3.2.1 双曲线的标准方程 （七大题型）（原卷版）

3.2.1双曲线的标准方程课程标准学习目标（1）能从几何情境中认识双曲线的几何特征，说出双曲线的定义，发展直观想象素养．（2）能类比椭圆标准方程的建立过程，推导出双曲线的标准方程，并能用于解决简单的问题，进一步体会建立曲线的方程的方法，发展直观想象、数学运算素养．（1）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.（2）掌握双曲线的标准方程及其求法.（3）能利用双曲线的定义和标准方程解决一些实际应用问题．知识点01双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距．知识点诠释：1、双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3、若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；4、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．【即学即练1】（2023·全国·高三专题练习）已知动点满足，则动点的轨迹是（

）A．射线 B．直线C．椭圆 D．双曲线的一支知识点02双曲线的标准方程标准方程的推导：如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：（1）建系设点；（2）点的集合；（3）代数方程；（4）化简方程等步骤．（1）建系设点取过焦点、的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴（2）建立直角坐标系．设为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是（），那么F1、F2的坐标分别是、．又设点M与、的距离的差的绝对值等于常数．（2）点的集合由定义可知，双曲线就是集合：．（3）代数方程∵，∴（4）化简方程将这个方程移项，两边平方得：化简得：两边再平方，整理得：（以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．）由双曲线定义，即c＞a，所以．设，代入上式得：即，其中这就是双曲线的标准方程．双曲线的标准方程：1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中椭圆、双曲线的区别和联系：椭圆双曲线根据根据，，，（a＞b＞0），（a＞0，b＞0，a不一定大于b）（a最大）（c最大）标准方程统一为：方程（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件方程可化为，即，所以只有A、B异号，方程表示双曲线．当，时，双曲线的焦点在x轴上；当，时，双曲线的焦点在y轴上．知识点诠释：1、当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式．此时，双曲线的焦点在坐标轴上．2、双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且．3、双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的系数，如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上．4、对于双曲线，不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．【即学即练2】（2023·全国·高二专题练习）若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（

）A． B．C．或 D．或知识点03求双曲线的标准方程①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值．其主要步骤是“先定型，再定量”；②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程．知识点诠释：若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉，点的集合成为双曲线的一支，先确定方程类型，再确定参数a、b，即先定型，再定量．若两种类型都有可能，则需分类讨论．【即学即练3】（2023·广东东莞·高三校联考阶段练习）已知双曲线，四点、、、中恰有三点在上，则双曲线的标准方程为．题型一：双曲线的定义例1．（2023·全国·高三专题练习）已知点，，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是（

）A． B．C． D．例2．（2023·全国·高三专题练习）如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是，那么点到它的左焦点的距离是（

）A． B． C．或 D．不确定例3．（2023·全国·高二期中）若点在双曲线上，双曲线的焦点为，且，则等于（）A．2 B．4 C．8 D．12变式1．（2023·全国·高二专题练习）平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是（

）A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线变式2．（2023·全国·高二专题练习）设，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的右支交于P，Q两点，则（

）A．5 B．6 C．8 D．12题型二：双曲线的标准方程例4．（2023·全国·高二期中）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：(1)，焦点是，的双曲线；(2)离心率为，短轴长为6的椭圆.例5．（2023·新疆喀什·高一校考期末）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程．(1)中心在原点，实轴在轴上，一个焦点坐标为的等轴双曲线；(2)椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，且它的一个顶点坐标为．例6．（2023·高二课时练习）双曲线经过两点，，则双曲线的标准方程是．变式3．（2023·内蒙古呼伦贝尔·高二海拉尔第一中学校考期末）设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为26，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．变式4．（2023·全国·高二专题练习）已知等轴双曲线经过点，则的标准方程为（

）A． B． C． D．题型三：双曲线方程的充要条件例7．（2023·高二单元测试）方程表示的曲线，下列说法错误的是（

）A．当时，表示两条直线B．当，表示焦点在x轴上的椭圆C．当时，表示圆D．当时，表示焦点在x轴上的双曲线例8．（2023·全国·高二专题练习）对于常数a，b，“”是“方程对应的曲线是双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件例9．（2023·全国·高二专题练习）设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（

）A． B．C． D．变式5．（2023·全国·高二专题练习）“”是“为双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件变式6．（2023·全国·高二专题练习）当时，方程所表示的曲线是（

）A．焦点在轴的椭圆 B．焦点在轴的双曲线C．焦点在轴的椭圆 D．焦点在轴的双曲线题型四：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题例10．（2023·高二课时练习）设点P在双曲线上，，为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于.例11．（2023·陕西安康·高二校联考期末）设，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且满足，则的面积是例12．（2023·全国·高二专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为．变式7．（2023·全国·高二专题练习）已知点分别是双曲线的下、上焦点，若点是双曲线下支上的点，且，则的面积为.变式8．（2023·全国·高二专题练习）已知点F1，F2分别是双曲线=1的左、右焦点，若点P是双曲线左支上的点，且，则△的面积为.变式9．（2023·全国·高二专题练习）若是双曲线的左、右焦点，点在该双曲线上，且是等腰三角形，则的周长是.变式10．（2023·四川南充·高二四川省南充高级中学校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与双曲线的右支交于点，，连接交双曲线的左支于点，若，，，则的面积是．变式11．（2023·全国·高二专题练习）已知，为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C上，，则．变式12．（多选题）（2023·全国·高二专题练习）已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，P是C上一点，且位于第一象限，，则（

