27.2.3 第1课时 切线的判定与性质定理课件2023-2024学年华东师大版九年级数学下册

第27章圆27.2与圆有关的位置关系27.2.3切线第1课时切线的判定与性质定理

1.通过探究，得出切线的判定定理，能够运用切线的判定定理解决问题.2.知道切线的性质定理，并能运用切线的性质定理解决问题.◎重点:运用圆的切线的判定定理和性质定理进行证明与计算.◎难点:灵活运用所学知识解决有关切线问题.

(1)用一根细线系一个小球，当你快速转动细线时，小球运动形成一个圆，突然这个小球脱落，沿着圆的边缘飞出去，你知道小球顺着什么方向飞出去吗？(2)下雨天，快速转动雨伞，雨伞上的水珠是顺着什么方向飞出去的？

切线的判定定理

阅读课本本课时前5段的内容，完成下面问题.如图，OA是☉O的半径，记为r，过点A作直线l⊥OA.1.由图可知，对直线l上除点A外的任何一点P，必有OP

＞

OA，即点P在圆外，从而直线与圆只有

一

个公共点，所以直线l是圆的

切线

.

2.设点O到l的距离为d，则d与r的等量关系是

d＝r

，由此我们可知直线l是☉O的

切线

.

归纳总结

切线的判定定理:经过圆的半径的

外端

且

垂直

于这条半径的直线是圆的切线.

＞一切线d＝r切线外端垂直·导学建议·在探究切线的判定方法时，注意引导“经过圆的半径的外端”“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，可以采用提出“经过圆的半径的外端的直线是圆的切线”，“与半径垂直的直线是圆的切线”这种假命题的方法来让学生讨论、判断和理解.答:1.根据直线与圆的公共点个数判断:与圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线.2.根据圆心到直线的距离d与这个圆的半径r之间的关系判断:若d＝r，则这条直线是圆的切线.3.根据切线的判定定理判断:经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

【讨论】你有哪几种方法判断一条直线是圆的切线？·导学建议·可让学生分组讨论，总结出切线的几种判定方法，便于以后灵活应用.

切线的性质定理

·导学建议·问题引入:将切线的判定定理反过来，如果直线l是☉O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？

阅读课本本课时第6段至”练习”之前的内容，完成下面问题.如图，直线l是☉O的切线，则圆心O到直线l的距离

等于

半径，若A为切点，则半径OA就是圆心O到直线l的

垂线段

，即l

⊥

OA.

等于垂线段⊥归纳总结

切线的性质定理:圆的切线

垂直于

经过

切点

的半径.

垂直于切点·导学建议·证明切线的判定定理与性质定理前，可先让学生通过画图，体会定理的正确性，然后分组讨论，说明理由.

1.下列直线中一定是圆的切线的是(

B

)A.与圆有公共点的直线B.到圆心的距离等于半径的直线C.垂直于圆的半径的直线D.过圆的直径端点的直线B2.如图，AT切☉O于点A，AB是☉O的直径.若∠ABT＝40°，则∠ATB＝

50°

.

50°

切线的判定1.如图，已知AB是☉O的直径，点P为圆上一点，点C为AB延长线上一点，PA＝PC，∠C＝30°.求证:CP是☉O的切线.证明:连接OP.图略，∵PA＝PC，∠C＝30°，∴∠A＝∠C＝30°，∴∠APC＝120°.∵OA＝OP，∴∠OPA＝∠A＝30°，∴∠OPC＝120°－30°＝90°，即OP⊥CP，∴CP是☉O的切线.证明:连接OP.图略，∵PA＝PC，∠C＝30°，∴∠A＝∠C＝30°，∴∠APC＝120°.∵OA＝OP，∴∠OPA＝∠A＝30°，∴∠OPC＝120°－30°＝90°，即OP⊥CP，∴CP是☉O的切线.方法归纳交流

证明一条直线是圆的切线，当已知条件中直线与圆有公共点时，连接过公共点的半径，然后证明这条半径与直线

垂直

.

垂直

切线的性质定理的应用2.如图，△ABC的边AC与☉O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与☉O相切，切点为B.如果∠A＝34°，那么∠C等于(

A

)A.28°B.33°C.34°D.56°A

解:如图，连接OC.∵AC与☉O相切于点C，∴OC⊥AC.

设☉O的半径为r，设☉O的半径为r，则OC＝OB＝r，∵AB＝1，∴OA＝1＋r.在Rt△OAC中，∵OA2＝

OC2＋AC2，

∴☉O的半径是1.在Rt△OAC中，∵OA2＝OC2＋AC2，

∴☉O的半径是1.

方法归纳交流

利用切线的性质定理解题时，通常连接过切点的半径，构造

直角

三角形.

直角

切线的性质与判定的综合应用4.(易错题)如图，已知OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，☉D与OA相切于点E.求证:OB与☉D相切.

证明:连接DE，图略，过点D作DF⊥OB于F.∵OA是切线，∴DE⊥OA.∵OC平分∠AOB，∴DE＝DF，∴☉D与OB相切于F.证明:连接DE，图略，过点D作DF⊥OB于F.·导学建议·提醒学生注意:证明圆的切线时，若没有告诉直线与圆的公共点，应该“作垂线”.证明:连接DE，DF，图略.∵OA，OB是☉D的切线，∴DE⊥OA，DF⊥OB.在Rt△EOD与Rt△FOD中，∵DE＝DF，OD＝OD，∴Rt△EOD≌Rt△FOD，∴∠EOD＝∠FOD，

变式演练

在上题中，如果已知OA、OB是☉D的切线，切点分别是E，F，试说明OD是∠AOB的平分线.∴OD是∠AOB的平分线.

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC边交于点D.以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作☉O(不写作法，保留作图痕迹)，再判断直线BC与☉O的位置关系，并说明理由.解:如图，BC是☉O的切线.理由如下:连接OD，∵AD