2022-2023学年江西省九江市高一下学期第二次阶段性模拟期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西省九江市2022-2023学年高一下学期第二次阶段性模拟期末数学试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意．）1.已知，其中为的共轭复数，则复数在复平面上对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗因为，所以，所以，所以复数在复平面上的对应点的坐标为，该点位于第一象限.故选：A.2.计算（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由两角差的正弦公式可得：.故选：C.3.在空间中，下列说法正确的是（）A.垂直于同一直线的两条直线平行 B.垂直于同一直线的两条直线垂直C.平行于同一平面的两条直线平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行〖答案〗D〖解析〗垂直于同一直线的两条直线的位置关系有：平行、相交和异面，A、B不正确；平行于同一平面的两条直线的位置关系有：平行、相交和异面，C不正确；根据线面垂直的性质可知：D正确.故选：D．4.已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，在上的投影向量为.故选：C.5.在中，分别根据下列条件解三角形，其中有唯一解的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗A：由，则，而，无解；B：由，则，而，有唯一解；C：由，则，而，有两解；D：由，则，而，有两解.故选：B.6.将函数的图象沿轴向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根据题意分析得：，所以，又函数与函数为同一函数，，，得.故选：A.7.已知正三棱台的上、下底面面积分别为，若，则该正三棱台的外接球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗若正三角形的边长为，则其面积为，由题意可得：，取的外接圆的圆心为，正三棱台的外接球的球心，连接，过作底面的投影，可得，则，由，可得，设外接球的半径为，则，可得，解得，所以该正三棱台的外接球的表面积.故选：D.8.17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在中，若三个内角均小于，当点满足时，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以上性质，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，，则的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设，，，则，即为点到和点三个点的距离之和，则△ABC为等腰三角形，如图，由费马点的性质可得：点P在三角形内部且在y轴上，要保证∠APB=120°，则∠APO=60°，因为OA=1，则，所以点坐标为时，距离之和最小，最小距离之和为.故选：B.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题意．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.下列各式的值为的是（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗对于A：，故A正确；对于B：，故B错误；对于C：因为，所以，解得或（舍去），所以，故C错误；对于D：，故D正确.故选：AD.10.若函数，则该函数（）A.最小值为 B.最大值为 C.在上是减函数 D.奇函数〖答案〗AC〖解析〗，选项A：当时，函数取得最小值，判断正确；选项B：当时，函数取得最大值，判断错误；选项C：在上单调递减，在上单调递减，则函数在上是减函数，判断正确；选项D：由，可得函数为偶函数，判断错误.故选：AC.11.已知函数，下列说法中正确的有（）A.若，则在上是单调增函数B.若，则正整数的最小值为2C.若，把函数的图像向右平移个单位长度得到的图像，则为奇函数D.若上有且仅有3个零点，则〖答案〗ABD〖解析〗依题意，，对于A，，，当时，有，则在上单调递增，所以在上单调递增，故A正确；对于B，因，则是函数图像的一条对称轴，，整理得，而，即有，，故B正确；对于C，，，依题意，函数，这个函数不是奇函数，其图像关于原点不对称，故C不正确；对于D，当时，，依题意，，解得，故D正确.故选：ABD.12.如图，在长方体中，，点是棱上的一个动点，给出下列命题，其中真命题的是（）A.不存在点，使得B.三棱锥的体积恒为定值C.存在唯一的点，过三点作长方体的截面，使得截面的周长有最小值D.为棱上一点，若点满足，且平面，则为的中点〖答案〗BCD〖解析〗选项A：在底面矩形中，连接交于点，由，则，所以，所以，为等边三角形，取的中点，连接并延长交于点，则，又在长方体中，平面，且平面，则，又，所以平面，又平面，所以，所以存在点，使得，故选项A不正确；选项B：，在长方体中，平面，所以，所以三棱锥的体积恒为定值，故选项B正确；选项C：在上取点，使得，连接，则四边形为平行四边形，所以过三点作长方体的截面为面，将侧面展开，使得面与面在同一平面内，连接，交于点，此时最小，即截面的周长最小，所以存在唯一的点，使得截面的周长有最小值，故选项C正确；选项D：在梯形中，两腰延长必相交，设交点为，连接，由，，即，所以，即，则，平面，面平面，由平面，则，又，所以为平行四边形，则，则，所以为的中点，故选项D正确.