专题01 静电力作用下物体的平衡与加速模型(解析版)

专题01静电力作用下物体的平衡与加速模型模型1共线库仑力的平衡问题1.平衡条件：每个点电荷受到的两个库仑力必须大小相等，方向相反。2.平衡规律可概括为“三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上；“两同夹异”——正、负电荷相互间隔；“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小；“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷。3.只要其中两个点电荷平衡，第三个点电荷一定平衡，只需根据平衡条件对其中的两个点电荷列式即可。模型2非共线库仑力的平衡问题分析静电力作用下点电荷的平衡问题时，方法仍然与力学中分析物体的平衡方法一样，具体步骤如下：(1)确定研究对象：如果有几个物体相互作用时，要依据题意，适当选取“整体法”或“隔离法”。(2)对研究对象进行受力分析，此时多了静电力(F＝eq\f(kQ1Q2,r2))。(3)根据F合＝0列方程，若采用正交分解，则有Fx＝0，Fy＝0。(4)求解方程。模型3两电悬绳平衡问题+++)θ1αβθ2(l1l2m1、q1m2、q2如图，比较m1和m2、q1和q2大小?(1)电荷间的库仑力是相互作用力，无论q1和q2大小关系如何，二者间的库仑力始终等值反向，所以q1和q2大小无法判断；(2)方法一、正弦定理法++)θ1αβθ++)θ1αβθ2(l1l2m1、q1m2、q2m1gm2gFFαβ)θ1θ2(对m1：[来源:学+科+网Z+X+X+K]对m2：对悬绳构成的三角形有：联立解得m1gl1sinα=m2gl2sinβ特殊情况：若l1=l2，α=β，则m1=m2。方法二、力乘力臂法+++αβl1l2m1、q1m2、q2m1gm2gα以整体为研究对象，以悬点为转动轴，两根轻绳拉力的力臂均为零，根据转动平衡知:动力乘以动力臂等于阻力乘以阻力臂，即m1g·l1sinα=m2g·l2sinβ。方法三、重心法+++αβl1l2m1、q1m2、q2重心以整体为研究对象，整体受重力和两根轻绳的拉力，根据三力平衡必共点，因此整体的重心必过悬点正下方。所以有m1·l1sinα=m2·l2sinβ。模型4库仑力作用下的非平衡问题与力学问题的处理方法相同，明确研究对象，分析运动过程，再分析包括库仑力在内的所有力，依据牛顿运动定律或者动能定理列方程，并灵活选用整体法和隔离法分析问题。【模型演练1】如图所示，带电荷量分别为＋q和＋4q的两点电荷A、B，相距L，问：(1)若A、B固定，在何处放置点电荷C，才能使C处于平衡状态？(2)在(1)中的情形下，C的电荷量和电性对C的平衡有影响吗？(3)若A、B不固定，在何处放一个什么性质的点电荷，才可以使三个点电荷都处于平衡状态？【答案】见解析【解析】(1)由平衡条件，对C进行受力分析，C应在AB的连线上且在A的右边，设与A相距r，则eq\f(k·q·qc,r2)＝eq\f(k·4q·qc,（L－r）2)解得：r＝eq\f(L,3)(2)电荷量的大小和电性对平衡无影响。(3)设放置的点电荷的电荷量为Q，分别对A、B受力分析，根据平衡条件对电荷A：eq\f(k·4q·q,L2)＝eq\f(kQ·q,r2)对电荷B：eq\f(k·4q·q,L2)＝eq\f(kQ·4q,（L－r）2)联立可得：r＝eq\f(L,3)，Q＝eq\f(4,9)q(负电荷)即应在AB连线上且在A的右边，距A点电荷eq\f(L,3)处放置一个电荷量为eq\f(4,9)q的负电荷。【模型演练2】（2024·全国·高考真题）如图，两根不可伸长的等长绝缘细绳的上端均系在天花板的O点上，下端分别系有均带正电荷的小球P、Q；小球处在某一方向水平向右的匀强电场中，平衡时两细绳与竖直方向的夹角大小相等。则（）A．两绳中的张力大小一定相等B．P的质量一定大于Q的质量C．P的电荷量一定小于Q的电荷量D．P的电荷量一定大于Q的电荷量【答案】B【详解】由题意可知设Q和P两球之间的库仑力为F，绳子的拉力分别为T1，T2，质量分别为m1，m2；与竖直方向夹角为θ，对于小球Q有对于小球P有联立有所以可得又因为可知，即P的质量一定大于Q的质量；两小球的电荷量则无法判断。故选B。【模型演练3】如图所示，在光滑的绝缘水平面上，有两个质量相等、相距为r、带电荷量分别为和的小球甲、乙，在水平恒力F作用下做匀加速直线运动。若甲、乙两球的质量分别为m和2m，带有异种电荷，现在甲球上施加水平向右大小为F的作用力后，当两小球保持相对静止时，两小球间的距离为r；若改用方向水平向左大小为的力作用在乙上后，两小球仍能保持相对静止时，则两小球间的距离变为

