2021届陕西省榆林市高三下学期第三次模拟测试数学文试题解析版

2021届陕西省榆林市高三下学期第三次模拟测试数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】解一元二次不等式求集合，应用集合的补运算求即可.【详解】∵，，∴.故选：C.2．=（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据复数代数运算方法计算即可．【详解】.故选：A.3．从某班名同学中选出人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将名同学按，，，进行编号，然后从随机数表第行的第列和第列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第个同学的编号为（）(注：表为随机数表的第行与第行)A． B． C． D．【答案】C【分析】按要求两个数字为一个号，不大于60且前面未出现的数，依次写出即可【详解】根据题意得：抽样编号依次为，，，，第个是.故选：C4．已知平面向量，，，则=（）A．3 B．3 C．4 D．4【答案】A【分析】由得到坐标，利用坐标求即可.【详解】∵，∴.故选：A.5．函数f(x)＝的图象大致为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】判断函数f(x)为偶函数，排除B、C；再由x＞1时的函数值符号，排除A即可.【详解】解：∵f（﹣x）＝＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数，排除选项B和C，当x＞1时，ln|x|＝lnx＞0，∴f(x)＞0，排除选项A，故选：D．6．在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝，A＝，则c＝（）A．1或2 B．1或 C．1 D．3【答案】A【分析】根据余弦定理，直接求边.【详解】解：由余弦定理知，，∴，化简得，c2﹣3c+2＝0，解得c＝1或2．故选：A．7．已知函数的图象在点处的切线方程为，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出导函数，由切线斜率和切点坐标求得后可得结论．【详解】由已知，，所以，，又＝，，所以．故选：B．8．已知函数，且，则（）A． B． C． D．3【答案】C【分析】令，则为奇函数，根据已知求出，，再由即可求出答案.【详解】解：根据题意，函数，则，则有，故，若，则，故选：C.9．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝4，AB⊥AC，M为BB1的中点，点N在棱CC1上，CN＝3NC1，则异面直线A1N与CM所成角的正切值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】在棱AA1上取一点D，使得AD＝1，连结CD，DM，则CD＝DM＝，，CD∥A1N，所以∠DCM即为A1N与CM所成的角，运用解三角形的知识求解可得选项．【详解】解：在棱AA1上取一点D，使得AD＝1，连结CD，DM，则CD＝DM＝，，CD∥A1N，所以∠DCM即为A1N与CM所成的角，取CM的中点E，连结DE，所以，故，所以异面直线A1N与CM所成角的正切值为．故选：D．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．10．已知函数f(x)＝2sin2x（sin2x+cos2x）﹣1，则下列说法正确的是（）A．f(x)的最小正周期为πB．f(x)的最大值为2C．f(x)在[0，]上是增函数D．f(x)在[0，]上有4个零点【答案】C【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式可得f(x)＝2sin2x（sin2x+cos2x）﹣1＝sin（4x﹣），再由三角函数性质即可求解.【详解】解：函数f(x)＝2sin2x（sin2x+cos2x）﹣1＝2sin22x﹣1+2sin2xcos2x＝sin4x﹣cos4x＝sin（4x﹣）．所以函数的周期为：T＝＝，所以A不正确；函数的最大值为，所以B不正确；，解得，所以f(x)在[0，]上是增函数，所以C正确；f(x)在[0，]上有2个零点，所以D不正确．故选：C．11．阳马，中国古代算数中的一种几何体，它是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥.已知在阳马中，平面，且阳马的体积为9，则阳马外接球表面积的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用阳马的体积，结合外接球的半径，通过长方体体对角线长以及基本不等式求解外接球的表面积的最小值即可.【详解】由题意可知阳马的体积为：，设阳马的外接球的半径为R，则，当且仅当时等号成立，所以阳马的外接球的表面积.故选：C.12．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，点A在第一象限，P(0，6)，O为坐标原点，则四边形OPAB面积最小时直线AB的方程是（）A．3x+4y﹣4=0 B．4x+3y﹣4=0C．4x+5y﹣4=0 D．