2025年高考数学一轮复习：导数的概念及其意义、导数的运算（十二大题型）（讲义）（解析版）

第01讲导数的概念及其意义、导数的运算

目录

01考情透视•目标导航...........................................................2

02知识导图•思维引航...........................................................3

03考点突破•题型探究...........................................................4

知识点1:导数的概念和几何意义................................................................4

知识点2：导数的运算...........................................................................5

解题方法总结...................................................................................6

题型一：导数的定义及变化率问题................................................................6

题型二：导数的运算.............................................................................9

题型三：在点尸处的切线.......................................................................11

题型四：过点P的切线.........................................................................13

题型五：公切线问题............................................................................15

题型六：已知切线或切点求参数问题.............................................................19

题型七：切线的条数问题.......................................................................22

题型八：利用导数的几何意义求最值问题.........................................................28

题型九：牛顿迭代法...........................................................................37

题型十：切线平行、垂直、重合问题.............................................................41

题型十一：奇偶函数图像的切线斜率问题.........................................................45

题型十二：切线斜率的取值范围问题.............................................................47

04真题练习•命题洞见...........................................................49

05课本典例•高考素材...........................................................51

06易错分析•答题模板...........................................................53

易错点：求曲线的切线方程时忽视点的位置.......................................................53

答题模板：求曲线过点P的切线方程.............................................................53

考情透视.目标导航

考点要求考题统计考情分析

2023年甲卷第8题，5分高考对本节内容的考查相对稳定，考查内

(1)导数的定义

2022年1卷第15题，5分容、频率、题型、难度均变化不大.重点考查导

(2)导数的运算

2021年甲卷第13题，5分数的计算、四则运算法则的应用和求切线方程为

(3)导数的几何意义

2021年1卷第7题，5分主.

复习目标：

(1)了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.

(2)通过函数图象，理解导数的几何意义.

(3)能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数.

//二知识导图•思维引航\\

函数/（1）归=M处瞬时变彳七率lim在=lim/（•%+：”•/（小）,

Ax-4）AXAx-4ZLV

我们称它为函数尸/（X）在mXo处的导数，记作/'（项）或/|EJ

厂m数的概今和J1同章义,=同=辿、，函数＞,=/（2fe=.&处的导数/'（.&）的几何意义、

、P数日9微心和几何〜,乂/Y几何忌乂）（即为函数j，=/（；）在点二城处的切线的斜率.）

X------=7^（函数s=s（/）在点4处的导数s'（，o）是物体在，0时刻的瞬时速度「，即xs'O

乂物理意义）-I”电在点,。的导数一（Q是物体而。时刻的瞬时加速度4即a="Q.

/^7cx)=c(c为常数)，/'")=0-

/(x)=v*(ae0,f(x)=axtl

f(x)=ax(a>01LA*1),f'(x)=axlna

f(x)=log^:(a>Q且"1)，/'代)=

基本初等函数的导数公式,,*

/(-v)=e\/'(x)=^

f(x)=lrixt/'(.v)=1

f(x)=shix,f'(x)=cosx/

、'、\^f(x)=cosx,f'(x)=-sinx

T函数和差求导法则:[/(2坨(2]'=/'(.、)坛'(2)

导数的运算法则函数积的求导法则：'=/'(2g(x)+/(Mg'(2)

1函数商的求导法她其30,则[悬]'=/'")飘；?[4'加'(2；

复合函数求导数r复合函数丁=/ko］的导数和函数）'=/（"），〃=/•）的导数间关系为机/可“〃；；

老占突曲・题理探密

知识固本

知识点1:导数的概念和几何意义

1、概念

函数/（%）在尤=%处瞬时变化率是lim"=lim,我们称它为函数y=/⑴在X=%

心.°Ax以―。Ax

处的导数，记作了'（%）或可,气.

知识点诠释：

①增量V可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0.-0的意义：Ax与。之间距离要多近有

多近，即|Ax-0|可以小于给定的任意小的正数；

②当—。时，Ay在变化中都趋于0,但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与

包=/（%+口）-/（/）无限接近；

AxAx

③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率.如瞬时速度即是位移在这一时

刻的瞬间变化率，即尸（%）=lim"=lim/^o+Ax-）-/（xo）.

