15.2.1 分式的乘除课件2023-2024人教版八年级上

15.2分式的运算15.2.1分式的乘除

通过前面分式的学习，我们知道分式和分数有很多的相似性，如基本性质、约分和通分.那么在运算上它们有相似性吗？导入新知1.知道并熟记分式乘除法法则.2.能准确地进行分式的乘除法的计算.素养目标1.一个长方体容器的容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的时，水高多少?解：长方体容器的高为，水高为知识点1分式的乘除法法则探究新知2.大拖拉机m天耕地a公顷，小拖拉机n天耕地

b公顷，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?解：大拖拉机的工作效率是公顷/天，小拖拉机的工作效率是公顷/天，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的()倍.探究新知和，其中涉及到分式的有哪些运算？你能用学过的运算法则求出结果吗？观察上述两个问题中所列出的式子探究新知【思考】在计算的过程中，运用了分数的什么法则？你能叙述这个法则吗？如果将分数换成分式，那么你能类比分数的乘除法法则，说出分式的乘除法法则吗？怎样用字母来表示分式的乘除法法则呢？3.计算：探究新知乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.探究新知分式的乘除法法则例1计算：22素养考点1利用分式的乘除法法则进行单项式的计算探究新知2解法一:解法二:2

分式运算的结果通常要化成最简分式或整式.探究新知①若分子分母都是单项式，把分子分母分别相乘，约去公因式，最后化为最简分式或整式；②分式与分式相除时，按照法则先转化为乘法，再运算.探究新知归纳总结解析：C巩固练习

2例2计算：

当分子分母是多项式时，先分解因式便于约分的进行.素养考点2利用分式的乘除法法则进行多项式的计算探究新知

一定要注意符号变化呦！探究新知①若分子分母有多项式，先把多项式分解因式，看能约分的先约分，然后相乘；②分式与分式相除时，一定要先转化为乘法，再按照乘法法则运算.探究新知归纳总结11111解：原式2.计算(1)巩固练习1111(2)巩固练习解：原式例3“丰收1号”小麦的试验田是边长为am的正方形去掉一个边长为1

m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a–1)

m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg.(1)哪种小麦的单位面积产量高？(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？素养考点3分式的乘除法法则的实际应用探究新知∵0＜(a–1)2＜a2–1，∴“丰收2号”小麦的单位面积产量高.

∴“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的

倍.

∴

解：(1)“丰收1号”小麦的试验田面积是(a2–1)m²，单位面积产量是kg/m2；“丰收2号”小麦的试验田面积是(a–1)2m2，单位面积产量是kg/m2.(2)探究新知

第一步，把线段AB三等分，以中间的一段为边作等边三角形，然后去掉这一段，就得到由4条长度相等的线段组成的折线，总长度为

第二步，把上述折线中每一条线段重复第一步的做法，便得到由长度相等的线段组成的折线，总长度为

3.取一条长度为1个单位的线段AB，如图巩固练习

按照上述方法一步一步地继续进行下去，在图中画出了第一步至第五步所得到的折线的形状．你觉得第五步得到的折线漂亮吗？巩固练习对于任意一个正整数n，第n步得到的折线的总长度是多少？你能推算出第五步得到的折线的总长度吗？巩固练习连接中考1.老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是(