A．4r B．2r C．r D．0.5r【答案】C【详解】当方向水平向右、大小为的力作用在甲上，甲、乙间的距离为r时，有若改用方向水平向左大小为的力作用在乙上，设两小球间的距离保持为并相对静止时，有联立可得故选C。【模型演练4】如图所示，长为L的绝缘细线系一质量为m、电荷量为q的小球，细线的另一端固定在O点，由于空间存在水平向右的电场，小球静止时细线与竖直方向的夹角为37°。当给小球一定的初速度时，小球可绕O点在竖直平面内做圆周运动。重力加速度为g。请思考下列问题：（1）小球所受的静电力为多大？（2）小球做圆周运动时，在哪个位置速度最小？在哪个位置速度最大？（3）在小球静止处给小球一个多大的初速度v0，小球刚好能在竖直平面内绕O做圆周运动？【答案】（1）；（2）见解析；（3）【详解】（1）对小球受力分析如图所示根据平衡条件有（2）小球静止时，重力与静电力的合力沿细线方向，当小球做圆周运动时，小球无论运动到什么位置，小球所受静电力与重力的合力总是与竖直方向成角，大小恒定不变，这与没有电场时小球可以静止在最低点，无论小球运动到什么位置重力总是竖直向下一样，因此存在电场的情况下，小球可以保持静止的位置相当于只有重力时的“最低点”，而能保持静止处于圆心对称的位置，相当于只有重力时的“最高点”，因此小球做圆周运动时在“最低点”速度最大，在“最高点”速度最小。（3）小球恰好做圆周运动，在“最高点”的速度最小应满足从“最低点”到“最高点”由动能定理可得联立解得一、单选题1．如图所示，用两根绝缘细线各悬挂质量分别为和的小球，悬点为O，两小球均带正电荷，当小球由于静电力作用张开一角度时，A球和B球在同一水平面，A球悬线与竖直线夹角为α，B球悬线与竖直线夹角为β，如果，，已知：，。则两小球和之比为（）A．4∶3 B．9∶16 C．16∶9 D．3∶4【答案】C【详解】设A、B两球之间的静电力为，对A根据几何关系有对B根据几何关系有联立可得故选C。2．如图所示，用两根等长的轻质细线把两个可视为点电荷的小球、悬挂在点。两小球静止时，细线与竖直方向的夹角分别为和，两小球的质量分别为和，电荷量绝对值分别为和。已知大于，则（）A．一定大于 B．可能等于C．可能等于 D．一定大于【答案】B【详解】CD.对两球受力分析，如图所示根据共点力平衡和几何关系的相比，得由于已知大于，则则有故CD错误；AB.两球间的库仑力是作用力与反作用力，一定相等，与两个球带电量的多少无关，所以不能确定电荷的多少，故A错误，B正确；故选B。3．如图所示，电量为Q的带正电的小球A通过绝缘杆固定，为了使带电小球B在A的左下方连线与水平方向成角处静止，在竖直平面内加一个匀强电场，两小球均可视为点电荷，AB两球的距离为r，静电力常量为k。则所加电场的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由图可知，当电场力与库仑力垂直时电场力最小，则所加电场力的最小值为则场强最小值为故选A。4．如图所示，三个点电荷、、电性如图所示，其中、电荷固定且所带电荷量均为，点电荷质量为，自由放在倾角为的光滑斜面上处于静止状态。、、三点连线构成等边三角形，边长为，连线平行于斜面，已知静电力常量为，重力加速度为，所处空间为真空，则电荷所带的电荷量为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】对点电荷受力分析，如图所示根据库仑定律可得因为点电荷处于平衡状态，根据平衡条件，可得解得故选A。5．如图所示，光滑绝缘的水平桌面的同一直线上，放置三个可视为点电荷的小球M、N和P，其中M和N固定，带电量分别为-q1和+q2，若小球P能保持静止，则（）A．P一定带正电，q1＝q2 B．P一定带负电，q1＝q2C．P可能带正电，q1＞q2 D．P可能带负电，q1＜q2【答案】C【详解】根据题意可知，若小球P能保持静止，则小球M、N对P的作用力等大反向，由同种电荷相互吸引，异种电荷相互排斥可知，由于小球M、N带异种电荷，无论P带何种电荷，小球M、N对P的作用力方向都相反，设小球P的带电量为，由库仑定律可得可得故选C。