5x+4y﹣4=0【答案】B【分析】由抛物线的方程求出焦点坐标，从而设直线AB的方程为x=my+1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1>0，联立直线和抛物线方程，从而可得y1y2=﹣4，通过分割法将四边形看成三个三角形的和，从而可得S==，设f(x)=，结合导数可求出函数何时取最小值，即可求出的坐标，从而求出直线的方程.【详解】解：抛物线C：y2=4x的焦点F(1，0)，设直线AB的方程为x=my+1，联立，可得y2﹣4my﹣4=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1>0，则y1y2=﹣4，四边形OPAB的面积S==.令f(x)=，则f′(x)=，当x∈(0，1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(1，+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴当x=1时，即当y1=1时，四边形OPAB的面积最小，此时A(，1)，B(4，﹣4)，直线AB的方程为4x+3y﹣4=0.故选：B.【点睛】关键点睛:本题的关键是用点的纵坐标表示出四边形的面积后，结合函数的思想求出何时面积取最大值.二、填空题13．设x，y满足约束条件，则的最大值是___________.【答案】5【分析】由已知约束条件画出可行域，根据所代表的直线平移，与可行域有交点的情况下要使最大，直线在数轴上的截距最大，结合图形确定临界点，进而求的最大值.【详解】由得：，由约束条件作出可行域如图(阴影部分)：平移直线，要使最大，即直线与可行域有交点时在x或y轴上的截距最大，由图象可知，当直线经过点时，截距最大，此时.∴的最大值为5.故答案为：5.14．某产品的零售价x(元)与每天的销售量(个)统计如下表：x6789y40312421据上表可得回归直线方程为，=___________.(用数字作答)【答案】77【分析】根据表格数据求样本中心点，由样本中心在回归直线上，代入即可求.【详解】由表格数据，=(6+7+8+9)=7.5，=(40+31+24+21)=29，故样本中心(7.5,29)，∴样本中心代入回归直线方程，有，解得.故答案为：77.15．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田（由圆弧和其所对弦所围成）面积的计算公式：弧田面积（弦矢矢）．公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于圆弧的最高点到弦的距离．如图，弧田是由圆弧和其所对弦围成的图形，若弧田的弧长为，弧所在的圆的半径为4，则利用九章算术中的弧田面积公式计算出来的面积与实际面积之差为______．【答案】【分析】设圆弧所对圆心角的弧度为，由题意求得．再运用扇形面积公式公式和三角形面积公式求得弧田实际的面积，利用九章算术中的弧田面积公式计算面积，可得答案.【详解】设圆弧所对圆心角的弧度为，由题可知，解得．故扇形的面积为，三角形的面积为，故弧田实际的面积为．作分别交，于点，，则，，所以利用九章算术中的弧田面积公式计算出来的面积为，则所求差值为．故答案为：.

16．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，以OF1为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M（异于坐标原点O），若线段MF1交双曲线于点P，且MF2∥OP，则该双曲线的离心率为_____．【答案】．【分析】将渐近线方程与圆的方程联立，求出M（﹣，），P为F1M的中点，求出P（﹣，），代入双曲线方程即可求解.【详解】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），由，解得M（﹣，），因为MF2∥OP，O为F1F2的中点，所以P为F1M的中点，所以P（﹣，），将P的坐标代入双曲线的方程，可得＝1，化简可得c2＝2a2，则e＝＝．故答案为：．三、解答题17．在等差数列{an}和等比数列{bn}中，已知a1+a2=a3，3a2﹣a5=1，b2=a1a4，b2+b5=36.（1）求{an}，{bn}的通项公式；（2）求数列{an•bn}的前n项和Tn.【答案】（1）an=n，；（2）.【分析】（1）分别回到等差数列与等比数列的基本量建立方程组，解出基本量，从而就可以求出通项；（2）运用错位相减法求和即可.【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列中的公比为，由于已知.建立方程组，解得，所以.（2）由（1）得，所以①，2②，①﹣②得，﹣，整理得.18．新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外所有的其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺.在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车产业必将成为未来汽车产业发展的导向与目标.新能源汽车也越来越受到消费者的青睐.某机构调查了某地区近期购车的位车主的性别与购车种类情况，得到数据如下：购置新能源汽车购置传统燃油汽车合计男性女性合计（1）根据表中数据，判断是否有的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关；（2）用分层抽样的方法按性别从被调查的购置新能源汽车的车主中选出位，参加关于“新能源汽车驾驶体验”的问卷调查，并从这位车主中随机抽取位车主赠送一份小礼物，求这位获赠礼品的车主中至少有位女性车主的概率.