)A.只有乙 B.甲和丁 C.乙和丙 D.乙和丁

DA巩固练习

基础巩固题B

课堂检测2.计算：

=__________________.3.计算：课堂检测基础巩固题解:原式解:原式（1）（2）先化简然后从–1，1，2中选取一个数作为x的值代入求值.解:(1)原式＝因为分母x–1≠0，x+1≠0，所以x≠1且x≠–1，所以取x=2，所以能力提升题课堂检测一条船往返于水路相距100km的A，B两地之间，已知水流的速度是每小时2km，船在静水中的速度是每小时xkm(x>2)，那么船在往返一次过程中，顺流航行的时间与逆流航行的时间比是______.拓广探索题课堂检测分式的乘除法法则课堂小结①若分子分母都是单项式，把分子分母分别相乘，约去公因式，最后化为最简分式或整式；②若分子分母有多项式，先把多项式分解因式，看能约分的先约分，然后相乘；③分式与分式相除时，按照法则先转化为乘法，再运算.注意事项：1.甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？解：甲工程队一天完成这项工程的____，乙工程队一天完成这项工程的_______，两队共同工作一天完成这项工程的____________.知识点1同分母分式的加减法法则探究新知2.2009年，2010年，2011年某地的森林面积(单位：公顷)分别是S1，S2，S3，2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多少？解：2011年的森林面积增长率是___________，2010年的森林面积增长率是__________，2011年与2010年相比，森林面积增长率提高____________.探究新知1.同分母分数加减法的法则如何叙述？探究新知2.你认为请计算：分母不变，把分子相加减.【同分母的分数加减法的法则】同分母的分数相加减，【同分母的分式加减法的法则】同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减.探究新知同分母的分式加减法的法则例1计算：解：原式素养考点1同分母分式的加减的计算归纳总结：同分母分式的加减，分母不变，分子相加减，当分子是多项式时，先加括号，然后进行计算，结果要化为最简分式或整式.探究新知–11.直接说出运算结果.....巩固练习（1）（2）（3）（4）2.计算：巩固练习解：原式解：原式（1）（2）异分母的分数如何加减？通分，将异分母的分数化为同分母的分数.知识点2异分母分式的加减法的法则探究新知想一想异分母分式的加减应该如何进行？【异分母的分数加减法的法则】先通分，变为同分母的分数，再加减.【异分母的分式加减法的法则】先通分，变为同分母的分式，再加减.符号表示：探究新知比如：想一想例2(1)素养考点2异分母分式的加减的计算归纳总结：异分母分式的加减分为两步：第一步通分，化为同分母分式；第二步运用同分母分式的加减法则计算.探究新知解：原式(2)a2–4能分解：a2–4=(a+2)(a–2)，其中(a–2)恰好为第二个分式的分母，所以(a+2)(a–2)即为最简公分母.分子相减时，“减式”要添括号！探究新知解：原式3.计算：=x+y巩固练习解：原式=解：原式（1）（2）巩固练习4.计算：（1）（2）解:原式解:原式连接中考

A巩固练习

A.

B．

C．–1D．2基础巩固题CC课堂检测2.计算的结果为(

)

1.计算的结果为(

)A．1 B．3

C． D．阅读下面题目的计算过程.

①=

②=③=④(1)上述计算过程，从哪一步开始错误?_______；(2)错误原因_________________；(3)本题的正确结果为：

.②漏掉了分母能力提升题课堂检测先化简：当b=–1时，再从–2<a<2的范围内选取一个合适的整数a代入求值.解：原式=在–2<a<2中，a可取的整数为–1，0，1，而当b=–1时，①若a=–1，分式无意义；②若a=0，分式无意义；③若a=1，分式无意义.所以a在规定的范围内取整数，原式均无意义(或所求值不存在).拓广探索题课堂检测分式的加减法法则课堂小结注意事项：①若分子是多项式，则加上括号，然后再加减；②计算结果一定要化成最简分式或整式.第二课时分式混合运算你还记得分数的四则混合运算顺序吗？那么想一想，分式的混合运算是否类似呢？今天我们再来探讨一下！导入新知2.体会类比方法在研究分式混合运算过程中的重要价值．1.理解分式混合运算的顺序；会正确进行分式的混合运算．素养目标数的混合运算的顺序是什么？你能将它们推广，得出分式的混合运算顺序吗？分式的混合运算顺序：“从高到低、从左到右、括号从小到大”．

知识点1分式的混合运算探究新知例1计算：这道题的运算顺序是怎样的？

素养考点1较简单的分式的混合运算探究新知探究新知解：对于不带括号的分式混合运算：(1)运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减；(2)计算结果要化为最简分式．1.化简的结果是(

)A.a–bB.a+b

C.