）A．P的纵坐标为 B．C．的周长为 D．的面积为4题型五：椭圆上两点距离的最值问题例13．（2023·高二课时练习）已知点，点在曲线上运动，点在曲线上运动，则的最小值是．例14．（2023·湖北·高二校联考期末）已知圆与轴的交点分别为双曲线的顶点和焦点，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的取值范围为.例15．（2023·高二课时练习）已知定点，且，动点满足，则的最小值是.变式13．（2023·高二单元测试）平面内，线段的长度为10，动点满足，则的最小值为．题型六：椭圆上两线段的和差最值问题例16．（2023·全国·高二专题练习）设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（

）A． B． C． D．例17．（2023·江苏盐城·高二江苏省射阳中学校考阶段练习）已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点在轴上，中心在坐标原点，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（

）A． B． C． D．例18．（2023·全国·高二专题练习）已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8变式14．（2023·全国·高二专题练习）已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（

）A． B． C． D．变式15．（2023·全国·高二专题练习）已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（）A．5 B．7 C．9 D．11变式16．（2023·全国·高二专题练习）已知为双曲线的左焦点，为其右支上一点，点，则周长的最小值为（

）A． B． C． D．变式17．（2023·全国·高二专题练习）已知，双曲线的左､右焦点分别为，点是双曲线右支上一点，则的最小值为（

）A．5 B．7 C．9 D．11变式18．（2023·吉林·高二统考期中）已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最小值是（

）A． B． C． D．变式19．（2023·高二课时练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为F，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（

）A． B．8 C． D．9变式20．（2023·全国·高二专题练习）设P是双曲线上一点，M､N分别是两圆和上的点，则的最大值为（

）A．6 B．9 C．12 D．14变式21．（2023·全国·高二随堂练习）已知双曲线的左焦点为，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为，则的最大值为（

）A．3 B．1 C． D．变式22．（2023·河南洛阳·高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，，直线AP，BP相交于点P，且它们斜率之积是.当时，的最小值为（

）A． B． C． D．题型七：求轨迹方程例19．（2023·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考阶段练习）已知动圆与圆，圆中的一个外切､一个内切，求动圆圆心的轨迹方程为例20．（2023·全国·高二课堂例题）如图所示，已知定圆：，定圆：，动圆M与定圆，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为.

例21．（2023·全国·高二课堂例题）如图，在中，已知，且三内角A，B，C满足，建立适当的平面直角坐标系，则顶点C的轨迹方程为.

变式23．（2023·全国·高二专题练习）已知动圆P过点，且与圆外切，则动圆P圆心的轨迹方程为.变式24．（2023·全国·高二专题练习）动圆过点，且与圆外切，则动圆圆心的轨迹方程是．变式25．（2023·全国·高二专题练习）已知圆，圆，若动圆E与，都外切，则圆心E的轨迹方程为.变式26．（2023·全国·高二专题练习）一动圆P过定点，且与已知圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是．变式27．（2023·上海·高二专题练习）已知，两点，则满足的动点的轨迹方程为.变式28．（2023·湖北恩施·高二校考阶段练习）已知椭圆的方程为，其左､右顶点分别为，一条垂直于轴的直线交椭圆于两点，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为.变式29．（2023·浙江杭州·高二杭州四中校考期末）法国数学家蒙日发现：双曲线的两条互相垂直切线的交点的轨迹方程为：，这个圆被称为蒙日圆.若某双曲线对应的蒙日圆方程为，则.变式30．（2023·全国·高二专题练习）设P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段的中点，则点M的轨迹方程为．变式31．（2023·全国·高二专题练习）已知圆C1：（x＋3）2＋y2＝1和圆C2：（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为.变式32．（2023·高二课时练习）已知椭圆，作垂直于x轴的直线l交椭圆于A，B两点，作垂直于y轴的直线m交椭圆于C，D两点，且，直线l与直线m交于P点，则点P的轨迹方程为．一、单选题1．（2023·陕西咸阳·高二咸阳彩虹学校校考阶段练习）若双曲线的焦点与椭圆的长轴端点重合，则的值为（

）A．2 B．4 C． D．2．（2023·安徽安庆·高二安庆市第七中学校考阶段练习）以椭圆的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是（

）A． B． C． D．3．（2023·安徽阜阳·高二阜阳市第三中学校考阶段练习）已知曲线表示双曲线，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．4．（2023·四川遂宁·高二射洪中学校考期中）设是双曲线左支上的动点，分别为左右焦点，则（

）A． B． C．4 D．5．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）设、分别是双曲线：的左、右两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（

）A．4 B． C．3 D．26．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．7．（2023·广东深圳·高二校考期中）若椭圆与双曲线有相同的焦点，，P是两曲线的一个交点，则的面积是（）A． B．t C．2t D．4t8．（2023·江西上饶·高二上饶市第一中学校考阶段练习）已知圆的圆心为，过点的直线交圆于、两点，过点作的平行线，交直线于点，则点的轨迹为（）A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线二、多选题9．（2023·江苏南京·高二南京市第五高级中学校考阶段练习）已知曲线.有（

）A．若，则是焦点在轴上的椭圆B．若，则是半径为的圆C．若，则是双曲线，且渐近线的方程为D．若，则是两条直线10．（2023·江苏无锡·高二辅仁高中校考阶段练习）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（

）A．当时，曲线C是椭圆B．当或时，曲线C是双曲线C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则D．若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则11．（2023·江西上饶·高二江西省广丰中学校考阶段练习）已知点P在双曲线C：上，分别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则（

）A． B．C．点P到x轴的距离为4 D．12．（2023·江西萍乡·高二萍乡市安源中学校考期中）2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）的正视图近似伯努利双纽线.定义在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹成为双纽线，已知点是双纽线上一点，下列说法正确的有（

）．

A．双纽线关于原点中心对称；B．；C．双纽线上满足的点有两个；D．的最大值为.三、填空题13．（2023·陕西咸阳·高二咸阳彩虹学校校考阶段