2024-2025学年九年级数学上学期期中测试卷03北师大版

2024-2025学年九年级数学上学期期中考测试卷03一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．以下四组线段，成比例的是（）A．2cm，3cm，4cm，6cm B．2cm，4cm，6cm，8cm C．3cm，4cm，5cm，6cm D．4cm，6cm，6cm，8cm【答案】A【解答】解：A、，则是成比例线段，选项正确；B、，则不是成比例线段，选项错误；C、，则不是成比例线段，选项错误；D、，则不是成比例线段，选项错误．故选：A．2．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0时，下列变形正确的是（）A．（x﹣3）2＝1 B．（x﹣3）2＝10 C．（x+3）2＝1 D．（x+3）2＝10【答案】B【解答】解：方程移项得：x2﹣6x＝1，配方得：x2﹣6x+9＝10，即（x﹣3）2＝10，故选：B．3．一个布袋里装有6个只有颜色可以不同的球，其中2个红球，4个白球．从布袋里随意摸出1个球，则摸出的球是红球的概率为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：因为一共有6个球，红球有2个，所以从布袋里随意摸出1个球，摸到红球的概率为：．故选：D．4．关于平行四边形ABCD的叙述，正确的是（）A．若AB⊥BC，则平行四边形ABCD是菱形 B．若AC⊥BD，则平行四边形ABCD是正方形 C．若AC＝BD，则平行四边形ABCD是矩形 D．若AB＝AD，则平行四边形ABCD是正方形【答案】C【解答】解：A、错误．若AB⊥BC，则平行四边形ABCD是矩形；B、错误．若AC⊥BD，则平行四边形ABCD是菱形；C、正确．D、错误．若AB＝AD，则平行四边形ABCD是菱形；故选：C．5．一个小组有若干人，新年互送贺年卡一张，已知全组共送贺年卡72张，则这个小组有（）A．12人 B．18人 C．9人 D．10人【答案】C【解答】解：设这个小组有n人×2＝72n＝9或n＝﹣8（舍去）故选：C．6．已知菱形的面积为24cm2，一条对角线长为6cm，则这个菱形的边长是（）厘米．A．8 B．5 C．10 D．4.8【答案】B【解答】解：设菱形的另一对角线长为xcm，×6×x＝24，解得：x＝8，菱形的边长为：＝5（cm），故选：B．7.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，即，解得，故选：B.8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O，BC＝2，AE⊥BD，垂足为E，∠BAE＝30°，那么△ECO的面积是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】点C作CF⊥BD于F．依据矩形的性质得到∠ABE＝∠CDF＝60°，AB＝CD，AD＝BC＝2，∠AEB＝∠CFD＝90°．依据全等三角形的性质得到AE＝CF．解直角三角形得到OE＝，依据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：如图：过点C作CF⊥BD于F．∵矩形ABCD中，BC＝2，AE⊥BD，∴∠ABE＝∠CDF＝60°，AB＝CD，AD＝BC＝2，∠AEB＝∠CFD＝90°．∴△ABE≌△CDF，（AAS），∴AE＝CF．∴CF＝AE＝AD＝1，∴BE＝AE＝，AB＝2BE＝，∵BD＝2AB＝，∴OE＝，∴S△ECO＝OE•CF＝××1＝，故选：B．9．如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处，测得自身影子CD的长为1米，向前接着走3米，测得自己影子EF的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是（）米．A．8 B．7.2 C．6 D．4.5【答案】C【解答】解：∵MC∥AB，∴△DCM∽△DAB，∴，即①，∵NE∥AB，∴△FNE∽△FAB，∴，即②，∴，解得：BC＝3，∴，解得AB＝6，即路灯A的高度AB为6m．故选：C．10．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．给出以下结论：①DG＝DF；②四边形EFDG是菱形；③EG2＝GF×AF；④当AG＝6，EG＝时，BE的长为，其中正确的编号组合是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF＝∠DFG，从而得到GD＝DF，接下来依据翻折的性质可证明DG＝GE＝DF＝EF，连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG＝OF＝GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相像三角形的性质可证明DF2＝FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系，过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG＝4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相像三角形的性质可求得GH的长，最终依据BE＝AD﹣GH求解即可．