式是解题的关键．【详解】解：∵，，∴，，∴的长，故答案为：．【考点二已知弧长，求圆心角的度数】例题：（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）一个扇形的面积为，弧长为，则该扇形的圆心角的度数为．【答案】/100度【分析】根据弧长和扇形面积关系可得，求出R，再根据扇形面积公式求解.【详解】∵一个扇形的弧长是，面积是，∴，即，解得：，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了扇形面积的计算；弧长的计算．熟记公式，理解公式间的关系是关键.【变式训练】1．（2023·江苏镇江·统考二模）扇形的弧长为，半径是12，该扇形的圆心角为度．【答案】90【分析】设此扇形的圆心角为，代入弧长公式计算，得到答案．【详解】解：设此扇形的圆心角为，由题意得，，解得，，故答案为：90．【点睛】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的公式是解题的关键．2．（2023·浙江温州·校考三模）若扇形半径为4，弧长为，则该扇形的圆心角为．【答案】/90度【分析】设扇形圆心角的度数为n，根据弧长公式即可得出结论．【详解】解：设扇形圆心角的度数为n，∵扇形的弧长为2π，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查的是扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式及弧长公式是解答此题的关键．【考点三求某点的弧形运动路径长度】例题：（2023秋·云南昭通·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为旋转中心，将顺时针旋转得到，其中点与点A对应，点与点B对应．如果，．则点A经过的路径长度为（含的式子表示）【答案】【分析】A点坐标为已知，求出长度，再利用弧长公式求解即可．【详解】解：如图，由题意A点以原点O旋转中心旋转了点A经过的路径的长度故答案为：．【点睛】本题考查图形的旋转、弧长等知识点，需要熟练掌握弧长计算公式．【变式训练】1．（2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好落在线段上，则点的运动路径长是cm（结果用含的式子表示）．

【答案】【分析】由于旋转到，故C的运动路径长是的圆弧长度，根据弧长公式求解即可．【详解】以A为圆心作圆弧，如图所示．

在直角中，，则，则．∴．由旋转性质可知，，又，∴是等边三角形．∴．由旋转性质知，．故弧的长度为：；故答案为：【点睛】本题考查了含角直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、弧长公式等知识点，解题的关键是明确C点的运动轨迹．2．（2023·广东东莞·校考一模）如图，和是两个完全重合的直角三角板，，斜边长为．三角板绕直角顶点C顺时针旋转，当点落在边上时，则点所转过的路径长为．【答案】【分析】根据三角形内角和和含30度的直角三角形三边的关系得到，再根据旋转的性质得，于是可判断为等边三角形，所以，然后根据弧长公式计算弧的长度即可．【详解】∵，∴，∵三角板绕直角顶点C顺时针旋转，当点落在边上，∴，∴为等边三角形，∴，∴弧的长度，即点所转过的路径长为．答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了弧长公式．【考点四已知圆心角的度数或弧长，求扇形的面积】例题：（2023·江苏·九年级假期作业）已知扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的面积是．【答案】【详解】根据扇形的面积公式即可求解．【分析】解：扇形的面积．故答案是：．【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．【变式训练】1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第十七中学校校考模拟预测）一个扇形的弧长是，圆心角是144°，则此扇形的面积是．【答案】【分析】设该扇形的半径为，然后根据弧长公式计算半径，然后根据扇形面积公式计算即可．【详解】解：设该扇形的半径为，由题意得：，解得：，，故答案为：．【点睛】本题主要考查弧长计算公式及扇形面积计算公式，熟练掌握弧长计算公式和扇形面积计算公式是解题的关键．2．（2023·海南海口·海师附中校考三模）如图，正五边形的边长为4，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是．【答案】【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可．【详解】解：正五边形的外角和为，每一个外角的度数为，正五边形的每个内角为，正五边形的边长为4，，故答案为：．【点睛】本题考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正五边形的内角的度数并牢记扇形的面积计算公式，难度不大．【考点五求图形旋转后扫过的面积】例题：（2023·河南安阳·统考一模）如图，将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，得到扇形，则扫过的区域（即图中阴影部分）的面积为．

