2023-2024学年上海市杨浦区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年上海市杨浦区九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）1．如果、均不为零），那么下列四个结论中，正确的是A． B． C． D．2．在中，，，那么下列结论正确的是A． B． C． D．3．下列两个三角形不一定相似的是A．有一个内角是的两个等腰三角形 B．有一个内角是的两个等腰三角形 C．有一个内角是的两个等腰三角形 D．有一个内角是的两个等腰三角形4．下列说法中，正确的是A．如果和是相反向量，那么 B．如果和是平行向量，那么 C．如果，那么 D．如果为非零向量），那么5．如图，已知点、分别在的边、的延长线上，下列给出的条件中，不能判定的是A． B． C． D．6．如图，在中，点、分别在边、上，四边形是平行四边形，点、在边上，交于点．甲、乙两位同学在研究这个图形时，分别产生了以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①、②皆正确 D．①、②皆错误二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分）7．已知，那么．8．已知点是线段的黄金分割点，，如果，那么．9．已知向量与单位向量方向相反，且，那么（用向量的式子表示）．10．如果两个相似三角形对应边之比是，且较小的三角形的周长是12，那么较大三角形的周长是．11．在中，，，，那么．12．如图，已知，，，，那么．13．如图，是洞孔成像原理的示意图，物体物像，根据图中标注的尺寸，如果物体长，那么物像的长度是．14．已知如图，点是的重心，过点作，分别交、于点、，那么．15．已知在与中，，，，且，那么度．16．如图，已知在中，点在边上，，，那么的值是．17．在中，，点是边上的一点，线段将分成两个小三角形，如果这两个小三角形是相似三角形，且相似系数等于2，那么线段的长是．18．如图，已知在中，，，，点是边上一点，将沿着翻折，点落在点处，连接，如果，设与边交于点，那么的值是．三、解答题：（本大题共7题，满分46分）19．（5分）计算：．20．（5分）如图，在平行四边形中，点是边的中点，与对角线交于点，设，．（1）用向量、表示向量；（2）在图中求作向量分别在、方向上的分向量．（不写作法）21．（5分）如图，在中，点是边上一点，分别交延长线、边于点、，，交于点，，求证：．22．（5分）如图，已知在中，，，点是边的中点，连接，求的正弦值．23．（8分）已知：如图，在中，点、分别在边、上，，平分．（1）求证：；（2）如果，求证：．24．（8分）已知：如图，在中，点是边上的一点，连接，．（1）求证：；（2）过点作，垂足为点，，点在边上，，求的值．25．如图，已知在中，，，点、在边上（点在点右侧，点不与点重合），，过点作，交的延长线于点．（1）当时，求线段的长；（2）设，，求关于的函数解析式，并写出的取值范围；（3）连接，如果与相似，求的长．

2023-2024学年上海市杨浦区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）1．如果、均不为零），那么下列四个结论中，正确的是A． B． C． D．解：，，所以、、选项不符合题意，选项符合题意．故选：．2．在中，，，那么下列结论正确的是A． B． C． D．解：，令，，，，，，，．故选：．3．下列两个三角形不一定相似的是A．有一个内角是的两个等腰三角形 B．有一个内角是的两个等腰三角形 C．有一个内角是的两个等腰三角形 D．有一个内角是的两个等腰三角形解：、有一个内角是的两个等腰三角形，因为是等腰三角形的顶角与底角不能确定，则两个三角形不一定相似，故此选项符合题意；、有一个内角是的两个等腰三角形都是等边三角形，两个等边三角形相似，故此选项不合题意；、有一个内角为的两个等腰三角形，一定相似，故此选项不合题意；、有一个内角是的两个等腰三角形，一定相似，故此选项不合题意．故选：．4．下列说法中，正确的是A．如果和是相反向量，那么 B．