【解答】解：∵GE∥DF，∴∠EGF＝∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD＝GE，DF＝EF，∠DGF＝∠EGF，∴∠DGF＝∠DFG．∴GD＝DF．故①正确；∴DG＝GE＝DF＝EF．∴四边形EFDG为菱形，故②正确；如图1所示：连接DE，交AF于点O．∵四边形EFDG为菱形，∴GF⊥DE，OG＝OF＝GF．∵∠DOF＝∠ADF＝90°，∠OFD＝∠DFA，∴△DOF∽△ADF．∴＝，即DF2＝FO•AF．∵FO＝GF，DF＝EG，∴EG2＝GF•AF．故③正确；如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．∵EG2＝GF•AF，AG＝6，EG＝2，∴20＝FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40＝0．解得：FG＝4，FG＝﹣10（舍去）．∵DF＝GE＝2，AF＝10，∴AD＝＝4．∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH∥AD．∴△FGH∽△FAD．∴＝，即＝，∴GH＝，∴BE＝AD﹣GH＝4﹣＝．故④正确．故选：D．二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)11．已知，则的值【答案】【分析】依据，可设x＝2k，y＝5k，然后代入比例式进行计算即可得解．【解答】解：设x＝2k，y＝5k，则12．一只妈蚁在如图所示的树枝上寻见食物，假定妈蚁在每个岔路口都会随机地选择一条径，则它获得食物的概率是．【答案】【分析】把树枝看作数状图，它展示全部8种等可能的结果数，再找出有食物的结果数，然后依据概率公式计算．【解答】解：共有8种等可能的结果数，其中有食物的占2种，全部它获得食物的概率＝．13．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2024＝0有一个根为x＝﹣1，则a+b＝．【答案】2024【分析】把x＝﹣1代入方程，整理即可求出a+b的值．【解答】解：把x＝﹣1代入方程有：a+b﹣2024＝0，即a+b＝2024．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，E是AC的中点．若DE＝5，则AB的长为.【答案】10【解答】解：∵AB＝AC∴△ABC是等腰三角形又∵AD是∠BAC的平分线∴AD⊥BC∵E是AC的中点，DE＝5∴AB=1015．为了改善居民住房条件，某市安排用将来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10m2提高到12.1m2．若每年的年增长率相同，则年增长率为【答案】10%【解答】解：设年增长率为x，依据题意列方程得10（1+x）2＝12.1解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不符合题意舍去）所以年增长率为0.1，即10%，16．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，2），C（6，4），以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△DEF与△ABC对应边的比为1：2，则线段AC的中点P变换后对应的点的坐标为．【答案】（2，）或（﹣2，）【分析】位似变换中对应点的坐标的改变规律：在平面直角坐标系中，假如位似变换是以原点为位似中心，相像比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．本题中k＝2或﹣2．【解答】解：∵两个图形的位似比是1：（﹣）或1：，AC的中点是（4，3），∴对应点是（2，）或（﹣2，）．17．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC＝3，OC＝6，则另始终角边BC的长为．【答案】9【分析】过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，依据正方形的性质得出∠AOB＝90°，OA＝OB，求出∠BOF＝∠OAM，依据AAS证△AOM≌△BOF，推出AM＝OF，OM＝FB，求出四边形ACFM为矩形，推出AM＝CF，AC＝MF＝3，得出等腰三角形三角形OCF，依据勾股定理求出CF＝OF＝6，求出BF，即可求出答案．【解答】解：过O作OF⊥BC于F，过A作AM⊥OF于M，∵∠ACB＝90°，∴∠AMO＝∠OFB＝90°，∠ACB＝∠CFM＝∠AMF＝90°，∴四边形ACFM是矩形，∴AM＝CF，AC＝MF＝3，∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB＝90°，OA＝OB，∴∠AOM+∠BOF＝90°，又∵∠AMO＝90°，∴∠AOM+∠OAM＝90°，∴∠BOF＝∠OAM，在△AOM和△OBF中∴△AOM≌△OBF（AAS），∴AM＝OF，OM＝FB，∴OF＝CF，∵∠CFO＝90°，∴△CFO是等腰直角三角形，∵OC＝6，由勾股定理得：CF＝OF＝6，∴BF＝OM＝OF﹣FM＝6﹣3＝3，∴BC＝6+3＝9．三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题6分，共18分)18．解方程：（1）2x2﹣4x﹣1＝0（2）（x+1）2＝6x+6．