2.4.1圆的标准方程高二上学期数学人教A版选择性

圆的标准方程1.圆的标准方程的理解(1)圆的标准方程是利用圆的定义与两点间的距离公式推导出来的.(2)圆的标准方程可用来解决以下两类问题:①已知圆心和半径求圆的方程的问题;②已知圆心及圆上一点求圆的方程的问题.2.点与圆的位置关系的理解(1)判断点与圆的位置关系,可根据点与圆心的距离与圆的半径的大小关系进行判断.(2)在实际解题中,一般先计算d2=(x0-a)2+(y0-b)2,然后比较d2与r2的大小.探究点一

求圆的标准方程

x2+y2=25(x-2)2+(y-1)2=3(x-8)2+(y+3)2=25

(4)已知圆C的圆心在x轴上,半径为5,且截y轴所得弦长为8,则圆C的标准方程为

.

(x+3)2+y2=25或(x-3)2+y2=25方法二:由题意设所求圆的标准方程为(x-a)2+y2=25.因为圆截y轴所得弦长为8,所以圆过点(0,4),将(0,4)代入方程得a2+16=25,所以a=±3,所以所求圆的标准方程为(x+3)2+y2=25或(x-3)2+y2=25.(4)已知圆C的圆心在x轴上,半径为5,且截y轴所得弦长为8,则圆C的标准方程为

.

(x+3)2+y2=25或(x-3)2+y2=25变式

已知点A(1,-2),B(-1,4),求:(1)过点A,B且周长最小的圆的标准方程;(2)过点A,B且圆心在直线2x-y-4=0上的圆的标准方程.

变式

已知点A(1,-2),B(-1,4),求:(1)过点A,B且周长最小的圆的标准方程;(2)过点A,B且圆心在直线2x-y-4=0上的圆的标准方程.

[素养小结]用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤:设方程((x-a)2+(y-b)2=r2)→列方程组(由已知条件,建立关于a,b,r的方程组)→解方程组(解方程组,求出a,b,r)→得方程(将a,b,r代入所设方程,即得所求圆的标准方程).拓展

已知在平面直角坐标系中有A(4,6),B(-2,-2),C(1,7),D(6,2)四点,这四点是否在同一个圆上?请说明理由.若在,则点E(1,-3)是否与这四点共圆?

拓展

已知在平面直角坐标系中有A(4,6),B(-2,-2),C(1,7),D(6,2)四点,这四点是否在同一个圆上?请说明理由.若在,则点E(1,-3)是否与这四点共圆?把点D的坐标(6,2)代入圆的标准方程,成立,故A(4,6),B(-2,-2),C(1,7),D(6,2)这四点在同一个圆(x-1)2+(y-2)2=25上.把点E的坐标(1,-3)代入圆的标准方程,成立,故点E(1,-3)与这四点共圆.探究点二

判断点与圆的位置关系

例2(1)已知两点P1(3,8)和P2(5,4),求以线段P1P2为直径的圆的标准方程,并判断点M(5,3),N(3,4),P(3,5)与圆的位置关系.

例2(1)已知两点P1(3,8)和P2(5,4),求以线段P1P2为直径的圆的标准方程,并判断点M(5,3),N(3,4),P(3,5)与圆的位置关系.(2)写出圆心为点(3,4),半径为5的圆的标准方程,并判断点A(0,0),B(1,3)与该圆的位置关系.

1.求圆的标准方程的常用方法:(1)几何法:根据题意,求出圆心坐标与半径,然后写出标准方程.(2)待定系数法:设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),先根据条件列出关于a,b,r的方程组,然后解出a,b,r,最后代入标准方程.例1求经过点P(1,1)和坐标原点O,并且圆心在直线2x+3y+1=0上的圆的标准方程.

例1求经过点P(1,1)和坐标原点O,并且圆心在直线2x+3y+1=0上的圆的标准方程.

2.点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系的判断方法:(1)若(x0-a)2+(y0-b)2>r2,则点M在圆外;(2)若(x0-a)2+(y0-b)2=r2,则点M在圆上;(3)若(x0-a)2+(y0-b)2<r2,则点M在圆内.例2已知M(2,0),N(10,0),P(11,3),Q(6,1)四点,试判断它们是否共圆,并说明理由.

B2.点P(m,5)与圆x2+y2=24的位置关系是 (

)A.在圆外 B.在圆内C.在圆上 D.不确定[解析]因为m2+25>24,所以点P在圆外.A

C4.点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值范围是 (

)A.a<-1或a>1 B.-1<a<1C.0<a<1 D.-1<a<0[解析]因为点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,所以(1-a)2+(1+a)2<4,即a2<1,所以-1<a<1.B5.[2021·潍坊期中]过点A(0,0),B(2,2)且圆心在直线y=2x-4上的圆的标准方程为 (

)A.(x-2)2+y2=4 B.(x+2)2+y2=4C.(x-4)2+(