2023-2024学年浙江省9+1联盟高二下学期期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2浙江省9+1联盟2023-2024学年高二下学期期中数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.在的展开式中常数项是（）A.1120 B.160 C. D.〖答案〗D〖解析〗的展开式通项公式为，令，解得，故常数项为.故选：D2.已知事件，且，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由条件概率公式知：，则.故选：B3.已知可导函数满足，则（）A. B. C. D.1〖答案〗A〖解析〗对求导，故，故选：A4.已知等差数列的前n项和为，则（）A.18 B.36 C.54 D.60〖答案〗D〖解析〗由可得，故，故选：D5.已知函数在内有最小值，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗函数的定义域为，，令可得或（舍），当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，即最小值，又因为函数在内有最小值，故，解得，所以的取值范围是.故选：B6.已知函数为不相等的两个实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗因为函数为不相等的两个实数，不妨设，当时，有，即，解得，当时，，，即，当时，，，即，，则，当时，一定有，且，则，所以“”是“”的充分必要条件；故选：C7.2024年伊始，随着“广西砂糖桔”“马铃薯公主”等热梗的不断爆出，哈尔滨火爆出圈，成为旅游城市中的“顶流”．某班级六位同学也准备共赴一场冰雪之约，制定了“南方小土豆，勇闯哈尔滨”的出游计划，这六位同学准备在行程第一天在圣索菲亚教堂、冰雪大世界、中央大街三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，六位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数是（）A.132 B.144 C.150 D.168〖答案〗C〖解析〗若学生甲、乙选的景点没有其他人选，则分组方式为或（其中为甲、乙），当为时，则有种选法；当为（其中为甲、乙）时，则有种选法；若学生甲、乙选的景点有其他人选，则分组方式为或（其中为甲、乙与另一学生），当为时，则有种选法；当为（其中为甲、乙与另一学生）时，则有种选法；综上可得一共有种不同的选法.故选：C8.已知数列的前n项和为，且关于n的不等式有3个解，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由可得：，由上可得是常数列，当时，，所以，即，而，则，令，则，当时，，即，而，，，了满足不等式有三个解，则，此时有，满足条件，故选：A.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知随机变量满足，且，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗由随机变量满足，且，可得，解得，对于A中，由，所以A错误；对于B中，因为，即，可得，所以B正确；对于C中，由，所以C正确；对于D中，由，可得，所以D正确.故选：BCD.10.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详析九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（）A.2024行中从左往右第1012个数与第1014个数相等B.C.记第10行的第个数为，则D.记第行的第个数为，则〖答案〗AC〖解析〗对于A，第2024行中数为的展开式的二项式系数，则从左往右第1012个数为，第1014个数为，由于，故A正确；对于B，由，可得，故B不正确；对于C，第行的第个数为，则，故C正确；对于D，第行第个数为，则故D错误；故选：AC11.有个等分为五个扇形的圆形幸运转盘，这五个扇形分别标有数字1，2，3，4，5，转动圆盘等其静止时，指针均指向扇形的内部，记录下对应的数字．持续这个过程，记前次所得的数字之和是偶数的概率为，则（）A. B.C.是等比数列 D.是递减数列〖答案〗AD〖解析〗根据题意，有个等分为五个扇形的圆形幸运转盘，这五个扇形分别标有数字1，2，3，4，5，则每次旋转中，指针指向数字为偶数的概率为，指向数字为奇数的概率为，则，又由，则，故A正确；对于，变形可得，，则，故数列是首项为，公比为的等比数列，故，变形可得，对于B，，，则，故B错误；对于C，，此时，而，所以数列不是等比数列，故C错误；对于D，，由于，故是递减数列，故D正确.故选：AD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知随机变量X服从正态分布，且，则__________．〖答案〗0.9〖解析〗根据题意，，则，所以，则.故〖答案〗为：0.913.将1，2，3，4，5，6这6个数填入图所示的格子中，要求每个数字都要填入，且每个格子只能填一个数，其中1与2相邻（有公共边的两格子称为相邻）的不同的填法有__________种（结果用数字作答）．〖答案〗336〖解析〗1从第一排开始排，满足题意有如下情况．如右图，此时2所在位置2种，其他全排即可，有种，如右图，此时2所在位置3种，其他全排即可，有种，如右图，此时2所在位置２种，其他全排即可，有种，同理，由图形对称性知道，1从第二排开始排，与前面第一排情况数一样.种.故〖答案〗为：336.14.已知实数，且函数，则函数的最小值为__________．