-Ax"一。Ax

2、几何意义

函数y=/（X）在x=x0处的导数/（与）的几何意义即为函数y=/（X）在点P（x。，%）处的切线的斜率.

3、物理意义

函数s=s⑺在点质处的导数S&）是物体在时刻的瞬时速度V,即丫=5&）；v=v⑺在点r。的导数

MQo）是物体在％时刻的瞬时加速度。，即a=v'G））.

【诊断自测】设/（X）为R上的可导函数，且/'（1）=1，则期严）一弋+2A=（）

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】B

【解析】因为广⑴=lim四二/a士竺0=1,

v7--2Ax

所以1皿了⑴一八"2的二一2.

-Ax

故选:B.

知识点2：导数的运算

1、求导的基本公式

基本初等函数导函数

/(x)=C(c为常数)rw=o

f{x}=xa(aeg)fr(x)=axa~{

/(%)=ax(a>0,aw1)f\x)=axlna

f(x)=logax(a>O,a^l)/'(x)=-^—

xlna

/(x)=//'(x)=，

f(x)=]nx

/V)=-

/(x)=sinxfr(x)=cosx

f(x)=cosxfr(x)=—sinx

2、导数的四则运算法则

(1)函数和差求导法则："(X)土g(x)］'=广(x)±g，(x)；

(2)函数积的求导法则："(x)g(x)］=f\x)g{x}+f(x)gXx)；

(3)函数商的求导法则：g(x)wO,则［效］=/'(x)g(x)1/(龙)g'(x).

g(X)g2(尤)

3、复合函数求导数

复合函数丫=/1g(尤)］的导数和函数y=/(«),〃=g(x)的导数间关系为y：=y,'u'：

【诊断自测】求下列函数的导数：

⑴y=xcosx-(Inx)sinx；

(sinx\1

【解析】(1)y=cosx+x(-sinx)-l-----1-(inx)cosx=cosx(l-lnx)-sinxlx+—

'(x2+l)2(In.r)2

l-3x2x(1-sinx)Inx-(cosx+x)

_26।___________x___________

(x2+l)2(Inx)2

1-3x2x(l-sinx)lnx-(cosx+x)

2A/X(X2+1)2尤(lnx)2

解题方法总结

1、在点的切线方程

f

切线方程y-f(x0)=f(x0)(x-x0)的计算：函数y=/(%)在点A(x0,/(%()))处的切线方程为

%=/(/)

y—/(x())=/'a))(%—xo)，抓住关键

k=f'(x0)

2、过点的切线方程

r

设切点为尸(%,%),则斜率左=/Oo),过切点的切线方程为：y-y0=f(x0)(x-x0)9

又因为切线方程过点A(根，ri),所以〃-%=/(%0)(加-%0)然后解出/的值.(%有几个值，就有几条

切线)

注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外.

3、高考常考的切线方程

(1)y=%是y=ln(x+l)的切线，同时)=%—1是y=lnx的切线，也是y=1—工和y=的切线.

x

(2)丁=%是〉=5111%的切线，丁=%是丁=1211%的切线.

(3)y="是y=e”的切线，y=%+l是y="的切线.

题型洞察

题型一：导数的定义及变化率问题

【典例14］若函数y=/(x)在区间(。㈤内可导，且飞€(〃向，则闻"Xo+"3"x。—")的值为()

A./'(%)B.27(%)

c.-2/(^0)D.0

【答案】B

【解析】由题意知,

1皿“%。+〃）一/（无。一"）=iim22日"？=2/U.

go〃-o2h

故选：B

【典例1-2］如图1,现有一个底面直径为10cm高为25cm的圆锥容器，以2cm?/s的速度向该容器内注入

溶液，随着时间f（单位：S）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度,

V150

D.cm/s

2兀

【答案】C

【解析】设注入溶液的时间为/（单位：S）时，溶液的高为〃cm,

则g兀,得h=J"”.

