五年级上册数学培优奥数讲义-第25讲 组合图形的面积

第25讲组合图形的面积知识装备平面组合图形是由两个或两个以上简单的几何图形组合而成，与平面组合图形相关的计算应看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成，还要找出图中的隐蔽条件与已知条件和要求的问题间的关系。在实际问题中，常采用数据推导、割补、平移、巧添辅助线、旋转、组合等方法，将复杂问题简单化。初级挑战1如下图，空白部分是两个平行四边形，求图中阴影部分的面积。思路引领：图中空白部分是两个（），可将它们转化成与之等底等高的（），再平移到图形的一侧，那么阴影部分的面积就变成了规则的（）。答案：28×20＝560（平方米）能力探索1下图是一块长10米，宽8米的长方形草坪，中间有两条走道，求草地的面积。答案：（10－1）×（8－1）＝63（平方米）初级挑战2求四边形ABCD的面积。（单位：厘米）思路引领：如下图延长BA、CD交于E，△BEC中，S四边形ABCD＝S△EBC－S△ADE。根据∠C＝45°可知，BE＝BC＝7，因此S△BEC＝（）。∠E＝（），那么△ADE中，DE＝AD＝3，S△ADE＝（）。答案：S△BCE：7×7÷2＝24.5（平方厘米）；S△ADE：3×3÷2＝4.5（平方厘米）；S四边形ABCD：24.5－4.5＝20（平方厘米）。能力探索2计算下面图形的面积（单位：厘米）答案：将图形分割成一个三角形和长方形，再计算面积。三角形面积：（12－8）×（10－5）÷2＝4×5÷2＝10（平方厘米）；长方形面积：8×10＝80（平方厘米）；图形面积：10＋80＝90（平方厘米）。中级挑战1下面一个长方形被分成六个小长方形，其中四个长方形的面积如图所示（单位：平方厘米），求A和B的面积。10A63063B思路引领：长方形的面积＝（）×（）①两个长方形的长相等，它们面积的倍数等于对应宽的倍数②两个长方形的宽相等，它们面积的倍数等于对应长的倍数。答案：A：63÷（30÷10）＝21（平方厘米）B：63÷21×6＝18（平方厘米）能力探索31、一个大长方形被两条平行于它两条边的线段分成四个较小的长方形，其中三个长方形的面积如下图所示，求第4个长方形的面积。答案：42÷（18÷6）＝142、一块平行四边形草地，被划分为4块，如图所示，根据图中所标数据，求阴影部分面积是多少？答案：6÷3＝2，50×2＝100(平方厘米)中级挑战2把长为9厘米、宽为6厘米的长方形，划成如图的四个三角形，其面积分别为S1、S2、S3、S4，如果S1＝S2＝S4＋S3，求S4。【思路点拨】根据题意，长方形的面积为（）平方厘米，而S1＝S2＝S4＋S3＝（）平方厘米。再根据a＝2S÷h，可求出BE和DF的长，从而推出CE和CF的长。那么S3可求，再求出S4。答案：S1＝S2＝S4＋S3＝9×6÷3＝18（平方厘米）DF：18×2÷9＝4（厘米）CF：6－4＝2（厘米）BE：18×2÷6＝6（厘米）CE：9－6＝3（厘米）S3＝3×2÷2＝3（平方厘米）S4＝18－3＝15（平方厘米）能力探索4如图，正方形ABCD边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF的面积都相等，求△AEF的面积。答案：S△ABE＝S△ADF＝6×6÷3＝12（平方厘米），BE＝12×2÷6＝4（厘米）；DF＝12×2÷6＝4（厘米），EC＝6－4＝2（厘米），FC＝6－4＝2（厘米）。S△CEF＝2×2÷2＝2（平方厘米）；S△AEF＝12－2＝10（平方厘米）。聪明泉苍蝇飞了多远？两个男孩各骑一辆自行车，从相距20英里（1英里合1.6093千米）的两个地方，开始沿直线相向骑行。