〖答案〗〖解析〗由题意得，设，，则点在曲线上，点在抛物线上，的几何意义为，两点间距离与点到轴的距离之和．设抛物线的焦点为，则由抛物线的定义知，所以，所以，问题转化为求曲线上的点到点的距离的最小值，设曲线上的点，到点的距离最小，则与曲线在点处切线垂直，即，所以，作出函数与函数的图象，如图所示：由图象知，两函数图象只有一个交点，所以方程的解为，则．所以，所以函数的最小值为．故〖答案〗为：．四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数（为自然对数的底数）．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若在区间上单调递增，求a的取值范围．解：（1）当时，，故在处的切线方程为，即（2）由题意知在(0,+∞)恒成立，，化简得在恒成立，而，所以16.已知正项等比数列的前n项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列也的前n项和．解：（1）由，整理得，因为是正项等比数列，所以，于是，解得或（舍去）.又，解得.所以.（2）由已知得两式相减得，即，当时，，所以，即，当n为偶数时，；当n为奇数时，.所以．17.小明参加一个抽纸牌游戏，规则如下：有九张质地完全相同的纸牌，其中有一张大王牌，其余四种花色为：红桃、黑桃、方块、梅花各2张．逐次从9张牌中不放回地随机抽取一张纸牌，每次抽牌后，都往牌堆中加入一张新的大王牌．（1）求小明在前两次抽牌中只抽到一张大王牌的情况下，第三次抽牌抽到红桃牌的概率．（2）抽牌过程中，若抽到大王牌，则宣告游戏结束：若累计抽到两张花色相同的纸牌，也宣告游戏结束；否则游戏继续．用X表示小明在游戏中一共抽到的纸牌数，求X的分布列．解：（1）设事件A表示“前两次抽牌中只抽到一张大王牌”,设事件B表示“第三次抽到红桃牌”.则．则小明在前两次抽牌中只抽到一张大王牌的情况下，第三次抽牌抽到红桃牌的概率为.（2）X的可能所有取值为:1,2,3,4,5．，，，，，则X的分布列为：X12345P18.已知数列，满足，记．（1）求数列的通项公式；（2）求证：；（3）设数列的前n项和为，证明：．解：（1）设，即，因为，所以，解得，所以，因为，则，所以，所以.（2）令，因为，所以，要证，只要证，即可．因为，令，则，所以在上单调递增，所以，所以单调递增，则，所以得证．（3）由（2）可知，，所以，即，另一方面，所，则，所以19.药房里有若干味药．药剂师用这些药配成22副药方，每副药方中恰有5味药，从中任选的三味药都恰好只包含在某一副药方中．（1）药房中共有几味药？（2）药物分为烈性药和非烈性药，要求每副药方中至少有一味是烈性药．（i）假设药房中有7味烈性药，证明：全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药；（ii）证明：全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药．解：（1）设共有n味药，一共可形成个“三药组”，另一方面，每个“三药组”恰有一副药方包含它，22副药方中，每副药方可形成个“三药组”，合计220个“三药组”，所以，所以．（2）设共有烈性药r味，假设每副药方中至多含有3味烈性药，不妨把1味烈性药味非烈性药称为“三药组”，共有个“三药组”，另一方面，因为每3种烈性药恰有一副药方包含它，故有副药方恰含有3种烈性药，每副这样的药方含有个“三药组”，其余副药方只含有1种或2种烈性药，它们中每一幅都可形成或个“三药组”，故22副药方一共可形成个“三药组”，故有，得，（i）将代入即说明假设药房中有7味烈性药，全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药；（ii）两边考虑都除以5，右侧余2，对于，当r取0，1，2，3，4，5时，均不成立，即说明假设每副药方中至多含有3味烈性药不成立，所以全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药．浙江省9+1联盟2023-2024学年高二下学期期中数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.在的展开式中常数项是（）A.1120 B.160 C. D.〖答案〗D〖解析〗的展开式通项公式为，令，解得，故常数项为.故选：D2.已知事件，且，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由条件概率公式知：，则.故选：B3.已知可导函数满足，则（）A. B. C. D.1〖答案〗A〖解析〗对求导，故，故选：A4.已知等差数列的前n项和为，则（）A.18 B.36 C.54 D.60〖答案〗D〖解析〗由可得，故，故选：D5.已知函数在内有最小值，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗函数的定义域为，，令可得或（舍），当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，即最小值，又因为函数在内有最小值，故，解得，所以的取值范围是.故选：B6.已知函数为不相等的两个实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗因为函数为不相等的两个实数，不妨设，当时，有，即，解得，当时，，，即，当时，，，即，，则，当时，一定有，且，则，所以“”是“”的充分必要条件；故选：C7.2024年伊始，随着“广西砂糖桔”“马铃薯公主”等热梗的不断爆出，哈尔滨火爆出圈，成为旅游城市中的“顶流”．