附：，.参考数据：【答案】（1）有的把握认为购置新能源汽车与性别有关；（2）.【分析】（1）利用列联表中的数据计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）分析可知所抽取的位车主中，男性人，记为、、、，女性人，记为、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】（1）由列联表中的数据可得，因此，有的把握认为购置新能源汽车与性别有关；（2）用分层抽样的方法按性别从被调查的购置新能源汽车的车主中选出位，男性人，记为、、、，女性人，记为、，选取名学生共有：、、、、、、、、、、、、、、，共种，其中，事件“从这位车主中随机抽取位车主赠送一份小礼物，这位获赠礼品的车主中至少有位女性车主”所包含的基本事件有：、、、、、、、、，共种，所以这位获赠礼品的车主中至少有位女性车主的概率.【点睛】方法点睛：求解古典概型概率的方法如下：（1）列举法；（2）列表法；（3）数状图法；（4）排列组合数的应用.19．如图，在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是BB1的中点，点F在棱AB上，且AF=2FB，设直线BD1、DE相交于点G.（1）证明：GF平面AA1D1D；（2）求B到平面GEF的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）连接AD1，根据等比例关系易得FGAD1，根据线面平行的判定即可证GF平面AA1D1D；（2）若正方体的棱长为6，求、GE、，由余弦定理求可得，进而求、及G到平面BEF的距离，由等体积知VB﹣GEF=VG﹣BEF即可求B到平面GEF的距离.【详解】（1）证明：连接AD1，则，∴FGAD1，又AD1平面AA1D1D，FG平面AA1D1D，∴GF平面AA1D1D；（2）由题意，若正方体的棱长为6，则，GE=DE=×，，在△GEF中，由余弦定理可得cos，则sin，∴，，且G到平面BEF的距离为2，设B到平面GEF的距离为h，由等体积法有VB﹣GEF=VG﹣BEF，∴，解得，故B到平面GEF的距离为.【点睛】关键点点睛：第二问，应用等体积法有VB﹣GEF=VG﹣BEF求点面距离.20．已知函数f(x)=lnx.（1）点P为f(x)图象上一点，求点P到直线x﹣ey+6=0的距离的最小值；（2）若关于x的不等式f(x)≤(x2+a﹣1)恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）[0，+∞).【分析】（1）当与直线x﹣ey+6=0平行的直线与曲线f(x)=lnx切于P(x0，lnx0)时，点P到直线x﹣ey+6=0的距离的最小，利用导数几何意义求得切点，结合点到直线距离公式即可求解结果；（2）依条件得a≥2lnx﹣x2+1在(0，+∞)上恒成立，令h(x)=2lnx﹣x2+1求导分析单调性，求出最大值即可得实数a的取值范围．【详解】解：（1）设与直线x﹣ey+6=0平行的直线与曲线f(x)=lnx切于P(x0，lnx0)，由f(x)=lnx，得，则，由，得x0=e，则切点P(e，1)，点P到直线x﹣ey+6=0的距离的最小值为；（2）f(x)≤(x2+a﹣1)恒成立，即a≥2lnx﹣x2+1在(0，+∞)上恒成立，令h(x)=2lnx﹣x2+1，则，当x∈(0，1)时，h′(x)>0，当x∈(1，+∞)时，h′(x)<0，∴h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，∴h(x)有最大值为h（1）=2ln1﹣12+1=0.∴实数a的取值范围是[0，+∞).【点睛】方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．21．已知椭圆的焦距为，且点在上.（1）求的方程；（2）若直线与相交于，两点，且线段被直线平分，求(为坐标原点)面积的最大值.【答案】（1）；（2）最大值为.【分析】（1）由题得，求出即可得出方程；（2）利用点差法可得，设出直线方程，与椭圆联立，利用弦长公式和点到直线距离公式即可表示出三角形面积，根据m的取值范围可求最值.【详解】解：（1）依题意可知，解得，故的方程为.（2）易得直线的方程为，设，，为的中点，其中，因为，在椭圆上，所以，两式相减可得.可设直线的方程为，联立，整理得，则，解得，则，，则，原点到直线的距离，则的面积.当且仅当，即时，的面积有最大值，且最大值为.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为形式；（5）代入韦达定理求解.22．在平面直角坐标系中，直线l的倾斜角为a，且过点P（0，﹣2），以直角坐标系的坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于不同的两点M，N，求|PM|+|PN|的最大值．【答案】（1）（x﹣2）2+y2＝4；（2）4．【分析】（1）根据将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）写出直线l的参数方程，代入曲线的直角坐标方程可得关于t的一元二次方程，根据直线参数的几何意义表示出|PM|+|PN|，利用三角函数的有界性求其最大值.【详解】（1）曲线