中平，，

因为,〃=一1•一150r,

3Vitr

i,,1/150^/150

所以当t=时，h'=-3—=-——,

3VJt3兀

即圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为边亘cm/s.

3%

故选：C

【方法技巧】

利用导数的定义，对所给函数式经过拆项、添项等变形和导数定义结构一致，然后根据导数定义求解.

【变式1-1］（多选题）已知/⑺，g（x）在R上连续且可导，且/'优）力0,下列关于导数与极限的说法

中正确的是（）

/(xo-M-/(xo)

A.limB.lim=r(0

-AxAA->02A/z

+3limg(%+Ax)-g(Xo)=g'H)

C.lim/UM~/k)D.

A”。3Ars。/(%+©)-/(%)/'(%)

【答案】BCD

［解析］lim〃x。一.)一/(％)=_］jm/1+(-八)卜)=一故人错;

—Ax——Ax'7

lim”"A"=Hm"2)7(。=a),故B对;

A/z->02NhA/i->02A/z-

Hm"%+3川-/(%)=］伉),由导数的定义知c对；

Av—2AI?*''

limg(%+词-g(龙.)

g(x0+Ax)-g(x。)=…Ax________g(/)口对.

2”(玉+a)-/国)limf(-^o+M-f(x0)f'(x0))、'

-Ax

故选：BCD

【变式1-2](2024•上海闵行•二模)某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期

整改、设企业的污水排放量W与时间f的关系为w=.f(。，用-/㈤一〃")的大小评价在可这段时间

b-a

内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.则下列

正确的命题是()

污

水

达

标

排

放

量

A.在，1,可这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；

B.在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；

C.在4时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标；

D.甲企业在[0d],[%,可，也闯这三段时间中，在[闻的污水治理能力最强

【答案】D

【解析】设甲企业的污水排放量W与时间f的关系为卬=/1«)，乙企业的污水排放量卬与时间/的关系为

w=g«).

对于A选项，在[%,可这段时间内，甲企业的污水治理能力/*)=一旦正处°，

‘2TI

乙企业的污水治理能力g«)=-g)".由图可知，//&)一〃&)>g&)-gg),

所以Kt)>g⑺，即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A选项错误；

对于B选项，由图可知，/?⑺在三时刻的切线斜率小于g⑴在L时刻的切线斜率，

但两切线斜率均为负值，故在右时刻甲企业的污水治理能力比乙企业强，故B选项错误；

对于C选项，在4时刻，甲、乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，

故甲、乙两企业的污水排放都达标，故C选项错误；

对于D选项，由图可知，甲企业在［0d］,［。,可，也，引这三段时间中，

在自国］时幽)-/电)的差值最大，所以在儿,可时的污水治理能力最强，故D选项正确,

故选：D.

题型二：导数的运算

【典例2-1】求下列函数的导数.

(1)y=xex

Inx

(2)y=

x2+1

(3)y=2sin(l-3x)

(4)y二—1dn-+Jl+%2.

【解析】(1)y=e"+xe'=(x+l)e'

x2+1

-2x]nx22

(2)x+1-2xInx

X^X2+1)2

(3)/=2x-3xcos(l-3x)=-6cos(l-3x)

31了一ajJi工

-----1—/-------

4x271774x+14x1+x2

【典例2-2】已知函数F3满足满足/(x)=r(l)ei-/(0)x+gx2；求“好的解析式

【解析】/W=/,(1X-1-/(0)x+|x2=>/,(x)=/'(l)^1-/(0)+x

令x=l得：/(0)=l

得：f(x)=ex—x+—x2

【方法技巧】

(1)对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求

导问题.

(2)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.

【变式2-1】已知“同=：/+2矿(2022)-20221nx,则广(2022)=_.

【答案】-2021

【解析】因为/(x)=g/+2矿(2022)一2022Inx,

70??707?

所以/'(尤)=尤+2/(2022)--,所以/'(2022)=2022+2广(2022)———,

X

解得广(2022)=—2021,

故答案为:-2021.