故选：BCD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把〖答案〗填在答题卡中相应的横线上．）13.设，则等于__________．〖答案〗〖解析〗依题意，，，所以.故〖答案〗为：.14.中，分别是的内角所对的边，若，则等于___________.〖答案〗〖解析〗由正弦定理可得：，则，所以.故〖答案〗为：.15.已知圆锥的侧面展开图是圆心角为且半径为2的扇形，则这个圆锥的体积是___________.〖答案〗〖解析〗设圆锥的底面半径为，母线为，高为，由题知：，所以，解得，所以，则三棱锥的体积.故〖答案〗为：.16.如图所示，是一块边长为7米的正方形铁皮，其中是一半径为6米的扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用．工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在与上的长方形铁皮，其中是弧上一点．设，长方形的面积为平方米．则当_________时，取最大值_________．〖答案〗平方米〖解析〗由题意可知，，，，令，由，则，，，易知当时，，.故〖答案〗为：平方米.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知．（1）若的终边位于第三象限角，求的值；（2）求的值．解：（1），∴，∴，∴，又∵的终边位于第三象限角，∴，∴，∴.（2）.18.已知四棱锥的底面是正方形，平面．（1）设平面平面，求证：；（2）求证：平面平面．解：证明：（1）因为，平面，平面，所以平面，而平面平面，平面，所以．（2）因为平面，平面，所以，因为四棱锥的底面是正方形，所以，而与相交，与都在平面内，所以平面，又平面，所以平面平面．19.已知、的夹角为锐角，，，且在方向上的投影数量为．（1）若，求的值；（2）若，，，若、、三点共线，求的值．解：（1）在方向上的投影数量为，得，因为，则，因为，所以，解得.（2）由题意得，，因为、、三点共线，则，则，使得，即，又因为、不共线，则，解得.20.已知函数，是函数的对称轴，且在区间上单调．（1）从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得的〖解析〗式存在，并求出其〖解析〗式；条件①：函数的图象经过点；条件②：是的对称中心；条件③：是的对称中心．（2）根据（1）中确定，若的值域为，求的取值范围．解：（1）因为在区间上单调，所以，因为，且，解得；又因为是函数的对称轴，所以；若选条件①：因为函数的图象经过点，所以，因为，所以，所以，，即，当时，，满足题意，故.若选条件②：因为是的对称中心，所以，所以，，此方程无解，故条件②无法解出满足题意得函数〖解析〗式.若条件③：因为是的对称中心，所以，所以，，解得，所以.（2）由（1）知，因为，所以，又在上的值域为，所以，解得，即.21.已知在中，角所对的边分别为，且.（1）求的值；（2）若，且，求实数的取值范围.解：（1）依题意，，因为，所以，由正弦定理，得，故上式可化为，因为，所以，由正弦定理，得.（2）因为，由正弦定理，，因为，故，则，故，因为，故，又，故，代入中，得，即.由余弦定理，，故，则，当且仅当时等号成立，故，又，所以实数的取值范围为.22.已知在正三棱柱中，，E是棱的中点．（1）设，求三棱锥的体积；（2）若把平面与平面所成的锐二面角为60°时的正三棱柱称为“黄金棱柱”，请判断此三棱柱是否为“黄金棱柱”，并说明理由．解：（1）取的中点，连接，如图所示：因为，为中点，所以，又因为平面，平面，所以，又因为，所以平面，又因为，平面，平面，所以平面，，，所以.（2）延长交延长线于点，连接，如图所示：因为，是棱的中点，所以是的中点，所以，即，因为平面，平面，所以，又因为，，，所以平面，又平面，所以，所以为平面与平面所成二面角的平面角，因为正三棱柱中，，所以，即此三棱柱不是“黄金棱柱”.江西省九江市2022-2023学年高一下学期第二次阶段性模拟期末数学试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意．）1.已知，其中为的共轭复数，则复数在复平面上对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗因为，所以，所以，所以复数在复平面上的对应点的坐标为，该点位于第一象限.故选：A.2.计算（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由两角差的正弦公式可得：.故选：C.3.在空间中，下列说法正确的是（）A.垂直于同一直线的两条直线平行 B.垂直于同一直线的两条直线垂直C.平行于同一平面的两条直线平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行〖答案〗D〖解析〗垂直于同一直线的两条直线的位置关系有：平行、相交和异面，A、B不正确；平行于同一平面的两条直线的位置关系有：平行、相交和异面，C不正确；根据线面垂直的性质可知：D正确.故选：D．4.已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，在上的投影向量为.故选：C.5.在中，分别根据下列条件解三角形，其中有唯一解的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗A：由，则，而，无解；B：由，则，而，有唯一解；C：由，则，而，有两解；D：由，则，而，有两解.故选：B.6.将函数的图象沿轴向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根据题意分析得：，所以，又函数与函数为同一函数，，，得.故选：A.7.