2.2基本不等式-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义

新教材必修第一册2.2：基本不等式课标解读：基本不等式.（理解）利用基本不等式求最值.（理解）基本不等式的应用.（理解）学习指导：注意从数与形的角度审视基本不等式，体会数形结合思想的应用.通过“积定”与“和定”来把握最值定理并研究最值，加深对“一正、二定、三相等”的.注重基本不等式的变形，体会其特征，强化记忆.知识导图：教材全解知识点1：基本不等式（重点）1.重要不等式，有，当且仅当时，等号成立.证明：，当且仅当时，等号成立.2.基本不等式如果，那么，当且仅当时，等号成立.其中叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数.例1-1：设，则下列不等式中正确的是（）.A.B.C.D.答案：B例1-2：判断下列两个推导过程是否正确：（1）；（2）答案：（1）推导错误，不符合基本不等式的条件；（2）推导正确.知识点2：最值定理（重点）已知都是正数，（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值（2）如果和等于定值，那么当时，积最大值最值定理简记为：和定积最大，积定和最小.例2-3：若，则函数（）.A.有最大值-4B.有最小值4C.有最大值-2D.有最小值2答案：B例2-4：已知，且，则的最大值为（）.80B.77C.81D.82答案：C例2-5：，使得，则实数的取值范围是（）.A.B.C.D.答案：B想一想：使得，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.答案：D重难拓展知识点3：基本不等式的证明方法的探究分析法和综合法：分析法：要证，即证，即证，即证.当且仅当时，等号成立.综合法（将分析法的过程倒过来叙述）：∵∴，即，即，当且仅当时，等号成立.思考：你还有其他证明不等式的方法吗？例3-3：已知均为正数，，求证：.答案：要证只需证即证即证即证即证即证，由已知可得，不等式显然成立.故知识点4：基本不等式的变式与拓展1.基本不等式链若，则，当且仅当时，等号成立.其中叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数.其几何意义如图所示：特别提醒：1.上述不等式链内涵丰富，在实际运用中相对基本不等式等位广泛，但它们都是在基本不等式的基础上拓展而来的，也都可以由基本不等式（重要不等式）加以证明.2.一般来说，一下四组不等式可以作为基本不等式的应用形态：①②③④2.一个热点基本不等式若，则，当且仅当时，等号成立.证明：∵，∴，当且仅当，即时等号成立.例4-7：若，证明：.答案：（1）由，得，∴，当且仅当时，等号成立.（2），当且仅当时，等号成立，已证.（3）.∵（当且仅当时，等号成立），∴（当且仅当时，等号成立）.综上：.例4-8：已知，其中，则的最小值为.答案：例4-9：已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（）.2B.4C.6D.8答案：B题型与方法题型1：利用基本不等式判断命题真假例10：下列不等式一定成立的是（）A.B.C.D.答案：C题型2：利用基本不等式求最值的常见题型及求解技巧例11：的最小值为.答案：8例12：若为正数，则的最小值为.答案：4例13：已知，则的最大值为.答案：例14：已知实数满足，且=1，则的最小值为（）2B.4C.6D.8答案：D例15：已知，则的最小值为.答案：4变式训练1：已知正数满足，则的最小值是.答案：9题型3：基本不等式在实际问题中的应用例18：如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左、右两个矩形栏目（图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm²，四周空白的宽度为10cm，两栏之间空白的宽度为5cm.怎样设计广告牌的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告牌面积最小？答案：当时，取得最小值为24500.题型4：基本不等式在恒成立问题中的应用例19：设，不等式恒成立，则的最小值为.答案：易错提醒易错点1：应用基本不等式时忽略“正”例20：设函数，则（）A.有最大值B.有最小值C.有最大值D.有最小值答案：C易错点2：应用基本不等式时忽略“定”例21：函数的最大值为.答案：易错点3：应用基本不等式时忽略“等”例22：函数的最小值为.答案：易错4：连续使用基本不等式时忽略等号成立的一致性例23：已知，且，则的最小值为（）A.1+B.3+2C.3D.4答案：B创新升级例24：记为两数中较大的数，当变化时，的最小值为.答案：10感知高考考向1：利用基本不等式求最值例25：设，则的最小值为.答案：考向2：利用基本不等式判断命题的真假例26：若实数满足则下列结论中正确的是（）A.若则B.若则C.若则D.若，则答案：C考向3：作为“工具”的基本不等式例27：某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是.答案：30基础巩固：1.已知的最小值为（）.A.2B.3C.4D.52.已知若恒成立，则实数t的取值范围是（）A.B.C.D.3.高三学生在新学期里，刚刚搬入新教学楼，随着楼层的升高，上、下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，已知当教室在第层楼时，上、下楼造成的不满意度为，但高处的空气清新，嘈杂声较小，环境较好，设教室在第层楼时，环境不满意度为，则同学们认为最合适的教室所在楼层应为（）A.2B.3C.4D.84.已知，则的最小值为.5.已知，则的最小值为.6.已知，则的最小值为.7.桑基鱼塘是长三角和珠三角的一种独具特色的农业生产形式.某公司打算开发一个桑基鱼塘项目，该公司准备购置一块1800平方米的矩形土地，如图所示，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围（阴影部分所示），用来种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，池塘所占面积为S平方米，其中（1）试用表示S；（2）若要使S最大，则的值各是多少？综合提升：8.已知正实数满足，则的最小值为（）.A.1B.C.2D.49.若则的最大值为（）.A.25B.C.D.10.设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为（）.A.0B.C.2D.11.若正数满足，则的最小值是（）A.B.C.5D.612.设恒成立，则的取值范围为.13.已知实数满足则的最大值为.14.设的最大值为.15.某工厂每年需要某种材料3000件，设该厂对该种材料的消耗是均匀的，该厂准备分若干次等量进货，每进一次货需运费30元，且在用完时能立即进货，已知储存在仓库中每件每年存储费为2元.而平均存储的材料量为每次进货量的一半，欲使一年的总运费和存储材料所用的费用之和最少，则每次进货量应为多少？16.已知都为正数且不全相等.求证：.17.已知都为正数且不全相等.若，证明：18.某工厂生产某种产品共件，