2025年高考数学总复习 68 第八章 微专题 抛物线二级结论的应用

微专题抛物线二级结论的应用在高中阶段，对圆锥曲线的学习只有抛物线给出了准线的概念，借助准线给出了抛物线的定义．以抛物线的定义为主要依据，得到了涉及焦点弦的很多结论，应用这些结论可以快速解决一些特定情境的问题，解决问题的过程充分体现了数学抽象、直观想象和数学运算的核心素养．我们以抛物线y2＝2px(p>0)为例来研究．已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，α为直线AB与x轴正半轴的夹角，且A(x1，y1)，B(x2，y2)．类型一活用x1x2＝p24，y1y2＝－【例1】直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，抛物线C的准线上一点M(－1，－1)满足MA·MB＝0，则|A．6 B．5C．42 D．32B解析：由抛物线C的准线上一点M(－1，－1)，知p2＝1，解得p＝2，故F设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，y1y2＝－4，MA＝(x1＋1，y1＋1)，MB＝(x2＋1，y2＋1)．因为MA·MB＝0，所以(x1＋1)(x2＋1)＋(y1＋1)(y2化简得x1＋x2＋y1＋y2＝1.设AB的中点N的坐标为(x0，y0)，直线l的斜率为k，则x0＋y0＝12①k＝kAB＝y1且k＝kNF＝y0所以2y0＝y0x0－1由①②，解得x0＝32所以|AB|＝x1＋x2＋p＝2x0＋p＝5.【例2】(多选题)直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点F，且与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列说法正确的是()A．抛物线C的焦点坐标为(1，0)B．|AB|的最小值为4C．对任意的直线l，x1x2＝1D．以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切BD解析：抛物线C：x2＝4y的焦点为F(0，1)，A选项错误；抛物线的焦点弦中，通径最短，故|AB|的最小值为4，B选项正确；由题意，抛物线的焦点在y轴，则x1x2＝－p2＝－4，C选项错误；如图所示，设AB的中点为M，过A，B，M分别作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，M′，则|MM′|＝AA'可知以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切，D选项正确．类型二活用|AB|＝x1＋x2＋p＝2【例3】已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点．若A1，22，则|ABA．9 B．7C．6 D．5A解析：由题意得F(2，0)，设直线l的倾斜角为α，所以kl＝tanα＝kAF＝22所以sinα＝223，所以【例4】已知抛物线x2＝12y的焦点为F，过焦点F的直线y＝kx＋m(k>0)与抛物线相交于A，B两点．若|AB|＝36，则k＝()A．2 B．2C．22 D．B解析：由抛物线x2＝12y可得焦点F(0，3)，代入y＝kx＋m(k>0)，得m＝3.联立y＝kx+3，x2＝12y设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝12k，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋6＝12k2＋6.由抛物线的定义可得|AB|＝y1＋y2＋p＝12k2＋12＝36，解得k＝2.类型三活用1【例5】过抛物线C：y2＝12x的焦点F的直线l与C相交于M，N两点，则4|MF|＋|NF|的最小值为()A．15 B．18C．21 D．27D解析：由题意知p＝6.因为1MF令|MF|＝a，|NF|＝b，则1a所以4|MF|＋|NF|＝31MF+1NF·4MF+＝3×(5+b当且仅当ba＝4ab即|MF|＝924|MF|＋|NF|取得最小值，最小值为27.【例6】已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(4，0)，过点F作直线l交抛物线于M，N两点，则p＝________，NF9－813解析：因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(4，0)，所以p＝8，抛物线的方程为y2＝16x因为1NF+1所以NF9当且仅当NF9故NF9－4类型四活用|AF|＝p1－【例7】已知直线l：y＝kx－p2与抛物线C：y2＝2px(p>0)相交于A，B两点(其中A位于第一象限)．若|BF|＝3|FAA．－3 B．－3C．－1 D．－1A解析：由题意，直线l过抛物线的焦点，且k<0，设直线l的倾斜角为α，因为|BF|＝3|FA|，所以p1+cosα＝3p1所以k＝tanα＝－3.【例8】(多选题)已知过抛物线y2＝2x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且满足|AF|>|BF|.若|AB|＝3，则()A．l的斜率的绝对值为22B．|AF|－|BF|＝3C．|AF|·|BF|＝3D．AFBCD解析：设直线的倾斜角为α.|AB|＝2psin2α＝2sin则l的斜率的绝对值为2，故A错误；因为AF>BF，所以因为|AF|＋|BF|＝3，所以|AF|＝3+32，BF＝3－3