在他们起步的那一瞬间，一辆自行车车把上的一只苍蝇，开始向另一辆自行车径直飞去。它一到达另一辆自行车车把，就立即转向往回飞行。这只苍蝇如此往返，在两辆自行车的车把之间来回飞行，直到两辆自行车相遇为止。如果每辆自行车都以每小时10英里的速度前进，苍蝇以每小时15英里的速度飞行，那么，苍蝇总共飞行了多少英里？答案:每辆自行车运动的速度是每小时10英里，两者将在1小时后相遇于20英里距离的中点。苍蝇飞行的速度是每小时15英里，因此在1小时中，它总共飞行了15英里。许多人试图用复杂的方法求解这道题目。他们计算苍蝇在两辆自行车车把之间的第一次路程，然后是返回的路程，依此类推，算出那些越来越短的路程。但这将涉及所谓无穷级数求和，这是非常复杂的高等数学。拓展挑战如图，ABCD是正方形，边长24厘米，AEFG是长方形，E在BC上，D在FG上，AE长36厘米，AG长多少厘米?【思路点拨】连接DE（如下图），在正方形ABCD中，△ADE的底AD与对应的高，都等于正方形ABCD的边长，所以△ADE面积是正方形ABCD面积的；在长方形AEFG中，△ADE的底AE与对应的高分别与长方形AEFG的长和宽相等，所以△ADE面积是长方形AEFG面积的。所以长方形AEFG的面积与正方形ABCD的面积相等。即:S长方形AEFG＝S长方形AEFG＝24×24＝576（平方厘米）那么AG的长是576÷36＝16（厘米）。能力探索5如图，ABCD是长方形，AB长25厘米，AD长36厘米，DEFG是正方形，G在BC上，A在EF上，EF长多少厘米?答案：连接AG，△AGD是长方形ABCD面积的一半，也是正方形DEFG面积的一半，所以长方形ABCD的面积＝正方形DEFG的面积，正方形DEFG的面积＝36×25＝900（平方厘米），而900＝30×30，所以EF长30厘米。课堂小测1、下图是一块长方形公园绿地，绿地长24米，宽16米，中间有一条宽为2米的道路，求草地（阴影部分）的面积。答案：（24－2）×（16－2）＝308（平方米）2、下图一个大长方形被分成四个小长方形，其中三个小长方形的面积分别是15平方厘米、30平方厘米和32平方厘米，求阴影部分的面积。答案：30÷15×32＝64（平方厘米）3、四个完全一样的长方形和一个小正方形组成了一个大正方形，如果大、小正方形的面积分别是36平方米和4平方米，求其中一个长方形的宽。答案：因为36＝6×6，4＝2×2所以大正方形的边长为6米，小正方形的边长为2米，宽：（6－2）÷2＝2（米）4、如图，正方形ABCD的边长为24厘米，AE长15厘米，BF长14厘米，求图中阴影部分的面积。答案：正方形面积是24×24＝576（平方厘米），三角形AED的面积是24×15÷2＝180（平方厘米），三角形BEF的面积是（24－15）×14÷2＝63（平方厘米），三角形DCF的面积是24×（24－14）÷2＝120（平方厘米），阴影部分的面积是576－180－63－120＝213（平方厘米）。※5、计算图中阴影部分的面积。（单位：厘米）答案：把△ABC的面积扩大一倍后变成一个长方形，如下图。由图形可知①的面积与②的面积相等，③的面积与④的面积相等，所以两个阴影部分的面积也相等，因此所求阴影部分的面积是：6×4＝24（平方厘米）课后作业1、一个平行四边形模具，被分为4块，如图所示，那么A的面积是多少？答案：60÷30＝2，20÷2＝10(平方厘米)2、如图是一块长方形草地，长是16米，宽是10米。中间有一条平行四边形路和一条长方形路。求有草部分（阴影部分）的面积有多大？答案：因平行四边形的高与长方形的长相等，先将平行四边形转化成面积相等的长方形，再将两条路平移，使得阴影部分是一个规则的长方形。然后求出面积：（16－2）×（10－2）＝14×8＝112（平方米）3、如图，ABCD是直角梯形，其中