D.B巩固练习2.计算：=(

)A.B.C.

D.A例2

计算：素养考点2较复杂的分式的混合运算探究新知解:原式探究新知解:原式

对于带括号的分式混合运算：(1)将各分式的分子、分母分解因式后，再进行计算；(2)先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号内的；(3)计算结果要化为最简分式或整式．探究新知归纳总结

问题1将正整数指数幂的运算性质中指数的取值范围由“正整数”扩大到“整数”，这些性质还适用吗？知识点1整数指数幂探究新知问题2am

中指数m

可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂am表示什么？问题3根据分式的约分，当a≠0时，如何计算？问题4如果把正整数指数幂的运算性质

(a≠0，m，n是正整数，m>n)中的条件m>n去掉，即假设这个性质对于像的情形也能使用，如何计算？a3÷a5==a3÷a5=a3-5=a-2探究新知(1)(2)数学中规定：当n是正整数时，这就是说，

是an的倒数．由(1)(2)想到，若规定a-2=(a≠0)，就能使am÷an=am-n

这条性质也适用于像a3÷a5的情形，因此：探究新知111填空：(1)

=____，=____；(2)

=____，=____；(3)

=____，=____(b≠0)．探究新知做一做

问题5引入负整数指数和0指数后，(m，n是正整数)，这条性质能否推广到m，n是任意整数的情形？例如：a5·a-6=a(5-6)=a-1(a≠0)探究新知问题6类似地，你可以用负整数指数幂或0指数幂对于其他正整数指数幂的运算性质进行试验，看看这些性质在整数范围内是否还适用？例如：a0·a-5=a0-5=a-5

，a-3·a-7=a-3+(-7)=a-10

，a-2÷a-5=a-2-(-5)=a3

，a0÷a-4=a0-(-4)=a4探究新知(1)

(m，n是整数)；(2)

(m，n是整数)；(3)

(n是整数)；(4)

(m，n是整数)；(5)

(n是整数)．探究新知归纳总结试说说当m分别是正整数、0、负整数时，am各表示什么意义？当m是正整数时，am表示m个a相乘.当m是0时，a0表示一个数的n次方除以这个数的n次方，所以特别规定，任何除0以外的实数的0次方都是1.当m是负整数时，

am表示|m|个相乘.探究新知例1

计算：

解：

素养考点1整数指数幂的计算探究新知解：

探究新知1.计算：解：(1)原式=x2y-3·x-3y3

=x2-3·y-3+3

=x-1

=

巩固练习能否将整数指数幂的5条性质进行适当合并？根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时，

，，因此，

，即同底数幂的除法

可以转化为同底数幂的乘法

．特别地，所以，即商的乘方可以转化为积的乘方知识点2整数指数幂的性质探究新知这样，整数指数幂的运算性质可以归结为：(1)

(m，n是整数)；(2)

(m，n是整数)；(3)

(n

是整数)．探究新知故等式正确.例2

下列等式是否正确？为什么？(1)am÷an=am·a-n；(2)解：(1)∵am÷an=am-n=am+(-n)=am·a-n，∴am÷an=am·a-n.故等式正确.

素养考点2整数指数幂的性质的应用探究新知(2)2.填空：(-3)2·(-3)-2=(

)；103×10-2=(

)；a-2÷a3=(

)；a3÷a-4=(

).3.计算：(1)0.1÷0.13(2)(-5)2008÷(-5)2010(3)100×10-1÷10-2(4)x-2·x-3÷x2110a7巩固练习连接中考

DC巩固练习

2.下列计算不正确的是(

)A.B.C.D.基础巩固题BB课堂检测能力提升题1.若0<x<1，则x-1，x，x2的大小关系是(

)A.x-1<x<x2

B.x<x2<x-1C.x2<x<x-1

D.x2<x-1<x

C课堂检测2.计算.课堂检测能力提升题若，试求的值.拓广探索题课堂检测整数指数幂零指数幂：当a≠0时，a0=1负整数指数幂：当n是正整数时，a-n=(a≠0)整数指数幂的性质(1)am·an=am+n(m，n为整数，a≠0)(2)(ab)m=ambm(m为整数，a≠0，b≠0)(3)(am)n=amn(m，n为整数，a≠0)

