福建省宁德市福鼎第四中学2024-2025学年高三上学期开学考试 数学试题含答案

福鼎四中2024-2025学年第一学期开学考试高三数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，，，则集合可能为（

）A． B．C． D．2．设实数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知函数的定义域是，则的定义域是（

）A． B．C． D．4．已知，则等于（

）A． B．C．1 D．25．设，且，则的大小关系为（

）A． B． C． D．6．已知正实数满足，则（

）A．的最小值为 B．的最小值为8C．的最小值为 D．没有最大值7．已知是偶函数，则（

）A． B．C．1 D．28．如图，长方形的边，，是的中点．点沿着边，与运动，记．将动点到两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为（

）

A．

B．

C．

D．

二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．设函数的定义域都为R，且，，是减函数，是增函数，则下列说法错误的有（

）A．是增函数 B．是减函数C．是增函数 D．是减函数10．已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．11．已知定义在R上的奇函数，其周期为4，当时，，则（

）A． B．的值域为C．在上单调递增 D．在上有9个零点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知，则的取值范围是.13．设是非空集合，定义，且，且.已知，，则.14．对于任意实数，定义，设函，则函数的最小值是．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．为迎接中秋佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在一个不透明的容器中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，每位员工从中摸出2个小球．若摸到一红球一白球，可获得价值(单位：百元)代金券；摸到两白球，可获得价值(单位：百元)代金券；摸到两红球，可获得价值(单位：百元)代金券(,均为整数).(1)若，，求每位员工平均可获得多少代金券（即数学期望，单位：百元）；(2)若已知每位员工平均可获得5.4(单位：百元)代金券，试估计手气最好者获得至多多少代金券(单位：百元).16．解关于x的不等式.17．已知不等式.(1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由；(2)若不等式对于恒成立，求的取值范围；(3)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围.18．函数的定义域为，且满足对于任意，有，当.(1)证明：在上是增函数；(2)证明：是偶函数；(3)如果，解不等式.19．黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用．黎曼函数定义在上，．(1)请用描述法写出满足方程的解集；（直接写出答案即可）(2)解不等式；(3)探究是否存在非零实数，使得为偶函数？若存在，求k，b应满足的条件；若不存在，请说明理由．1．D【分析】先明确全集，分析集合中的元素组成，可得答案.【详解】因为，因为，所以，所以.又，所以且.故选：D2．B【分析】结合对数函数的性质与充分条件及必要条件定义计算即可得.【详解】若，则有或，即有或，若，则，故当时，可得，当时，不一定成立，故“”是“”的必要不充分条件.故选：B.3．A【分析】根据给定条件，利用抽样函数定义域列式求解即得.【详解】由函数的定义域是，得，因此在函数中，，解得，所以所示函数的定义域为.故选：A4．B【分析】根据给定条件，逐次判断代入计算即得.【详解】函数，则，所以.故选：B5．B【分析】先比较的大小，再利用的单调性比较大小即可.【详解】对数函数在上单调递减，，.故选：B6．A【分析】根据题意，得到，结合二次函数的性质，可判定A正确；利用基本不等式，可得判定B错误；由，可判定C错误，利用对数的运算性质，得到，得到，设函数，利用导数求得函数的单调性与最值，可判定D错误.【详解】对于A中，由正实数满足，可得，且，则，当时，取得最小值为，所以A正确；对于B中，由，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为，所以B不正确；对于C中，由，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，所以C错误；对于D中，由，因为，设，可得，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，所以，当时，函数取得最大值，最大值为，则的最大值为，所以D不正确.故选：A.7．C【分析】根据函数的奇偶性列方程，化简求得的值.【详解】的定义域是，由于是偶函数，所以，即，所以，即，所以，解得，当时，，，符合题意，所以.故选：C8．B【分析】借助排除法，计算、可排除C、D，计算时的情况可得时图像不是线段，可排除A.【详解】由题意可得，，故，由此可排除C、D；当时点在边上，，，所以，可知时图像不是线段,可排除A，故选B．故选：B.9．AC【分析】根据给定条件，利用单调性的性质即可根据选项逐一求解.【详解】对于A，如，，不单调，因此函数不一定为增函数，A错误；对于B，是增函数，则为减函数，又是减函数，则为减函数，B正确；对于C，如，，因此函数不一定是增函数，C错误；对于D，，由是增函数，且，得，则，由为减函数，得，于是，是减函数，D正确.故选：AC10．AB【分析】由一元二次不等式的性质可得，且，即可得A、D，结合二次函数的性质可得，即可得B、C.【详解】由题意可得，，即，即有，即，，故A正确、D错误；令，其根为，，结合二次函数性质可得，，即，故B正确、C错误.故选：AB.11．BD【分析】利用函数的周期性与奇偶性计算函数值可判断A；求出时的范围，再利用奇偶性周期性求出函数在的值域可判断B；求出、可判断C；利用函数的周期性、奇偶性求出零点个数可判断D.【详解】对于A，因为为R上的奇函数，所以，又其周期为4，所以，故A错误；对于B，因为为奇函数，所以f−x=−fx，可得又因为周期为4，所以，可得，所以，即，可得的图象关于对称，所以，，因为当时，为单调递增函数，所以，又因为为奇函数，当时，所以，再由的周期为4，可得的值域为，故B正确；对于C，因为，，所以在上不具备单调性，故C错误；对于D，因为的周期为4，时，为单调递增函数，所以时，为单调递增函数，时，为单调递增函数，又因为为奇函数，所以时，为单调递增函数，时，为单调递增函数，且，，，可得的大致图象，所以在上有9个零点，故D正确.