6．如图所示，在绝缘且光滑水平地面上有两个带异种电荷的小球A、B，质量分别为、带电量分别为、当用力F向右拉着A时，A、B小球共同运动，两小球之间的间距为。当用力F向左拉着B时，A、B小球共同运动，两小球之间的间距为，则和的比值为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】对A、B整体由牛顿第二定律有可知，无论拉力作用在A上还是作用在B上两球共同运动的加速度大小相同，则当拉力作用在A上时，对小球B由牛顿第二定律有当拉力作用在B上时，对小球A由牛顿第二定律有解得故选C。7．如图所示，在光滑的绝缘水平面上，有两个质量相等、相距为r、带电荷量分别为和的小球甲、乙，在水平恒力F作用下做匀加速直线运动。若甲、乙两球的质量分别为2m和m，两小球带异种电荷。将方向水平向右、大小为F的力作用在甲上，当两小球间的距离为r时，两小球可保持相对静止。若改用方向水平向左的力作用在乙上，欲使两小球间的距离保持为2r并相对静止，则外力的大小应为（）

A． B．C． D．【答案】B【详解】当方向水平向右、大小为的力作用在甲上，甲、乙间的距离为r时，有若改用方向水平向左的力作用在乙上，两小球间的距离保持为并相对静止时，有联立可得故选B。二、多选题8．（2021·湖北·高考真题）如图所示，一匀强电场E大小未知、方向水平向右。两根长度均为L的绝缘轻绳分别将小球M和N悬挂在电场中，悬点均为O。两小球质量均为m、带等量异号电荷，电荷量大小均为q（q>0）。平衡时两轻绳与竖直方向的夹角均为θ=45°。若仅将两小球的电荷量同时变为原来的2倍，两小球仍在原位置平衡。已知静电力常量为k，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（）A．M带正电荷 B．N带正电荷C． D．【答案】BC【分析】本题考查库仑定律、受力分析以及共点力的平衡。【详解】AB．由题图可知，对小球M受力分析如图（a）所示，对小球N受力分析如图（b）所示，由受力分析图可知小球M带负电，小球N带正电，故B正确，A错误；CD．由几何关系可知，两小球之间的距离为当两小球的电荷量为q时，由力的平衡条件得两小球的电荷量同时变为原来的2倍后，由力的平衡条件得整理解得故C正确，D错误。故选BC。9．如图所示，光滑绝缘水平面上放置两个带电小球、，带电量分别为、，两球间距为，将带电量为的小球放在球右侧处时，三个球恰好都处于静止状态；若球电荷量增大为，且保持球的电荷量和、两球间距不变时，将带电量为的小球放在球左侧处，三个球也恰好都处于静止状态，各小球都可视为点电荷。下列选项正确的是（）A． B．C． D．【答案】AC【详解】B．根据同一直线上三个点电荷能处于静止状态，三个电荷的电性关系具有“两同夹异”的特点，则、电性相反，、电性相同，、电性相反，选项B错误；ACD．若小球能保持静止，则小球、在处形成的场强矢量和为零若小球能保持静止，则小球、在处形成的场强矢量和为零，结合两式得同理得选项D错误，选项AC正确。故选AC。三、解答题10．某学习小组通过实验用共点力平衡的方法来测量带电体之间静电力的大小，实验装置示意图如图所示。一个质量为m带正电的小球B用绝缘细丝线悬挂于C点，O点在C点正下方h处，以O点为坐标原点，沿水平方向建立一维坐标系。将另一个带正电的小球D靠近B，B受到静电力F作用而发生偏移。调整D的位置，使B、D球心在同一高度，且始终与坐标轴在同一竖直平面内，记录小球B静止时细丝线与坐标轴交点A的坐标x。已知重力加速度为g。（1）画出小球B的受力示意图。（2）推导静电力F与坐标x的关系式。（3）定义单位静电力变化引起的坐标x变化为测量的灵敏度，即，请说明提高灵敏度的办法。【答案】（1）；（2）；（3）增大，减小【详解】（1）小球B的受力示意如图（2）沿水平和竖直方向建立直角坐标系，如图所示正交分解力，小球B静止，由平衡条件，水平方向有竖直方向有由几何关系联立解得（3）由（2）的结论得由此可知，提高灵敏度的办法：增大，减小。11．