上海市华东师范大学周浦中学2022-2023学年高一下学期期末数学试卷(解析)

高中数学精编资源学年第二学期高一期末考试数学试卷一、填空题1.若角的终边上有一点,则的值是______.【答案】【解析】【分析】直接利用正切函数的定义可以求解.【详解】由正切函数的定义可得,则.故答案为:.【点睛】本题考查三角函数定义的应用,属于基础题.2.函数的最小正周期为________【答案】【解析】【详解】试题分析:因为,所以其最小正周期考点:三角函数周期3.已知复数满足,则__________.【答案】【解析】【分析】根据复数的除法运算求出,再根据复数的模的公式即可得解.【详解】由,得,所以.故答案为:.4.在复数范围内的平方根是__________.【答案】【解析】【分析】根据复数概念即可求解.【详解】因为,复数范围内的平方根为,故答案为:5.已知坐标平面上三个点、、,则的重心坐标是__________.【答案】【解析】【分析】根据三角形重心坐标公式即可求解.【详解】.故答案为:6.已知,,则在方向上的投影向量的坐标为__________.【答案】##【解析】【分析】根据投影向量的定义求解即可.【详解】由,,得在方向上的投影向量为.故答案为:.7.在△ABC中,若则____.【答案】【解析】【详解】试题分析:(a+b+c)(b+c﹣a)=3bc,展开化为:b2+c2﹣a2=bc.再利用余弦定理即可得出.详解:∵(a+b+c)(b+c﹣a)=3bc,∴(b+c)2﹣a2=3bc,化为:b2+c2﹣a2=bc.∴cosA=,∵A∈(0,π),∴A=60°.故答案为.点睛:本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数,属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式:(1);(2),同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外,在解与三角形、三角函数有关的问题时,还需要记住等特殊角的三角函数值,以便在解题中直接应用.8.等差数列{an}是递增数列,若a2＋a4＝16,a1·a5＝28,则通项an＝_________.【答案】3n－1【解析】【分析】由已知结合等差数列的性质可得,解方程组求出,从而可求出公差,进而可求得数列的通项公式【详解】设公差为d,∵a2＋a4＝a1＋a5＝16,∴由,解得或.∵等差数列{an}是递增数列,∴a1＝2,a5＝14.∴d＝＝＝3,∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1.故答案为:3n－19.已知等差数列的各项不为零,且、、成等比数列,则公比是________【答案】1或【解析】【分析】由、、成等比数列,列方程找出,从而可求出公比【详解】解:设等差数列的公差为,因为、、成等比数列,所以,即,化简得,或当时,等差数列的每一项都相等,所以、、成等比数列时的公比为1当时,,所以,所以等比数列的公比为1或5故答案为:1或【点睛】此题考查的是等差数列和等比数列的基本量的运算,属于基础题10.已知正方形的边长为2,点满足,则__.【答案】-1【解析】【分析】首先根据条件确定点位置,然后建立平面直角坐标系并写出各点坐标,然后根据数量积的坐标运算进行求解即可.【详解】建立坐标系如图,正方形的边长为2,则,,,点满足,所以,,,所以.故答案为:11.已知三点共线于直线,对直线外任意一点,都有,则的最小值为________.【答案】【解析】【分析】先由A、B、C三点共线,得到,利用基本不等式“1”的妙用求最值.【详解】由题意,A、B、C三点共线所以存实数λ使得,即,所以而所以则,所以当且仅当,即时取等号.因此的最小值为.故答案为:.12.已知向量是平面内的一组基底,O为内的一定点,对于内任意点P,当时,则称有序实数对(x,y)为点P的广义坐标,若点A､B的广义坐标分别为,有以下四个命题:①线段AB中点的广义坐标为②A,B两点间的距离为③向量平行于向量的充要条件是:④向量垂直于向量的的充要条件是:其中正确命题为___________(填写序号).【答案】①③【解析】【分析】利用中点坐标公式可判断①;利用平面两点间的距离公式可判断②;利用向量平行的充要条件可判断③;利用向量垂直的充要条件可判断④.【详解】由题意知,根据中点公式知①正确;只有平面直角坐标中两点间的距离公式②才正确,而题意未必是平面直角坐标系,故②错误;由向量平行的充要条件得③正确;与垂直的充要条件为,故④错误.故答案为:①③二、选择题,每题只有一个选项,正确的结论代号写在题后的括号内13.已知复数(为虚数单位)为纯虚数,则实数()A.2 B. C.或2 D.【答案】A【解析】【分析】由于复数为纯虚数,所以,从而可求出的值【详解】解:因为复数(为虚数单位)为纯虚数,所以,由,得或,由,得且,所以,故选:A14.