【变式2-2］设函数〃X)=X(X+D(X+2)(x+10),则7(0)的值为()

A.10B.59C.10x9x—x2xlD.0

【答案】C

【解析】函数/(x)=x(x+l)(x+2)(x+10)的定义域为R,

设g(x)=(x+l)(x+2)…(X+10),贝小a)=xg(x),

所以/(x)=g(x)+x.g［x)

所以r(O)=g(O)+Oxg'(O)=lx2x...x9xlO.

故选：C.

【变式2-3］在等比数列｛%｝中，为屋？，若函数/(%)=；武工-%)(%-〃2)(了-/023)，则/'(0)=(

A.-22022B.22022C.-22023D.22023

【答案】A

［解析］设g(x)=(X-⑷(A%)(X-%O23)，

则〃x)=gxg(无)，/'(x)=gg(无)+；xg，(x),

所以，r(o)=1g(o).

因为｛%｝是等比数列，且♦1012=2,

所以，“1。2023=0202022='~=^1011^1013=。1012=2,

所以，g(0)=(0-4)(0-%)(0一出023)=(-1户”"2-%023=-22阳，

所以，/,(0)=-22022.

故选：A.

【变式2-4］若定义域都为R的函数/")及其导函数/'(X),满足对任意实数x都有

2024

“力-"2025-x)=2x-2025,贝江-㈤=.

k=l

【答案】2024

【解析】对/(力一/(2025—尤)=2%一2025,两边同时求导导数得广(力+/'(2025—力=2,

则⑴+J'(2024)=2,广(2)+广(2023)=2,L,/,(1012)+/,(1013)=2,

2024

从而优)=2x1012=2024.

k=\

故答案为：2024

【变式2・5】求下列函数的导数:

(Xx\

(l)y=2e2+xe2；

\7

(2)y=a2x+x2；

(3)y=sin43x-cos34x；

,八xlnx[/

⑷尸kn(x+l).

-•XX1X\X

【解析】(1)y=2-e1+e2+-xe2=(3+%)61

(2)yr=2a2Vlna+2x

(3)Y=12sin33x-cos34x+12sin43xcos24x

(l+lnx)(x+l)-xlnx1In%

(4)y=

(x+1)2x+1gif

题型三：在点尸处的切线

【典例3-1】（湖南省2024届高三数学模拟试题）曲线y=ln2x在点、,0）处的切线方程为（）

A.2x—y+1=0B.2尤—y—1=0C.2x—y+2=0D.2x—y—2=0

【答案】B

【解析】由题意，y=ln2x的导函数9=：,故曲线y=ln2x在点g,oj处的切线斜率为左=2,

贝U切线方程y=2、-；］=2x-l,即2x-y-l=0,

故选：B.

【典例3-2］（2024•全国•模拟预测）已知曲线/（司=加在点（1,〃功处的切线为/,贝心在V轴上的截

距为（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【解析】由/（x）=xh比得r（x）=hu+i,所以直线/的斜率上=八1）=1,

又/⑴=0,所以直线/的方程为>令x=O,得y=-l,即/在》轴上的截距为-1.

故选：B

【方法技巧】

%=/(/)

函数y=/(x)在点A®,/(x。))处的切线方程为y-/®)=r(Xo)(x-Xo),抓住关键

人―

【变式3-1】曲线"0=217也》_2在点(0,/(0))处的切线方程为()

A.y=3xB.y=2xC.V=xD.>=一天

【答案】C

【解析】由函数/(x)=2e*-sinx-2,可得r(x)=2e*-cosx,

则外0)=1且/(。)=。，即切线的斜率为左=1,切点坐标为(。,0),

所以切线方程为〉=工

故选：C.

【变式3-2](2024•山东济宁•三模)已知函数/(*)为偶函数，当x<0时，/(x)=ln(-x)+x2,则曲线

y=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程是()

A.3x—y—2=0B.3%+y—2.=oc.3x+y+2=0D.3x—y+2=0

【答案】A

【解析】函数为偶函数，当XV。时，/(x)=ln(-x)+x2,

则当x>0时，/(%)=/(-%)=In%+x2,求导得/'(x)=:+2无,则当(1)=3,而/⑴=1,

x

所以曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程是y—l=3(x-l),即3x—y-2=0.