【答案】【分析】结合已知条件及旋转性质，根据面积的和差可得，然后利用扇形面积公式计算即可．【详解】∵，，∴为等边三角形，∴，由旋转性质可得，，，则，，，，故答案为：．【点睛】此题考查了扇形的面积及旋转性质，结合已知条件将阴影部分面积转化为扇形的面积是解题的关键．【变式训练】1．（2022春·四川德阳·九年级校考阶段练习）如图，将绕点C顺时针旋转得到，已知，则线段扫过的图形（阴影部分）的面积为．【答案】/【分析】由于将绕点C旋转得到可见，阴影部分面积为扇形减扇形，分别计算两扇形面积，在计算其差即可．【详解】解：从图中可以看出，线段扫过的图形面积为一个环形，环形中的大圆半径是，小圆半径是，圆心角是，所以阴影面积大扇形面积小扇形面积【点睛】本题考查了扇形面积的计算和阴影部分的面积，将阴影部分面积转化为两扇形面积的查是解题的关键．2．（2022秋·山东烟台·九年级统考期末）如图，在Rt中，，，，将绕点按逆时针方向旋转到的位置，使三点在同一条直线上，则直角边扫过的图形面积为．【答案】【分析】根据题意可得：，，，因此直角边扫过的图形面积为，因为，因此，代入数值即可求得答案．【详解】解：根据题意可得：，，，，所以直角边扫过的图形面积为，由于，所以，故答案为：．【点睛】本题考查了轨迹问题，关键是根据旋转的性质，找出扫过的面积构成，利用扇形的面积公式计算即可．【考点六求弓形的面积】例题：（2023·云南昆明·昆明八中校考模拟预测）如图，在扇形中，，，则阴影部分的面积是．【答案】【分析】利用扇形的面积减去三角形的面积，即可得解．【详解】∵，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查求阴影部分的面积．熟练掌握割补法求面积，是解题的关键．【变式训练】1．（2023·山东泰安·统考二模）如图C、D在直径的半圆上，D为半圆弧的中点，，则阴影部分的面积是

【答案】【分析】设的中点为，连接，用扇形的面积减去的面积即可得出结果．【详解】解：设的中点为，连接，

∵C、D在直径的半圆上，D为半圆弧的中点，，∴，，∴，∴为等边三角形，∴，过点作，则：，∴，∴阴影部分的面积；故答案为：．【点睛】本题考查求弓形的面积，同时考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．将阴影部分的面积转化为扇形的面积减去三角形的面积，是解题的关键．2．（2023·河南周口·校联考三模）如图，在中，，，以中点D为圆心、长为半径作半圆交线段于点E，则图中阴影部分的面积为．

【答案】【分析】连接，，然后根据已知条件求出，，从而得到，最后结合扇形的面积计算公式求解即可．【详解】解：如图，连接，．

∵为直径，∴．∵，∴，∴，，，∵，∴是等边三角形，∴，∴阴影部分的面积=．故答案为：．【点睛】本题考查阴影部分面积计算问题，涉及到扇形面积计算，等边三角形的判定与性质，直径所对的圆周为直角等，掌握扇形面积计算公式是解题关键．【考点七求其他不规则图形的面积】例题：（2023春·河南漯河·九年级校考阶段练习）图1是以为直径的半圆形纸片，，沿着垂直于的半径剪开，将扇形沿向右平移至扇形，如图2，其中是的中点，交于点F，则图中阴影部分的面积为．

【答案】【分析】根据题意和图形，利用勾股定理，可以求得的长，再根据图形，可知阴影部分的面积扇形的面积的面积扇形的面积，计算即可．【详解】解：连接，

由题意可得，，，，，，，阴影部分的面积是：，故答案为：．【点睛】本题考查扇形面积的计算、平移的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式训练】1．（2023·河南信阳·统考一模）如图，正五边形的边长为1，分别以点C，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点F，图中阴影部分的面积为．（结果保留）