将函数的图像向右平移单位,再向上平移1个单位,所得函数图像对应的函数表达式为()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意,结合图象的平移变化即可求解.【详解】将函数的图像向右平移单位,得函数,再将函数向上平移1个单位,得函数.故选:D.15.关于等差数列和等比数列,下列四个选项中正确的有()A.若数列的前n项和(a,b,c为常数),则数列为等差数列B.若数列的前n项和,则数列为等比数列C.数列是等差数列,为前n项和,则,,,…仍为等差数列D.数列是等比数列,为前n项和,则,,,…仍为等比数列【答案】BC【解析】【分析】由得,进而可判断A和B;由等差数列的性质判断C;举反例判断D.【详解】根据题意,依次分析选项:对于选项A:因为,,当时,,所以,所以只有当时,数列成等差数列,故A错误;对于选项B:因为,,当时,,当时,,符合上式,所以,则数列成等比数列,故B正确;对于选项C:数列是等差数列,为前项和,则,,,是公差为(为的公差)的等差数列,故C正确;对于选项D:令,则,,,是常数列,显然不是等比数列,故D错误.故选:BC.16.欧拉公式(为虚数单位,,为自然底数)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,现有以下两个结论:①;②其中所有正确结论的编号是()A.①②均正确 B.①②均错误C.①对②错 D.①错②对【答案】A【解析】【分析】对①,通过欧拉公式,,算出即可;对②,先将欧拉公式逆用,将原式化简为,再通过指数运算性质化简,最后再用欧拉公式展开,最后算出即可.【详解】对①,由题意,,正确;对②,原式===,正确.故选:A.三、解答题(满分48分,)本大题共5题,解答下列各题必须写出必要的步骤.17已知,.(1)若,求实数的值;(2)若,求实数的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据向量共线满足的坐标关系即可求解,(2)根据向量垂直的坐标关系即可求解.【小问1详解】因为,所以,所以;【小问2详解】因为,所以,所以.18.已知复数,,其中为虚数单位,.(1)当、是实系数一元二次方程的两个虚根时,求、的值.(2)求的值域.【答案】(1),;(2).【解析】【分析】(1)由于、是方程的两个虚根,得出,求出的值,再根据根与系数的关系可求出、;(2)直接求出的表达式,利用三角函数以及二次函数的性质,求出值域即可.【详解】(1)已知复数,,、是方程的两个虚根,所以,即,所以,所以,,由韦达定理可得,;(2)【点睛】方法点睛:三角函数最值的不同求法:①利用和的最值直接求;②把形如的三角函数化为的形式求最值;③利用和的关系转换成二次函数求最值;④形如或转换成二次函数求最值.19.如图,摩天轮上一点P在时刻t(单位:分钟)距离地面的高度y(单位:米)满足,已知该摩天轮的半径为50米,圆心O距地面的高度为60米,摩天轮做匀速转动,每3分钟转一圈,点P的起始位置在摩天轮的最低点处.(1)根据条件写出y关于t的函数解析式;(2)在摩天轮转动的一圈内,有多长时间点P距离地面的高度超过85米?【答案】(1);(2)分钟【解析】【分析】(1)根据题意得到,,当时,,解得答案.(2)解不等式得到答案.【详解】(1)根据题意:,故,,,故.当时,,即,,故..(2),故,.解得,解得,故有分钟长的时间点P距离地面的高度超过85米.【点睛】本题考查了三角函数的应用,意在考查学生的计算能力和应用能力.20.已知等比数列,前项和为,满足.(1)求的值及的通项公式;(2)求值;(3)若数列满足,求数列的前项和.【答案】(1),(2)(3)【解析】【分析】(1)根据与的关系求出前3项,再由题意知为等比数列即可求出及公比和首项即可求解;(2)把(1)的结论代入化简,再根据等比数列前项和公式即可求解;(3)分组求和即可求解.【小问1详解】由可得,,,因为数列是等比数列,所以,即,所以,.所以,,符合题意;【小问2详解】由(1)知,,所以,令,则,,所以是首项为,公比为的等比数列,所以.【小问3详解】因为,所以.21.数列的数列的首项,前n项和为,若数列满足:对任意正整数n,k,当时,总成立,则称数列是“数列”(1)若是公比为2的等比数列,试判断是否为“”数列？(2)若是公差为d的等差数列,且是“数列”,求实数d的值;(3)若数列既是“”,又是“”,求证:数列为等差数列.【答案】(1)不是“”数列;(2);(3)证明见解析;【解析】【分析】(1)假设是数列,由已知,可得,当时,,,,故可判断不是为为数列;(2)设的公差为d,则,由题意,即,解方程即可;(3)由数列既是“数列”,又是“数列”,可得,,进一步推理可得成等差数列,成等差数列,从而即成等差数列.【详解】(1)因为,,所以,假设是数列,则当时,则成立,但时,,,,所