湖南省衡阳市船山英文学校2024-2025学年高三上学期入学考试 数学试卷含答案

衡阳市船山英文学校2024~2025年度第一学期高三年级入学试卷（数学）一､选择题：（共8小题，每题5分，共40分）1．已知集合，集合，则的真子集个数为（

）A． B． C． D．2．设复数满足，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．在杭州亚运会上，我国选手盛李豪夺得射击第一枚金牌，他射击的方向向量，另一名选手余浩楠射击的方向向量，若则（

）A． B． C． D．164．已知函数在上单调递增，求的取值范围（

）A． B． C． D．5．已知为等比数列的前项和，为常数列，则（

）A．是的充分不必要条件 B．是的必要不充分条件C．是充要条件 D．是的既不充分也不必要条件6．已知，则（

）A． B． C． D．17．已知圆与圆，过动点分别作圆､圆的切线（分别为切点），若，则到圆距离的最小值是（

）A． B． C． D．8．椭圆，若椭圆上存在不同的两点关于直线对称，则实数的取值范围（

）A． B． C． D．二､多选题：（共3小题，每题6分，共18分）9．有一组样本数据，由这组样本得到新样本数据，其中，则（

）A．的中位数为，则的中位数为B．的平均数为，则的平均数为C．的方差为，则的方差为D．的极差为，则的极差为10．2008年世界卫生组织的事故调查显示，大约的交通事故与酒后驾驶有关.在中国，每年由于酒后驾车引发的交通事故达数万起；而造成死亡的事故中以上都与酒后驾车有关，酒后驾车的危害触目惊心，已经成为交通事故的第一大“杀手”.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100血液中酒精含量达到20~79的驾驶员即为酒后驾车，80及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，则（

）A．若血液中的酒精含量为，则在停止喝酒后经过了2个小时B．4小时后，血液中的酒精含量可以降低到以下C．5小时后，血液中的酒精含量可以降低到以下D．设小时后，血液中的酒精含量为，则11．已知函数的部分图象如图，则关于函数的描述正确的是（

）

A．关于对称B．关于点对称C．在区间上单调递增D．在区间上的最大值为3三､填空题：（共3小题，每题5分，共15分）12．一个词典里包含个不同的单词，其中有个以字母“”开头，其余以其他字母开头.从中选择个单词组成一个新的子集，其中至少包含两个“”开头，一共有个这样的子集.（要求用数字作答）13．在圆台中，上底面直径为6，下底面直径为12，高为4，则圆台的表面积为.14．过双曲线的上焦点，作其中一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的上､下两支分别交于，若，则双曲线的离心率.四､解答题：15．在三角形中，.(1)求；(2)若，求三角形的面积.16．在几何体中，平面是的中点，在线段BC上运动.(1)证明：平面平面.(2)当平面时，求平面与平面的夹角的正弦值.17．已知函数.(1)当时，求的单调区间；(2)当时，不等式对恒成立，求的取值范围.18．假设在数字通信中传送信号0与1的概率为0.8和0.2.由于随机干扰，当传送信号0时，接收到信号为0的概率为0.8，当传送信号1时，接收到信号为1的概率为0.9.求：(1)当接收到信号0时传送的信号是0的概率；(2)在信息传送过程中，当第一个人接收到信息后，将信息发送给第二个人，这样依次传递下去，在n次传递中，0出现的次数为，求.19．已知椭圆的左焦点，左､右顶点分别为，上顶点为.(1)求椭圆的方程；(2)是否存在以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，求圆的方程以及MN的取值范围，若不存在，请说明理由.1．C【分析】化简集合，求，确定的元素个数，确定的真子集的个数即可.【详解】不等式，可化为，所以或，所以或，所以或，所以，所以，不等式可化为，所以，所以，所以的真子集的个数为.故选：C.2．B【分析】利用复数的除法运算求出复数，由其几何意义判断在复平面内对应的点所在象限.【详解】复数满足，则有，在复平面内对应的点为，位于第二象限.故选：B.3．C【分析】根据向量的坐标运算，先求和，再根据得，可求的值.【详解】因为，，所以，.因为，所以所以.故选：C.4．B【分析】依题意在上恒成立，求的取值范围即可.【详解】函数在上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，所以，的取值范围为.故选：B.5．B【详解】由，可得，所以即，所以an不一定为常数列；若an为常数列，则成立，所以是的必要不充分条件，故选：B6．C【分析】由已知求出，倍角公式求【详解】，又，则有，可得，所以.故选：C7．A【分析】由圆的性质结合已知条件得动点的轨迹为一条直线，进而求出圆的圆心到直线距离即可求解所求距离的最小值.【详解】由题，，因为，则，即，化简得，即动点在直线上，

圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为，所以到圆距离的最小值是.故选：A.8．B【分析】设Ax1,y1,Bx2,【详解】椭圆，即：，设椭圆上两点Ax1,y1,Bx则，，所以，所以，所以，代入直线方程得，即，因为在椭圆内部，所以，解得，即的取值范围是．故选：B．9．ABD【分析】利用中位数的定义可判定A，利用平均数、方差的计算方法与性质可判定B、C，利用极差的定义可判定D.【详解】对于A，数据从小到大排列对应中位数的顺序不变，所以若的中位数为，则的中位数为，故A正确；对于B，由平均数的计算方程与性质可知，若原数据的平均数为，则新数据的平均数为，故B正确；对于C，由方差的性质可知，若原数据的方差为，则新数据的方差为，故C错误；对于D，新数据的最大数与最小数与原数据的最大数与最小数对应，即，故D正确.故选：ABD10．ACD【分析】由题意，D选项正确；A选项，当时求的值；BC选项，时求的取值.【详解】设小时后，血液中的酒精含量为，则，D选项正确；当时，由，解得，A选项正确；当时，当时，所以5小时后，血液中的酒精含量可以降低到以下，B选项错误C选项正确.故选：ACD.11．AD【分析】由的图象，求出函数解析式，得解析式，由解析式对的对称性单调性和最值进行讨论.【详解】由函数的部分图象，得函数的最小正周期，则，由，则，有，将点代入函数解析式可得，即，由，得，所以，当时，，有最大值，的图象关于对称，A选项正确；时，，，，的图象关于点对称，B选项错误；时，，不是正弦函数的单调区间，C选项错误；时，，则当，即时，有最大值，D选项正确.故选：AD.12．【分析】符合要求子集可分为三类，结合组合的定义求各类子集的个数，再结合分类加法计数原理求出所有的子集的个数.【详解】从含有个以字母“”开头的个不同的单词选择个单词，其中至少包含两个“”开头的选法可分为类，第一类：所选个单词中，有且只有两个“”开头的单词，符合要求选法有；第二类：所选个单词中，有且只有三个“”开头的单词，符合要求选法有；第三类：所选个单词中，有且只有四个“”开头的单词，符合要求选法有；由分类加法计数原理可得，符合要求的子集共有个.故答案为：.13．【分析】利用条件先计算母线长，再根据台体的表面积公式计算即可.【详解】由题意可知圆台上下底面的半径分别为，，圆台的母线长，所以该圆台的表面积为.故答案为：14．【分析】设双曲线右焦点为，，，由题意结合双曲线定义可依次求出、、、、和，接着分别在、和中结合余弦定理求出，进而建立等量关系式求出，从而求得，进而由离心率公式即可得解.【详解】设双曲线右焦点为，由题，双曲线的一条渐近线方程为即，过该渐近线作垂线，则由题，，设，则由题，，，所以，，所以在中，①，在中，②，在中，③，由①②得，化简解得，由①③得，化简解得，所以，故双曲线的离心率.故答案为：.【点睛】思路点睛：依据题意设双曲线右焦点为，，则结合双曲线定义可得、和的边长均是已知的，接着结合余弦定理均可求出三个三角形的公共角的余弦值，从而可建立等量关系式依次求出和，进而由离心率公式得解.15．(1)(2)【分析】（1）结合正弦二倍角公式及辅助角公式可得，即可求解；（2）由正弦定理求得，再由三角形面积公式即可求解.【详解】（1）由可得：，即，所以，又，所以，又，所以，又，所以，所以，所以=（2）由可得：，所以.16．(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用线线垂直可得平面，进而可得，即可求证平面，即可由面面垂直的判定求证，（2）根据,故为平面与平面所成角或其补角，即可利用三角形的边角关系求解.【详解】（1）由于平面平面故,又平面，故平面，平面，故,又是中点，故,平面，故平面，又平面，故平面平面（2）平面APQ时，平面，且平面平面，故,结合是中点，可得是中点，有平面，又平面，故,由于,故为平面与平面所成角或其补角，,故,故平面与平面的夹角的正弦值为17．(1)的单调增区间，单调减区间(2)【分析】（1）求导，通过和即可求解；（2）同构，将原不等式转化成，构造函数通过其单调性即可求解.【详解】（1）当时，所以因为，所以当时，，当时，，所以的单调增区间，单调减区间（2）因为所以可化为：所以构造函数，显然此函数单调递增，所以由恒成立可得：对恒成立，当时，此不等式为恒成立，当时，可得恒成立构造函数，求导可得：当时，，在单调递增；当时，，在单调递减；所以，所以，综上所述的取值范围【点睛】不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③分类讨论参数.18．(1)(2)【分析】（1）根据贝叶斯公式即可求；（2）由二项分布求.【详解】（1）记“传送信号0”，“传送信号1”，“接收信号0”.可知，，，，由贝叶斯公式得所求的概率为：，即当接收到信号0时传送的信号是0的概率为.（2）在一次传送中，接收到0的概率为，每次传送都有相同的传送概率和接收概率，则有，所以.19．(1)椭圆的方程为.(2)圆的方程为；的取值范围为.【分析】（1）先由椭圆的几何性质得，再由已知条件结合余弦定理得，进而结合即可求出椭圆的方程.（2）先假设存在，接着分圆的切线斜率存在和不存在两种情况进行分析，当切线斜率存在时，设圆切线方程为，联立方程得和韦达定理，进而得，从而由得，进而由圆心到切线的距离即可求出圆的半径，得出圆的方程，且由弦长公式结合导数工具可求解MN的取值范围.【详解】（1）由椭圆的几何性质可得，所以由余弦定理得，化简得，又，所以，所以椭圆的方程为.（2）假设存在以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且，（i）当该圆的切线斜率存在时，设该圆切线方程为，联立方程，则，即，，所以，因为，所以，所以，所以，满足，因为直线即为圆心在原点的圆的一条切线，故圆的半径为即，所以，所以所求圆的方程为，所以，令，，则恒成立，且，令（舍去）或，则当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，又当时，当时，所以当时，有，当时，有，所以，所以有.（ii）当该圆的切线斜率不存在时，则切线方程为，代入得，所以切线与椭圆的两个交点坐标为或，显然满足，即满足，此时.综上所述，存在圆心在原点的圆，使得该圆的