【答案】【分析】连接，，由，得，求出，根据公式求出，即可得到阴影面积．【详解】如图，连接，，由题意，得，，，，，，，，，故答案为：．

【点睛】此题考查了求不规则图形的面积，扇形面积公式，正多边形的性质，正确理解图形面积的计算方法连接辅助线是解题的关键．2．（2023·河南南阳·统考模拟预测）如图，在矩形中，，，以D为圆心，以长为半径画弧，以C为圆心，以长为半径画弧，两弧恰好交于上的点E处，则阴影部分的面积为．【答案】【分析】如图，连接，根据勾股定理，得，根据阴影部分的面积为：扇形的面积减去，根据的等于扇形的面积减去，即可求解．【详解】解：连接，如图：四边形是矩形，，，，，，扇形的面积为：，∵，阴影部分的面积为：．故答案为：．【点睛】本题考查矩形的性质，扇形的面积，三角形面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式，矩形的性质．【过关检测】一、单选题1．（2023上·浙江杭州·九年级杭州市公益中学校考阶段练习）若某圆弧所在圆的半径为2，弧所对的圆心角为，则这条弧长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了弧长计算公式，解题的关键是掌握：弧长（n是弧所对应的圆心角度数），带入计算即可．【详解】解：，故选：C．2．（2023上·山东济宁·九年级校考期中）在圆心角为的扇形中，半径，则扇形的面积是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此题主要考查了扇形面积的计算，正确掌握扇形面积公式是解题关键．直接利用扇形面积公式代入求出面积即可．【详解】解：扇形中，圆心角为，半径，扇形的面积是：．故选：C．3．（2023上·内蒙古赤峰·九年级校联考阶段练习）折扇最早出现于我国南北朝时期，《南齐书》中说：“司徒褚渊入朝，以腰扇障日．”这里的“腰扇”在《通鉴注》中的解释为折叠扇．如图，一折扇的骨柄长为，折扇张开后为扇形，圆心角为，则弧的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此题考查了扇形弧长的求解，解题的关键是掌握弧长公式．直接根据扇形弧长的求解公式，求解即可．【详解】解：折扇的骨柄长为，折扇张开的角度为，弧的长，故选B．4．（2023上·陕西延安·九年级校联考阶段练习）传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，该款裙子可以近似地看作扇环，如图2所示，其中，长度为米，长度为米，则裙长AB为（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】本题考查通过弧长计算半径，熟练掌握弧长公式是解题关键．通过的长度算出，通过的长度算出，两者相减即可．【详解】∵米，，∴，∴米，∵米，，∴，∴米，∴米．故选：B．5．（2023上·河北石家庄·九年级石家庄市第二十五中学校考期中）如图，半圆O的直径为10，点C、D在圆弧上，连接，两弦相交于点E．若，则阴影部分面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角和弧之间的关系，扇形的面积，连接、，根据，得出，得出，根据即可求得．【详解】连接、，是直径，，，，的度数为，，．故选：B．二、填空题6．（2023上·浙江宁波·九年级校考期中）若一个扇形的面积是，它的弧长是，则它的半径是．【答案】6【分析】本题考查了扇形的面积公式；根据扇形面积公式代入求解即可．【详解】解：设半径为r，根据扇形面积公式，得，解得．故答案为：6．7．（2023上·浙江杭州·九年级校考期中）已知扇形所在圆半径为3，弧长为，则扇形面积为．【答案】【分析】本题考查扇形的面积，根据扇形面积公式代入数据即可求得．【详解】解：扇形面积，故答案为：．8．（2023上·河南洛阳·九年级洛阳市第二外国语学校校考阶段练习）如图，在的网格图中，每个小正方形的边长均为1点均在格点上，点D在弧上，线段与弧交于点E，则图中阴影部分的面积为．(结果保留π)【答案】【分析】本题考查直角三角形的边角关系，弧长的计算以及全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．根据网格构造直角三角形，利用网格可得出进而得出，利用平角的定义可得出是等腰直角三角形，得出圆心角的度数，利用勾股定理求出，进而得出半径，再利用求出即可．【详解】设的中点为，即弧所在的圆心为，如图，连接，，，∴阴影部分的面积为故答案为：．9．（2023上·江苏淮安·九年级统考期中）如图，把一块的直角三角板绕点旋转到的位置．使得三点、在一直线上，若，则顶点从开始到结束所经过的路径长为．【答案】【分析】本题主要考查了弧长的计算，旋转的性质，根据已知条件得到，，再根据旋转的性质得到，再根据弧长公式计算即可；【详解】∵，，，∴，，∵直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置，∴，∴顶点从开始到结束所经过的路径长；故答案是：．10．（2023上·重庆·九年级校联考期中）如图，矩形的对角线，交于点，分别以点、为圆心，长为半径画弧，分别交AB、于点、．若，，，则图中阴影部分的面积为．（结果保留）【答案】【分析】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，由图可知，阴影部分的面积是扇形和扇形的面积之和，求出圆心角即可计算．【详解】解：四边形是矩形，，，，，，，∴，，∵，，∴，∴，图中阴影部分的面积为：，故答案为：．三、解答题11．（2023上·安徽芜湖·九年级校联考阶段练习）龙舞腾盛世，某学校为传承中华传统龙狮文化，开办了龙狮特色基地．如图，在训练中，龙的尾部由四名同学摆成了一个弧形，这弧形的弧长部分占龙总长的二分之一，已知弧形的半径为2米，圆心角为，求整条龙的长．【答案】米【分析】本题考查了弧长的计算，根据弧长公式求出弧的长度，即可求出整条龙的长度．【详解】解：∵弧长为（米），∴整条龙的长是（米）．12．（2023上·江苏宿迁·九年级统考期中）如图，已知是的直径，点在上，为外一点，且，．(1)试说明：直线为的切线；(2)若，求阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）证明：连接，由，，得，则，所以，即可证明直线为的切线．（2）连接，则，所以是等边三角形，则，所以，，则，，，即可由求得阴影部分的面积是．【详解】（1）解：如图，连接，，，，，．，，，即，又是的半径，直线为的切线．（2）如图，连接，作，垂足为，则，，，，是等边三角形，，，，，即的半径为4，，，，，，，，，，．【点睛】此题重点考查平行线的判定与性质、切线的判定、等边三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质、扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．13．（2023上·福建南平·九年级校考阶段练习）如图，在中，，点O在上，以点O