故选：BD.【点睛】关键点点睛：利用函数的周期性、奇偶性解题是解题关键点.12．【分析】先设出，求出，再结合不等式的性质解出即可；【详解】设，所以，解得，所以，又，所以，又所以上述两不等式相加可得，即，所以的取值范围是，故答案为：.13．【分析】分别求出集合，依题意是求三个集合的交集，据此求解即可.【详解】由得或，所以或.因为，所以，所以.由得，解得，所以，因为，且，且，所以,故答案为：.14．2【分析】结合对数函数画出分段函数hx【详解】由题意得x∈0,+因为函数在x∈0,+∞函数在x∈0,+∞又，所以点是两个函数的交点，所以当时，，可得，当时，，可得，可得hx故答案为：2.15．(1)元(2)18【分析】（1）根据题意可知代金券的取值，再根据随机变量的意义求概率，即可求分布列，再求期望；（2）由（1）可知，，根据条件，结合基本不等式求的最大值，即可求解.【详解】（1）若摸到一红球一白球的概率，若摸到2白球的概率，若摸到2红球的概率，设可获得代金券为变量，分布列如下，3618所以每位员工平均可获得元代金券.（2）由（1）可知，,手气最好者获得（百元）即，，则，当，即，时等号成立，所以的最大值为.估计手气最好者至多获得1800元代金券.16．答案见解析【分析】先将不等式变形，然后分，和三种情况，在时，再分三种情况，求出不等式解集.【详解】不等式化为，①当时，原不等式化为，解得．②当时，原不等式化为，解得或．③当时，原不等式化为.当，即时，解得；当，即时，解得满足题意；当，即时，解得．综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．17．(1)不存在，理由见解析(2)(3)【分析】（1）分及进行讨论，结合根的判别式计算即可得；（2）参变分离后借助换元法计算即可得；（3）令，则可结合一次函数的性质计算即可得.【详解】（1）当时，，此时，不符合要求，当时，，若不等式对任意x∈R恒成立，则有，即，该不等式组无解，故不存在实数，使不等式对任意x∈R恒成立；（2）由题意可得：当x∈2,+∞时，令，则，则，由在上单调递增，故，则，故；（3）设，由题意可得在上恒成立，故有，即，由①得或，由②得，即可得.18．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据函数的单调性的定义，即可证得函数的为单调递增函数；（2）令，求得，再由，求得，进而得出，即可证明结论；（3）由（2）可得不等式可变为，结合（1）可求得不等式的解集.【详解】（1）设，则，由于，所以，所以，所以，所以，所以在上是增函数；（2）因对定义域内的任意，有，令，则有，又令，得，再令，得，从而，于是有，所以是偶函数．（3）由于，所以，于是不等式可化为，由（2）可知函数是偶函数，则不等式可化为，又由（1）可知在上是增函数，所以可得，解得，所以不等式的解集为．19．(1)为大于1的正整数(2)(3)存在，【分析】（1）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解；（2）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解；（3）根据黎曼函数的定义，分类讨论可证得，则关于对称，即，则为偶函数，即可得解.【详解】（1）依题意，，当时，，则方程无解，当为内的无理数时，，则方程无解，当(为既约真分数)时，则，为大于1的正整数，则由方程，解得，为大于1的正整数，综上，