两个完全相同的质量都为m、带等量电荷的小球A、B分别用等长的绝缘细线悬挂在同一水平面上相距为的M、N两点，平衡时小球A、B的位置如图甲所示，已知小球B带负电，此时两球相距为l，细线与竖直方向夹角均为θ=45°，若外加水平向左的匀强电场，两小球平衡时位置如图乙所示，细线刚好沿竖直方向，已知静电力常量为k，重力加速度为g，求：（1）A球的电性及所带的电荷量Q；（2）外加匀强电场的场强E的大小。【答案】（1）正电，；（2）【详解】（1）已知小球B带负电，由甲图可知，A球带正电，对A球受力分析，由平衡条件可得解得A球所带的电荷量为（2）加电场后对A球受力分析，由平衡条件可得解得12．如图所示，在竖直平面内有两个点电荷，固定在同一水平直线上相距为的A、两点，其电荷量分别为、。在A、两点连线的垂直平分线处固定一光滑竖直绝缘杆，在杆上点有一个质量为、电荷量为的小环（可视为点电荷）由静止释放。已知A、、三点连线为正三角形，重力加速度为。求：（1）释放小环瞬间，小环所受库仑力的大小；（2）小环滑到点时的速度大小。【答案】（1）；（2）【详解】（1）由库仑定律A处正点电荷对点处小环的库仑力大小处负点电荷对点处小环的库仑力大小释放小环瞬间，两点电荷对小环的合力大小（2）小环从滑到，电场力不做功，根据动能定理有因为所以小环滑到点时的速度大小13．如图所示，带电小球A和B（可视为点电荷）放在倾角为的光滑固定绝缘斜面上，A球的质量为，所带电荷量为，B球的质量为，所带电荷量为。沿斜面向上的恒力作用于A球，可使AB保持间距不变沿斜面向上做匀加速直线运动，已知重力加速度为，静电力常量为，求：（1）加速度的大小；（2）恒力的大小。【答案】（1）；（2）【详解】（1）根据库仑定律，两球相互吸引的库仑力A球和B球的加速度相同，隔离B球，由牛顿第二定律有所以（2）把A球和B球看成整体，AB间的库仑力为系统内力，由牛顿第二定律有所以14．如图所示，质量为m的小球穿在绝缘细杆上，杆的倾角为，小球A带正电，电荷量为q。在斜面上B点处固定一个电荷量为Q的正电荷。将A由距B竖直高度为H处无初速度释放，小球A下滑过程中电荷量不变。不计A与细杆间的摩擦，整个装置处在真空中，已知静电力常量k和重力加速度g。求：（1）A球刚释放时的加速度大小；（2）当A球的动能最大时，求此时A球与B点的距离。【答案】（1）；（2）【详解】（1）由牛顿第二定律可得根据库仑定律有A球刚释放时，有联立解得（2）当A球受到的合力为零，即加速度为零时，动能最大。设此时A球与B点间的距离为d，则有解得15．如图所示，质量为1kg的小球A穿在光滑绝缘细杆上，杆的倾角为，小球A带正电，电荷量为。在杆上B点处固定一个电量为1C的正电荷。将小球A由距B竖直高度为1m处无初速度释放。已知静电力常量和重力加速度。求：（1）A球刚释放时的加速度的大小；（2）当A球的速度最大时，A球与B点的距离（结果用分数表示）。

【答案】（1）；（2）【详解】（1）在A点位置上，受力分析，由牛顿第二定律有解得（2）对小球分析可知，小球在向B处下滑过程，其开始做加速度减小的加速运动，当加速度为零的时候其速度达到最大值，设此时距离B点的距离为l，有解得16．如图，小球用两根等长的绝缘细绳、悬挂在水平天花板上，两绳之间的夹角为，的质量为，电荷量为，的正下方处固定有一带等量异种电荷的小球，、均可视为点电荷，静电力常量，重力加速度。问：（1）细绳的拉力大小为多少？（2）若剪断细绳瞬间，小球的加速度方向与细绳垂直，则细绳的拉力大小和小球的加速度大小分别为多少？

【答案】（1）N；（2），【详解】（1）小球、之间的库仑力对小球A受力分析，根据平衡条件有解得N（2）根据牛顿第二定律联立解得17．如图，质量的带正电小球套在光滑的竖直绝缘细杆上，杆底端固定一个与小球电荷量相等的小球，整个装置处在真空中。小球从离底端的位置由静止释放后沿杆下滑，刚释放时加速度大小已知静电力常量，取重力加速度求：（1）小球所带的电荷量：（2）小球速度最大时与的距离。（3）已知小球的最大速度为求（2）下降H过程中库仑力所做的功W。【答案】（1）；（2）（3）【详解】（1）小球刚释放时受重力与库仑力，根据牛顿第二定律，则有其中刚释放时加速度大小为综上所解得（2）当小球加速度时，速度最大，则有解得（3）对小球速度最大，用动能定理，有解得18．如图所示，Q为固定的正点电荷，A、B两点在Q的正上方和Q相距分别为h和0.25h，将另一点电荷从A点由静止释放，运动到B点时速度正好又变为零。若此电荷在A点处的加速度大小为，试求：（1）此电荷在B点处的加速度；（2）A、B两点间的电势差（用Q和h表