故选：A

【变式3-3](2024•四川•三模)已知函数/(x)=ox+a+cosx(awR),则曲线y=〃x)上一点(0,-2)处

的切线方程为()

A.2x+y+2-QB.x+y+2-O

C.3x+y+2=0D.3x+y-2=0

【答案】C

【解析】由题意可得/(0)=-2,即.+1=-2,所以。=-3,

所以/(X)=-3x+cosx-3,//(x)=-3-sinx,

则r(o)=—3,

所以曲线y=/(x)上一点(0,-2)处的切线方程为y+2=-3x,即3x+y+2=0.

故选：C.

题型四：过点尸的切线

【典例4-1】已知函数〃力=城一6犬+9尤一7,直线/过点（0,1）且与曲线y=〃x）相切，则直线/的斜率为

A.24B.24或-3C.45D.0或45

【答案】B

【解析】由"xbVYd+g-,得r（力=3/一12x+9,

设直线/与曲线y=相切的切点为夕（和兀），

则/（x）在户（不几）处的切线斜率为/'（%）=3片-12x0+9,

所以，切线方程为y—（只一6焉+9%-7）=（3竟—12%+9）（x-%,

将点（0,1）的坐标代入并整理，得君-3后+4=。，

即（%+1）（%—2）=0,解得/=—1或%=2,

所以直线/的斜率为24或-3.

故选：B.

【典例4-2】过点（0,m）可作〃x）=e'-x的斜率为1的切线，则实数加=.

【答案】2-21n2

【解析】由r（x）=e-l,设切点的横坐标为飞,由广&）=人—1=1,解得x°=ln2,

故/（1112）=即2一In2=2-ln2,由过点（In2,2-ln2）且斜率为1的切线方程：

y—（2—ln2）=x—ln2,令无=0得：y=2—21n2,,即〃z=2—21n2.

故答案为：2-21n2.

【方法技巧】

设切点为P（x。，%）,则斜率上=1（％）,过切点的切线方程为：y-y0=f'（x0）（x-x0）,

又因为切线方程过点A（a,6）,所以6-%=100）（。-彳0）然后解出吃的值.

【变式4-1]曲线G"（x）=X+：过点A（|，oJ的切线方程为—.

【答案】3x-4y-8=O或3x+y-8=O

4____4

【解析】「（X）=iim尤++》+-*x=山n11——--]=1-4）

-0Ax-叫x（x+Ax）Jx

因为点不在曲线上，

4

所以设切线的切点是（X。,%）,则切线的斜率左=/'（无。）=1-F,

X。

又切线过点（%,%）和1,0）,

k--_3%

所以一「§一3厮-8，

03

3（x+—）.

所以1_"=3%=0-=3x；+12,

XQ3XQ-83xg-83xg-8x0

化简得其+3%：-4%=。,

因为％。0，所以飞=-4或%o=L

434

所以上=1一77^=1，或左=1一正=_3,

（一4）1

QOO

所以所求切线方程是y=［（%-；）或y=-3（x-f）,

433

即3x—4y—8=0或3x+y—8=0.

故答案为：3x-4丁-8=0或3x+y-8=O.

【变式4-2】过点（0,-2）作曲线〃x）=lnx-2的切线，则切线方程为一.

【答案】y=-x-2

e

【解析】设切点为（七』叫-2）,由〃x）=lnx-2得广（x）=g

则切点处的切线/：y-（1叫）-2）='（%-%0）,

玉）

因为切线过点（0,-2）,所以Im。=1,解得%=e,

所以切线方程为y-（-l）=：（Ae）即y=：x-2.

故答案为：y=-x-2

e

【变式4-3］（2024•山西吕梁•二模）若曲线/（x）=lnx在点9伍,九）处的切线过原点。（0,0）,则

%0=.

【答案】e

【解析】因为/（x）=lnx,所以广（X）=f

所以/（x）在点夕值,人）处的切线方程为y-ln.r0=—（x-x0）.

又切线过原点。(0,0),则-1眸=-1,所以X°=e.