某班级六位同学也准备共赴一场冰雪之约，制定了“南方小土豆，勇闯哈尔滨”的出游计划，这六位同学准备在行程第一天在圣索菲亚教堂、冰雪大世界、中央大街三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，六位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数是（）A.132 B.144 C.150 D.168〖答案〗C〖解析〗若学生甲、乙选的景点没有其他人选，则分组方式为或（其中为甲、乙），当为时，则有种选法；当为（其中为甲、乙）时，则有种选法；若学生甲、乙选的景点有其他人选，则分组方式为或（其中为甲、乙与另一学生），当为时，则有种选法；当为（其中为甲、乙与另一学生）时，则有种选法；综上可得一共有种不同的选法.故选：C8.已知数列的前n项和为，且关于n的不等式有3个解，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由可得：，由上可得是常数列，当时，，所以，即，而，则，令，则，当时，，即，而，，，了满足不等式有三个解，则，此时有，满足条件，故选：A.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知随机变量满足，且，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗由随机变量满足，且，可得，解得，对于A中，由，所以A错误；对于B中，因为，即，可得，所以B正确；对于C中，由，所以C正确；对于D中，由，可得，所以D正确.故选：BCD.10.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详析九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（）A.2024行中从左往右第1012个数与第1014个数相等B.C.记第10行的第个数为，则D.记第行的第个数为，则〖答案〗AC〖解析〗对于A，第2024行中数为的展开式的二项式系数，则从左往右第1012个数为，第1014个数为，由于，故A正确；对于B，由，可得，故B不正确；对于C，第行的第个数为，则，故C正确；对于D，第行第个数为，则故D错误；故选：AC11.有个等分为五个扇形的圆形幸运转盘，这五个扇形分别标有数字1，2，3，4，5，转动圆盘等其静止时，指针均指向扇形的内部，记录下对应的数字．持续这个过程，记前次所得的数字之和是偶数的概率为，则（）A. B.C.是等比数列 D.是递减数列〖答案〗AD〖解析〗根据题意，有个等分为五个扇形的圆形幸运转盘，这五个扇形分别标有数字1，2，3，4，5，则每次旋转中，指针指向数字为偶数的概率为，指向数字为奇数的概率为，则，又由，则，故A正确；对于，变形可得，，则，故数列是首项为，公比为的等比数列，故，变形可得，对于B，，，则，故B错误；对于C，，此时，而，所以数列不是等比数列，故C错误；对于D，，由于，故是递减数列，故D正确.故选：AD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知随机变量X服从正态分布，且，则__________．〖答案〗0.9〖解析〗根据题意，，则，所以，则.故〖答案〗为：0.913.将1，2，3，4，5，6这6个数填入图所示的格子中，要求每个数字都要填入，且每个格子只能填一个数，其中1与2相邻（有公共边的两格子称为相邻）的不同的填法有__________种（结果用数字作答）．〖答案〗336〖解析〗1从第一排开始排，满足题意有如下情况．如右图，此时2所在位置2种，其他全排即可，有种，如右图，此时2所在位置3种，其他全排即可，有种，如右图，此时2所在位置２种，其他全排即可，有种，同理，由图形对称性知道，1从第二排开始排，与前面第一排情况数一样.种.故〖答案〗为：336.14.已知实数，且函数，则函数的最小值为__________．〖答案〗〖解析〗由题意得，设，，则点在曲线上，点在抛物线上，的几何意义为，两点间距离与点到轴的距离之和．设抛物线的焦点为，则由抛物线的定义知，所以，所以，问题转化为求曲线上的点到点的距离的最小值，设曲线上的点，到点的距离最小，则与曲线在点处切线垂直，即，所以，作出函数与函数的图象，如图所示：由图象知，两函数图象只有一个交点，所以方程的解为，则．所以，所以函数的最小值为．故〖答案〗为：．四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数（为自然对数的底数）．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若在区间上单调递增，求a的取值范围．解：（1）当时，，故在处的切线方程为，即（2）由题意知在(0,+∞)恒成立，，化简得在恒成立，而，所以16.已知正项等比数列的前n项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列也的前n项和．解：（1）由，整理得，因为是正项等比数列，所以，于是，解得或（舍去）.又，解得.所以.（2）由已知得两式相减得，即，当时，，所以，即，当n为偶数时，；当n为奇数时，.所以．17.小明参加一个抽纸牌游戏，规则如下：有九张质地完全相同的纸牌，其中有一张大王牌，其余四种花色为：红桃、黑桃、方块、梅花各2张．逐次从9张牌中不放回地随机抽取一张纸牌，每次抽牌后，都往牌堆中加入一张新的大王牌．（1）求小明在前两次抽牌中只抽到一张大王牌的情况下，第三次抽牌抽到红桃牌的概率．（2）抽牌过程中，若抽到大王牌，则宣告游戏结束：若累计抽到两张花色相同的纸牌，也宣告游戏结束；否则游戏继续．用X表示小明在游戏中一共抽到的纸牌数，求X的分布列．解：（1）设事件A表示“前两次抽牌中只抽到一张大王牌”,设事件B表示“第三次抽到红桃牌”.则．则小明在前两次抽牌中