课堂小结第二课时用科学记数法表示绝对值小于1的数通过上节课的学习，大家明确了整数指数幂具有正整数指数幂的运算性质，这节课我们来学习运用其性质进行有关计算及负整数指数幂在科学记数法中的运用.导入新知2.了解负整数指数幂在科学记数法中的运用.1.熟练应用整数指数幂的意义及性质进行综合计算.素养目标对于一个小于1的正小数，如果小数点后至第一个非0数字前有8个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数是多少？如果有m个0呢？用科学记数法表示绝对值小于1的小数知识点1探究新知0.1=0.01=

0.001=

=

；0.0001=

=

；

0.00001=

=

．归纳：探究新知填空：0.0000982=9.82×0.00001=9.82×0.0035=3.5×0.001=3.5×

如何用科学记数法表示0.0035和0.0000982呢？观察这两个等式，你能发现10的指数与什么有关呢？

对于一个小于1的正小数，从小数点前的第一个0算起至小数点后第一个非0数字前有几个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数就是负几．探究新知(1)0.005

0.005

0.005=5×10-3小数点原本的位置小数点最后的位置小数点向右移了3位例1用科学记数法表示下列各数：素养考点1用科学记数法表示小于1的数探究新知(2)0.0204

0.0204

0.0204=2.04×10-2小数点原本的位置小数点最后的位置小数点向右移了2位探究新知(3)0.00036

0.00036

0.00036=3.6×10-4小数点原本的位置小数点最后的位置小数点向右移了4位探究新知解：(1)0.3=3×10-1

；

(2)-0.00078=-7.8×10-4

；

(3)0.00002009=2.009×10-5.

1.用科学记数法表示下列各数：(1)0.3；(2)-0.00078；(3)0.00002009.巩固练习素养考点2科学记数法有关计算例2计算下列各题：(1)(－4×10-6)÷(2×103)(2)(1.6×10-4)×(5×10-2)方法总结：科学记数法的有关计算，分别把前边的数进行运算，10的幂进行运算，再把所得结果相乘.解：(1)(－4×10-6)÷(2×103)

=(-4÷2)(10-6÷103)

=-2×10-9

探究新知(2)(1.6×10-4)×(5×10-2)

=(1.6×5)×(10-4×10-2)

=8×10-6

2.计算：

(1)(2×10－6)×(3.2×103)

(2)(2×10－6)2

÷(10－4)3

解：(1)(2×10－6)×(3.2×103)

=

(2×3.2)×(10-6×103)

=6.4×10-3巩固练习

(2)(2×10－6)2÷(10－4)3=(4×10-12)÷10-12=4×10-12-(-12)=4×100=4×1

=4例3纳米(nm)是非常小的长度单位，1nm=10–9

m，把1nm的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上，1mm3的空间可以放多少个1nm3的物体？(物体之间间隙忽略不计)解：

1mm=10－3m，1nm=10－9m.(10－3)3÷(10－9)3

=10－9÷10－27=1018，1mm3的空间可以放1018个1nm3的物体.素养考点3利用科学记数法解答实际问题探究新知3.某种大肠杆菌的半径是3.5×10-6m，一只苍蝇携带这种细菌1.4×103个.如果把这种细菌近似地看成球状，那么这只苍蝇所携带的所有大肠杆菌的总体积是多少立方米？(结果精确到0.001，球的体积公式V=πR3)解：每个大肠杆菌的体积是

·π·(3.5×10-6)3≈1.796×10-16(m3)，

总体积=1.796×10-16×1.4×103≈2.514×10-13(m3).答：这只苍蝇共携带大肠杆菌的总体积是2.514×10-1