故答案为：e

【变式4-4](2024•高三•海南省直辖县级单位•开学考试)已知函数/(x)=alnx("0),过原点作曲线

y=/(x)的切线/,则切线/的斜率为—.

【答案】-

e

【解析】根据题意得，/v)=->设切点坐标为(工,%),则八%)=巴,

Xxo

所以切线/的方程为丫二^^-不升％,

%

将点(0,0)代入，可得°=幺(°-/)+%,整理得先=环

故“In不：。，解得x0=e,

故广(%)=g，即切线/的斜率为q.

ee

故答案为：—.

e

题型五：公切线问题

【典例5・1】若直线丁=-+)与曲线a：y=3+e'和曲线。2—=1+2同时相切，则人=()

93311

A.-------In—B.2—ln2C.----In—D.3—ln3

22222

【答案】A

【解析】设直线直线y=h+&与曲线G：y=3+e*相切于(九3+e"),

与曲线C2：V=e—相切于点(％e”*2),

曲线G：y=3+e，，其导数y，=e工，则有川『=留，

则在点(九3+"”)处切线的方程为y-(3+e")=e"<x-w),

mram

gPy=ex-We+(3+e),曲线G：y=e»2,其导数y=e«®,则有y'|『=e"+2,

则在(〃,e*2)处切线的方程为y-en+2=en+2(x-n),即y=e2x-ae"?+e"+?,

则有e"'=e"2,则有祖=〃+2,

又由根e"—(3+e",)=〃e"+2—e”+2,则有6"2=,，则〃:足万一2,

故选：A.

【典例5-2】（2024•湖南长沙•一模）若直线y=《（x+l）-l与曲线y=e，相切，直线,=匕（》+1）-1与曲

线y=lnx相切，则左芯的值为（）

A.1B.ec.72D.J

【答案】A

【解题思路】设出两个切点，根据导数几何意义得不户=1,x2lnx2=l,再利用函数/（x）=xlnx的单调性

得到%=炉，最后代入计算即可.

【解析】设直线y=｛（x+l）-l与曲线y=e•'相切于点（占,户），

因为直线＞=K（x+l）—l与曲线y=lnx相切于点（孙111尤2）,

设/?（%）=*矶尤）=1,且直线y=《（x+l）-1过定点（-LT）,

则k=eX|,且匕=----,所以2=1,

x玉+1

设g(x)=lnx,则,(x)=L则且直线y=为(x+l)-l过定点(一1,一1),

X%2

Inx+1

则k2=2所以％21nx2=1，

%+1

令/（x）=xlnx,则/f（x）=l+lnx,

当时，/'（尤）＜0,“X）单调递减，当时，/'（尤）＞0,/⑴单调递增，则

/(X),二，且/。）=0,

,\/nun

当X—O时，/（x）-＞0,且〃x）＜0,所以当xe（O,l）时，〃尤）＜0,

因为/（々）=々山12=1,/（铲）=书百=1,即/（々）=/（峭）=1＞0,

所以々e（l,+oo）,e%1e（l,+（»）,所以々=6"',故％/2=e*-=l.

故选：A.

【方法技巧】

公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有关

切点横坐标的方程组，通过解方程组进行求解.

【变式5・1】（2024•广东茂名•一模）曲线y=与曲线y=/+2必有公切线，则实数，的取值范围是

11

B.--,+ooC.D.—,+00

2

【答案】B

【解析】两个函数求导分别为y'=±y'=2x+2a,

X

设y=lnx,y=Y+2ax图象上的切点分别为(%,考+2方2),

%

则过这两点处的切线方程分别为>=—+1叫T,y^(2x2+2a)x-xl，

x\

12

贝!J—=2々+2。，1叫一1=一后，所以2a=e巧t—2工2，

玉

设/(元)=12-_2》，/,(x)=2(xe^1-l),/'⑴=0,

x21

令g(x)=尸(x)=2(xe--l),所以g，(x)=2(21+1)/一>0,

所以g(x)在R上单调递增，且/'⑴=0,

则/(X)在(-8』)上单调递减，在。,+劝上单调递增，

所以2。2/(1)=-1,«>-1.