如果和是平行向量，那么 C．如果，那么 D．如果为非零向量），那么解：如果和是相反向量，那么，故选项错误；如果和是平行向量，那么和方向相同或相反，模不一定相等，故选错误；由无法得到，因为方向不一定相同，故选项错误；如果为非零向量），那么，正确，故选：．5．如图，已知点、分别在的边、的延长线上，下列给出的条件中，不能判定的是A． B． C． D．解：，，选项正确；不能判定，选项不正确；，，选项正确；，，选项正确．故选：．6．如图，在中，点、分别在边、上，四边形是平行四边形，点、在边上，交于点．甲、乙两位同学在研究这个图形时，分别产生了以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①、②皆正确 D．①、②皆错误解：四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，故①正确，，，，，，，故②正确，故选：．二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分）7．已知，那么．解：，．故答案为：．8．已知点是线段的黄金分割点，，如果，那么．解：设，根据题意得：，解得：，则．故答案为：．9．已知向量与单位向量方向相反，且，那么（用向量的式子表示）．解：向量与单位向量方向相反，且，．故答案为：．10．如果两个相似三角形对应边之比是，且较小的三角形的周长是12，那么较大三角形的周长是18．解：两个相似三角形对应边之比是，相似比为：，周长比为：，较小三角形的周长为12，较大三角形的周长为：．故答案为：18．11．在中，，，，那么10．解：，令，，，，，．故答案为：10．12．如图，已知，，，，那么．解：，，即，解得：，．故答案为：．13．如图，是洞孔成像原理的示意图，物体物像，根据图中标注的尺寸，如果物体长，那么物像的长度是．解：，，，，．故答案为：．14．已知如图，点是的重心，过点作，分别交、于点、，那么．解：连接并延长交于一点，点是的重心，，，，，，，．故答案为：．15．已知在与中，，，，且，那么90度．解：，，，，又，，，故答案为：90．16．如图，已知在中，点在边上，，，那么的值是．解：过作于，如图：设，，，，，，，，即，解得，，，，，在中，，；故答案为：．17．在中，，点是边上的一点，线段将分成两个小三角形，如果这两个小三角形是相似三角形，且相似系数等于2，那么线段的长是．解：如图，不可能等于或，与相似时，，当时，，不合题意，舍去；当时，或，当时，，，，解得，当时，，，，解得，综上所述，的长为．故答案为：．18．如图，已知在中，，，，点是边上一点，将沿着翻折，点落在点处，连接，如果，设与边交于点，那么的值是．解：如图，将沿着翻折，点落在点处，，，，，，，，，，，，连接交于，，，，，，，，，，，故答案为：．三、解答题：（本大题共7题，满分46分）19．（5分）计算：．解：原式．20．（5分）如图，在平行四边形中，点是边的中点，与对角线交于点，设，．（1）用向量、表示向量；（2）在图中求作向量分别在、方向上的分向量．（不写作法）解：（1）四边形是平行线四边形，，，，，点是边的中点，，，，，，，，；（2）如图所示，．21．（5分）如图，在中，点是边上一点，分别交延长线、边于点、，，交于点，，求证：．【解答】证明：，，，，，，，，．22．（5分）如图，已知在中，，，点是边的中点，连接，求的正弦值．解：过作于，过作于，如图：，，，，，点是边的中点，，，是的中位线，，，，在中，，，即．23．（8分）已知：如图，在中，点、分别在边、上，，平分．（1）求证：；（2）如果，求证：．【解答】证明：（1），，，，，平分，，，，，，，，，；（2），，，，，又，，，即，又，．24．（8分）已知：如图，在中，点是边上的一点，连接，．（1）求证：；（2）过点作，垂足为点，，点在边上，，求的值．【解答】（1）证明：如图，过点作于点，，，；（2）解：，，，，，，，，（负值舍去），，，，，，．25．如图，已知在中，，，点、在边上（点在点右侧，点不与点重合），，过点作，交的延长线于点．（1）当时，求线段的长；（2）设，，求关于的函数解析式，并写出的取值范围；