已知正三棱台的上、下底面面积分别为，若，则该正三棱台的外接球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗若正三角形的边长为，则其面积为，由题意可得：，取的外接圆的圆心为，正三棱台的外接球的球心，连接，过作底面的投影，可得，则，由，可得，设外接球的半径为，则，可得，解得，所以该正三棱台的外接球的表面积.故选：D.8.17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在中，若三个内角均小于，当点满足时，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以上性质，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，，则的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设，，，则，即为点到和点三个点的距离之和，则△ABC为等腰三角形，如图，由费马点的性质可得：点P在三角形内部且在y轴上，要保证∠APB=120°，则∠APO=60°，因为OA=1，则，所以点坐标为时，距离之和最小，最小距离之和为.故选：B.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题意．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.下列各式的值为的是（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗对于A：，故A正确；对于B：，故B错误；对于C：因为，所以，解得或（舍去），所以，故C错误；对于D：，故D正确.故选：AD.10.若函数，则该函数（）A.最小值为 B.最大值为 C.在上是减函数 D.奇函数〖答案〗AC〖解析〗，选项A：当时，函数取得最小值，判断正确；选项B：当时，函数取得最大值，判断错误；选项C：在上单调递减，在上单调递减，则函数在上是减函数，判断正确；选项D：由，可得函数为偶函数，判断错误.故选：AC.11.已知函数，下列说法中正确的有（）A.若，则在上是单调增函数B.若，则正整数的最小值为2C.若，把函数的图像向右平移个单位长度得到的图像，则为奇函数D.若上有且仅有3个零点，则〖答案〗ABD〖解析〗依题意，，对于A，，，当时，有，则在上单调递增，所以在上单调递增，故A正确；对于B，因，则是函数图像的一条对称轴，，整理得，而，即有，，故B正确；对于C，，，依题意，函数，这个函数不是奇函数，其图像关于原点不对称，故C不正确；对于D，当时，，依题意，，解得，故D正确.故选：ABD.12.如图，在长方体中，，点是棱上的一个动点，给出下列命题，其中真命题的是（）A.不存在点，使得B.三棱锥的体积恒为定值C.存在唯一的点，过三点作长方体的截面，使得截面的周长有最小值D.为棱上一点，若点满足，且平面，则为的中点〖答案〗BCD〖解析〗选项A：在底面矩形中，连接交于点，由，则，所以，所以，为等边三角形，取的中点，连接并延长交于点，则，又在长方体中，平面，且平面，则，又，所以平面，又平面，所以，所以存在点，使得，故选项A不正确；选项B：，在长方体中，平面，所以，所以三棱锥的体积恒为定值，故选项B正确；选项C：在上取点，使得，连接，则四边形为平行四边形，所以过三点作长方体的截面为面，将侧面展开，使得面与面在同一平面内，连接，交于点，此时最小，即截面的周长最小，所以存在唯一的点，使得截面的周长有最小值，故选项C正确；选项D：在梯形中，两腰延长必相交，设交点为，连接，由，，即，所以，即，则，平面，面平面，由平面，则，又，所以为平行四边形，则，则，所以为的中点，故选项D正确.故选：BCD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把〖答案〗填在答题卡中相应的横线上．）13.设，则等于__________．〖答案〗〖解析〗依题意，，，所以.故〖答案〗为：.14.中，分别是的内角所对的边，若，则等于___________.〖答案〗〖解析〗由正弦定理可得：，则，所以.故〖答案〗为：.15.已知圆锥的侧面展开图是圆心角为且半径为2的扇形，则这个圆锥的体积是___________.〖答案〗〖解析〗设圆锥的底面半径为，母线为，高为，由题知：，所以，解得，所以，则三棱锥的体积.故〖答案〗为：.16.如图所示，是一块边长为7米的正方形铁皮，其中是一半径为6米的扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用．工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在与上的长方形铁皮，其中是弧上一点．设，长方形的面积为平方米．则当_________时，取最大值_________．〖答案〗平方米〖解析〗由题意可知，，，，令，由，则，，，易知当时，，.故〖答案〗为：平方米.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知．（1）若的终边位于第三象限角，求的值；（2）求的值．解：（1），∴，∴，∴，又∵的终边位于第三象限角，∴，∴，∴.（2）.18.已知四棱锥的底面是正方形，平面．（1）设平面平面，求证：；（2）求证：平面平面．解：证明：（1）因为，平面，平面，所以平面，而平面平面，平面，所以．（2）因为平面，平面，所以，因为四棱锥的底面是正方形，所以，而与相交，与都在平面内，所以平面，又平面，所以平面平面．19.已知、的夹角为锐角，，，且在方向上的投影数量为．（1）若，求的值；（2）若，，，若、、三点共线，求的值．解：（1）在方向上的投影数量为，得，因为，则，因为，所以，解得.（2）由题意得，，因为、、三点共线，则，则，使得，即，又因为