【解答】解：（1）∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，∴△＝b2﹣4ac＝16+8＝24，∴x＝，∴x1＝，x2＝（2）（x+1）2﹣6（x+1）＝0分解因式得，（x+1）（x+1﹣6）＝0∴x1＝﹣1，x2＝519．如图，为了估计河的宽度在河的对岸选定一个目标点A，在近岸取点B、C、D、E，使点A、B、D在一条直线上且DE∥BC，假如BC＝24m，BD＝12m，DE＝40m，求河的宽度AB．【解答】解：∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴，即，∴AB＝18（m）．答：河的宽度AB为18m．甲、乙两队进行拔河竞赛，裁判员让两队队长用“石头、剪刀、布”的手势选择场地位置．规则是：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，手势相同再决输赢．请你运用所学学问说明裁判员的这种做法对甲、乙双方是否公允，为什么？(用树状图或列表法解答)解：裁判员的这种做法对甲、乙双方是公允的．理由如下：用列表法表示全部可能的结果如下表：乙甲石头剪刀布石头(石头，石头)(石头，剪刀)(石头，布)剪刀(剪刀，石头)(剪刀，剪刀)(剪刀，布)布(布，石头)(布，剪刀)(布，布)依据表格得，P(甲获胜)＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3)，P(乙获胜)＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).∵P(甲获胜)＝P(乙获胜)，∴裁判员这种做法对甲、乙双方是公允的．四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题8分，共24分)21．如图，阳光下，小亮的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段BC所示，线段DE表示旗杆的高，线段FG表示一堵高墙．（1）请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照耀下形成的影子；（2）假如小亮的身高AB＝1.6m，他的影子BC＝2.4m，旗杆的高DE＝15m，旗杆与高墙的距离EG＝16m，恳求出旗杆的影子落在墙上的长度．【解答】解：（1）如图：线段MG和GE就表示旗杆在阳光下形成的影子．（2）过M作MN⊥DE于N，设旗杆的影子落在墙上的长度为x，由题意得：△DMN∽△ACB，∴又∵AB＝1.6，BC＝2.4，DN＝DE﹣NE＝15﹣xMN＝EG＝16∴解得：x＝，答：旗杆的影子落在墙上的长度为米．22．某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100出售，一天可售出100件，后来经过市场调查，发觉这种商品每降低1元，其销量可增加10件．（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？【解答】解：（1）（100﹣80）×100＝2000（元），答：商场经营该商品原来一天可获利润2000元；（2）设每件商品应降价x元，依题意得：（100﹣80﹣x）（100+10x）＝2160，即x2﹣10x+16＝0，解得：x1＝2，x2＝8．答：每件商品应降价2元或8元．23．在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．【分析】（1）依据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，依据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再依据矩形的判定，可得答案；（2）依据平行线的性质，可得∠DFA＝∠FAB，依据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF＝∠DFA，依据角平分线的判定，可得答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE＝DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠DFA＝∠FAB．在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC＝＝5，∴AD＝BC＝DF＝5，∴∠DAF＝∠DFA，∴∠DAF＝∠FAB，即AF平分∠DAB．五、解答题(三)(本大题共2小题，每小题10分，共20分)24．如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，AC与DE交于点F．（1）求证：CE∥AD；（2）求证：AC2＝AB•AD；（3）若AC＝，AB＝8，求的值．【分析】（1）欲证明CE∥AD，只要证明∠ACE＝∠CAD即可；（2）由AC平分∠DAB得∠DAC＝∠CAB，加上∠ADC＝∠ACB＝90°，依据相像三角形的性质即可得到结论；（3）依据相像三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵E为AB中点，∠ACB＝90°∴CE＝AB＝AE，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD；（2）证明：∵AC