江西省宜春市丰城市第九中学2025届高三上学期入学考试 数学试题含答案

丰城九中2024-2025学年上学期高三入学考试试卷数学考试范围：选择性必修一、选择性必修二、一轮复习第一章至第二章第四节考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．函数y=fx的图象如图所示，下列不等关系正确的是（

A． B．C． D．3．已知函数是奇函数，则（

）A． B． C． D．4．设正项等比数列的前n项和为，，且，，成等差数列，则与的关系是（

）A． B． C． D．5．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”，后来南宋数学家秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中将此问题系统解决．“大衍求一术”属现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”．现有一道同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列数，则281是第几个数（

）A．18 B．19 C．20 D．216．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．7．已知函数，若实数成等差数列，且，则（

）A． B． C． D．8．已知的内角的对边分别为，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题：每小题有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知函数，则（

）A．是偶函数 B．的最小正周期为C．的最大值为 D．的最小值为10．已知，分别是自然对数的底和圆周率，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．11．已知函数，则（

）A．的图象关于点对称B．的值域为C．若方程在0,m上有6个不同的实根，则实数的取值范围是D．若方程在上有6个不同的实根，则的取值范围是三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分）12．已知实数、满足，则的最小值为．13．已知某种细菌培养过程中，每小时1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌.则1个正常细菌经过8小时的培养，可分裂成的细菌的个数为（用数字作答）.14．已知函数满足，且在区间上恰有两个最值，则实数的取值范围为．四、解答题（本大题共5小题，满分77分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）15．已知函数，.(1)求的最小值；(2)设，求的取值范围，16．已知函数的图象在点处的切线经过点.(1)求数列的通项公式；(2)已知数列的前项和为，求证：.17．已知的周长为20，角，，所对的边分别为，，(1)若，，求的面积；(2)若的内切圆半径为，，求的值．18．已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.19．微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线和曲线所围成的区域（称为曲边梯形ABQP）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形ABQP的面积小于梯形ABQP的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：，用同样的方式也可以推导不等式.