故选：B.

【变式5-2](2024•辽宁大连•一模)斜率为1的直线/与曲线y=ln(x+a)和圆好+丫2=：都相切，则实数

。的值为()

A.0或2B.-2或0C.—1或0D.0或1

【答案】A

【解析】依题意得，设直线/的方程为y=x+b,

由直线和圆V+y2=g相切可得,\b\_V2

#+(T)2_2解得8=±1,

当人=1时，y=x+i和y=ln(x+〃)相切,

设切点为(孙〃)，根据导数的几何意义，」一=1,

m+a

[n=0

\n=m+1

又切点同时在直线和曲线上，即I,、，解得弧=-1,

a=2

即、=尤+1和>=ln(x+2)相切，此时将直线和曲线同时向右平移两个单位，

y=x—i和y=lnx仍会保持相切状态，即6=-1时，々=0,

综上所述，a=2或0=().

故选：A

【变式5-3]若存在直线>=立+6,使得函数/(X)和G(x)对其公共定义域上的任意实数，都满足

F(x)>kx+b>G(x),则称此直线y=>+6为4(尤)和G(x)的“隔离直线”.已知函数/(尤)=炉,

g(x)=alnx(a>0),若/(x)和g(x)存在唯一的“隔离直线”，贝！|。=()

A.册B.2>/eC.eD.2e

【答案】D

【解析】当〃力=四与g(x)=q1nx相切时,只有唯一的“隔离直线”，

且“隔离直线”为公切线.设切点为(工,%),

/'(%)=g'(x0),2x0=—,

则xo所以％=A/e,〃=2e.

/(x0)=g(x0),

xl=alwcQ,

故选：D.

【变式5-4](2024•全国•模拟预测)已知函数〃尤)=eTg(尤)=；ei,若直线/是曲线y=与曲线

>=g(x)的公切线，贝U的方程为()

A.ex—y=OB.ex-y-e=0

C.x-y=OD.x-y-l=O

【答案】B

【解析】设/：y=H+二与曲线y=〃x)相切于点A1,%),与y=g(x)相切于点8(石,乂),

由/'(x)=e-,可得/的斜率A=e*T,所以/。-工+加=已①①，

[11e

又由/(％)=万"，可得左二万叫，所以5叫王+机=^^即加=一(工；②,

又因为e与t=ge再③,

将②③代入①中，可1得ee，由③易知，%>o,则％_1=/1玉④，

将④代入③，可得一=]不，则gx「lTn(gxJ=O,

令/z(x)=x-l-Inx,则/(%)=土二，当Ovxvl时，单调递减；

当时，〃(%)>0,%(尤)单调递增.所以⑴=0,当且仅当％=1时取等号,

Ipe

故=1,可得玉=2,所以根=一］＞22=-e,左=^x2=e,

所以/的方程为y=e(x-l),即ex-y-e=0.

故选：B.

题型六：已知切线或切点求参数问题

【典例6-1】若直线丁=质与曲线y=log3%相切，则实数上=()

A.eln3B.elog3e

C.—D.-loge

ee3

【答案】D

【解析】设切点为(M』og3%)，由，=1。83彳可得则^=3

'xln30xom^

—^=上,。=e

所以<x()ln3,解得，1,即左=—log^e.

k=____e

kx0=log3^0[eln3

.故选：D.

【典例6-2】(2024•全国•模拟预测)若直线y=2x-b与曲线=-2ax相切，则，的最小值

为()

A.-eB.-2C.-1D.0

【答案】C

【解析】设切点坐标为(%,%).由已知，得/'(x)=2e2，-2a,则/'(%)=2e2M-2a=2,

解得/=gln(a+l).

又切点在切线>=2x-b与曲线〃x)=e2-2⑪上，

所以ln(a+l)-5=a+l—aln(a+l),所以-6=(a+l)[l-ln(a+l)].

令r=a+l(f>O),g(O=](l_ln℃〉0),则g，(f)=l-ln/+/1-l)=-lnf

令g'(/)=-ln/=0,解得=1.当优(