已知函数，其中.(1)请参考上述材料证明：函数图象上的任意两点切线均不重合；(2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围.1．A【分析】根据题意，利用正弦函数的单调性，以及正弦函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由正弦函数的性质，可得在上单调递增，所以，即当时，可得，即充分性成立；反之：若，可得，所以必要性不成立，所以是充分不必要条件.故选：A.2．C【分析】根据图象观察斜率的大小结合导数的几何意义可得答案.【详解】从函数y=fx的图象可以看出，点处切线的斜率大于直线的斜率，直线的斜率大于点处切线的斜率，点处切线的斜率大于0，根据导数的几何意义可得：，即，故选：C3．D【分析】根据三角恒等变换化简函数解析式，再根据奇函数可得与.【详解】由，又函数为奇函数，则，，解得，，所以，故选：D.4．A【分析】先利用等比数列的通项公式列方程求公比，然后求出和观察它们之间的关系即可.【详解】设正项等比数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，所以，解得，所以，，则.故选：A.5．B【分析】由题意可得，且为正整数，则可得，所以令，从而可得，进而可求得答案【详解】解：由题意可得，且为正整数，所以，所以令，所以，，所以，又，故．故选：B．6．B【分析】分析可知在内单调递增，结合分段函数单调性列式求解即可.【详解】若，可知在内单调递增，可知在内单调递增，可得对任意恒成立，又因为在定义域0,+∞内单调递增，可知在内单调递增，由题意可得：，解得，所以实数的取值范围是−1,0.故选：B.7．C【分析】先由，得出关于对称；再由题意得出结果即可.【详解】因为函数，所以，所以关于对称；若实数成等差数列，则，又因为，所以，所以.故选：C.8．C【分析】由，利用三角恒等变换化简得，得，代入化简得，结合基本不等式求最小值.【详解】，得，即，中，，由，则，，所以，，由正弦定理，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：C.9．ABD【分析】先将化简，再逐项分析答案即可.【详解】因为的定义域为，所以，又因为，所以为偶函数，故A正确；的最小正周期为，故B正确；因为，所以没有最大值；当时，，故D正确.故选：ABD10．ABD【分析】对于A，通过对数的换底公式变形，再用基本不等式，即可判断；对于B，通过对数的运算化简，再由对数函数的单调性缩小，再用基本不等式，即可判断；对于C，设出，利用其单调性，即可判断；对于D，利用基本不等式，即可判断.【详解】对于A，，，所以，故A正确；对于B，因为，所以，故B正确；对于C，设，则，所以单调递增，因为，所以，故C错误；对于D，，所以，故D正确.故选：ABD.11．BC【分析】根据是否成立判断A，利用分段函数判断BC，根据正弦函数的单调性画出分段函数的图象，求出的取值范围，再利用对称性判断D.【详解】因为，所以，所以的图象不关于点对称，A说法错误；当时，，由可得，当时，，由可得，综上，B说法正确；当时，由解得，当时，由解得，所以方程在0,+∞上的前7个实根分别为，所以，C说法正确；由解得或，又因为，所以根据正弦函数的单调性可得图象如图所示，所以有4个不同的实根，有2个不同的实根，所以，解得，设，则，所以，所以的取值范围是，D说法错误，故选：BC12．【分析】依题意可得，令，，则，即可用含、的式子表示、，再代入，利用基本不等式计算可得.【详解】因为实数，满足，化为，令，，则．联立可得，，则，当且仅当，即，时取等号．故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题的关键是用含、的式子表示、，再利用基本不等式求出最小值.13．【分析】设经过小时，有个正常细菌，个非正常细菌，则，，由等比数列的性质求出的通项公式，再证得是与首相和公差均为的等差数列，即可求出的通项公式，进而求出答案.【详解】设经过小时，有个正常细菌，个非正常细菌，则，.又，，所以，，则，所以，所以是首项和公差均为的等差数列，所以，所以，所以，即1个正常细菌经过8小时的培养，可分裂成个细菌.故答案为：.14．【分析】先根据是函数的最小值求出与间的等量关系，进行消元，再结合在给定区间上恰有两个最值的条件建立不等关系，建立不等关系时，要注意结合三角函数的图像，特别注意端点值的取舍．【详解】因为，所以，所以，，即，，所以．当时，．因为在区间上恰有两个最值，且，所以，解得．故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据已知条件建立不等关系，特别注意端点值的取舍．15．(1)(2)【分析】（1）根据列方程，解方程得到，然后利用换元法求最小值即可；（2）利用诱导公式和和差公式化简得到，然后利用同角三角函数基本公式和换元法求范围即可.【详解】（1），解得，所以，令，则，，则函数在上单调递增，上单调递减，所以当，即时，取得最小值，最小值为.（2），令，则，，，所以当时，即取得最小值，为；当时，即取得最大值，为，所以的范围为.16．(1)(2)证明见解析【分析】（1）求出、，由直线的点斜式方程可得切线方程，令可得；（2）由（1）可得.方法一，利用错位相减求和可得答案；方法二，利用裂项相消求和可得答案.【详解】（1）因为，则，所以，则切线方程为，即，令，解得，所以；（2）由（1）可得，.方法一：所以，则，两式相减得，故，所以由可得，故；方法二：，所以..所以由可得，故.17．(1)(2)【分析】（1）由余弦定理，可得，又的周长为20，可得，则可得，由三角形的面积公式即可求出的面积；（2）由的内切圆的性质，可得，，再由的周长为20，可求出，进而求出，即可求出的值．【详解】（1）在中，由余弦定理，可得，由，，则，得,由的周长为20，即，则，所以，则，即，所以，故的面积为，.（2）根据题意，如图所示，圆为的内切圆，半径为，切点分别为，则，且，由内切圆性质，圆心为内角平分线的交点，则，且，由中，即，所以，又，即，所以，则，则，在中，故，即.18．(1)答案见解析(2)【分析】（1）将函数求导并分解因式，根据参数进行分类讨论函数的单调性即得；（2）将不等式进行等价变形得到在上恒成立，接着通过构造函数，求其在上的最大值，其间，先分析推出其在时取得最大值，为，由，变形求对数，并利用同构思想和函数单调性推出，从而求得，即得的取值范围.【详解】（1）由已知可得函数，.①当时，当时，，时，；则在上单调递减，在上单调递增；②当时，当时，，或时，；则在上单调递减，在上单调递增；③当时，因与同号，故恒成立，即在R上单调递增；④当时，当时，，或时，；则在上单调递减，在上单调递增.（2）由题意，恒成立，因，即恒成立.即需求在上的最大值.令，，则，令，，则，即在0,+∞上单调递减，又，所以在0,+∞上存在唯一的使gx0当x∈0,x0时，gx>0，即则当x∈x0,+∞时，gx<0，即故φx在时取得最大值，为，又由（*）可得，，故，两边取对数得：，令，由知ℎx在定义域内单调递增，故由可得，，即，所以，故，即.19．(1)证明见解析(2)【分析】（1）求得，分别求得在点和处的切线方程，假设与重合，整理得，结合题干结论，即可得证；（2）根据题意，转化为时，在恒成立，设，求得，分和，两种情况讨论，得到函数的单调性和最值，即可求解.【详解】（1）由函数，可得，不妨设，曲线在处的切线方程为，即，同理曲线在处的切线方程为，假设与重合，则，代入化简可得，两式消去，可得，整理得，由知，与上式矛盾即对任意实数及任意不相等的正数与均不重合，所以函数图像上的任意两点切线均不重合；（2）当时，不等式恒成立，所以在恒成立，所以，下证：当时，恒成立．因为，所以设（i）当时，由知恒成立，即在为增函数，所以成立；（ii）当时，设，可得，由知恒成立，即在为增函数．所以，