安徽省长丰县高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.1 函数的单调性与导数教案 新人教A版选修1-1

安徽省长丰县高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数教案新人教A版选修1-1学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容分析1.本节课的主要教学内容为安徽省长丰县高中数学第三章导数及其应用中的3.3.1节，即函数的单调性与导数。通过本节课的学习，学生将理解导数在研究函数单调性中的应用，掌握利用导数判断函数单调性的方法。

2.教学内容与学生已有知识的联系：在此之前，学生已经学习了导数的概念、计算法则以及导数的基本性质。在此基础上，本节课将引导学生将这些知识应用于研究函数的单调性，使学生能够将导数与函数的单调性建立联系，进一步深化对导数应用的理解。教学内容与课本紧密相关，旨在巩固和提高学生对导数及其应用的认识。核心素养目标培养学生逻辑推理、数学建模及数学抽象的核心素养。通过本节课学习，使学生能够运用导数分析函数单调性，提高问题解决能力；培养学生从具体实例中抽象出数学规律，形成数学模型的思维习惯；加强学生对导数概念及其应用的理解，提升数学逻辑推理能力，为后续学习打下坚实基础。学情分析本节课面向的是高中年级学生，他们已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力。在知识层面，学生掌握了导数的基本概念、计算法则以及导数的基本性质，但对于导数在研究函数单调性中的应用可能还较为陌生。在能力方面，学生的运算能力和逻辑推理能力较强，但将理论知识应用于解决实际问题的能力有待提高。在素质方面，学生具有较好的学习习惯和合作精神，能够积极参与课堂讨论。

然而，由于学生在以往的学习中可能更注重公式和定理的死记硬背，因此在将导数知识应用于研究函数单调性时可能会遇到困难。此外，部分学生可能对新知识接受速度较慢，需要更多时间消化和理解。这些因素将对本节课的学习产生影响。因此，在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，适当引导和鼓励，帮助他们克服困难，提高对导数在函数单调性研究中应用的认知。教学方法与手段1.教学方法：

(1)讲授法：系统讲解导数在研究函数单调性的原理和方法，为学生提供清晰的理论框架。

(2)讨论法：组织学生分组讨论具体函数的单调性问题，培养学生的合作能力和问题解决能力。

(3)案例教学法：通过分析典型例题，引导学生发现规律，提高学生的实际应用能力。

2.教学手段：

(1)多媒体设备：运用PPT等展示函数图像、导数变化等，使抽象概念形象化，便于学生理解。

(2)教学软件：利用数学软件进行函数图像绘制和导数计算，提高学生的实际操作能力。

(3)网络资源：提供相关学习资料和拓展阅读，引导学生课后自主学习和深入探究。教学过程首先，让我们一起来回顾一下导数的基本概念及其性质。导数可以描述函数在某一点的瞬时变化率，它反映了函数图像的局部特征。今天，我们将探讨如何利用导数来研究函数的单调性。

1.导入新课

（1）通过复习导数的定义和性质，引导学生思考：导数与函数的单调性之间是否存在某种联系？

（2）提出问题：如何利用导数来判断函数的单调性？

2.知识探究

（1）讲解导数与函数单调性的关系。

同学们，我们先来看一下函数f(x)在区间I上的单调性。如果对于任意的x1、x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)），那么我们称函数f(x)在区间I上是单调递增（或单调递减）。

现在，我们来探讨导数与函数单调性之间的关系。设有函数f(x)在区间I上有定义，且在I上可导。如果f'(x)>0（或f'(x)<0），那么f(x)在区间I上是单调递增（或单调递减）。

（2）实例分析

我们一起来看一个具体的例子：f(x)=x^2。求导得到f'(x)=2x。当x>0时，f'(x)>0；当x<0时，f'(x)<0。所以，f(x)在区间（0，+∞）上单调递增，在区间（-∞，0）上单调递减。

3.课堂练习

现在，请同学们尝试解决以下问题：

（1）判断函数f(x)=3x+2在实数范围内的单调性。

（2）判断函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1在区间（-∞，1）和（1，+∞）上的单调性。

4.小组讨论

请同学们分成小组，讨论以下问题：

（1）如何利用导数判断函数的单调性？

（2）在判断函数单调性时，需要注意哪些问题？

5.知识总结

（1）当f'(x)>0时，函数f(x)单调递增；当f'(x)<0时，函数f(x)单调递减。

（2）在判断函数单调性时，需要注意函数的定义域和导数的符号变化。

6.课后作业

请同学们完成以下课后作业：

（1）利用导数判断以下函数在给定区间上的单调性：

①f(x)=x^2-4x+3，区间（-∞，2）和（2，+∞）

②f(x)=2x^3-3x^2-12x+5，区间（-∞，2）和（2，+∞）

（2）思考：如何判断一个函数在给定区间上的单调性，当导数在该区间内恒大于0（或恒小于0）时？知识点梳理本节课我们主要学习了如何利用导数研究函数的单调性，以下是相关的知识点梳理：

1.导数的定义和性质

-导数表示函数在某一点的瞬时变化率。

-导数的计算法则：和、差、积、商的导数计算。

-基本函数的导数公式。

-导数的四则运算法则。

-导数的基本性质，如线性、乘积法则、商法则等。

2.函数的单调性

-单调性的定义：对于函数f(x)，若对于任意的x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)≤f(x2)（单调递增）或f(x1)≥f(x2)（单调递减），则称f(x)在某个区间上单调。

-单调性的判断方法：利用导数的符号判断。

-单调区间的确定：根据导数的符号变化确定函数的单调区间。

3.导数与函数单调性的关系

-若f'(x)>0，则f(x)在相应的区间上单调递增。

-若f'(x)<0，则f(x)在相应的区间上单调递减。

-若f'(x)=0，需要进一步分析确定单调性。

4.实例分析

-分析具体函数的导数与单调性的关系，如f(x)=x^2、f(x)=x^3-6x^2+9x+1等。

-通过绘制函数图像，观察导数与函数单调性的直观关系。

5.课堂练习和课后作业

-设计相关的练习题，如判断给定函数的单调性，应用导数公式和性质。

-完成课后作业，加深对导数与单调性关系的理解。

6.注意事项

-在判断函数单调性时，要注意函数的定义域。

-导数为0的点可能是函数的极值点，需要进一步分析。

-导数的符号变化是判断单调性的关键。板书设计①重点知识点：

-导数的定义与性质

-函数单调性的判断方法

-导数与单调性的关系

②重点词句：

-导数：瞬时变化率、局部特征

-单调性：f'(x)>0（递增）、f'(x)<0（递减）

-关系：导数符号决定单调性

③艺术性与趣味性：

-使用不同颜色粉笔突出导数的计算和单调性的判断。

-通过绘制函数图像，形象展示导数与单调性的关系。

-设计有趣的例子，如“爬坡”和“下坡”的比喻，增强学生对单调性的理解。

板书设计示例：

```

导数与函数单调性

一、导数定义与性质

-瞬时变化率

-局部特征

二、函数单调性判断

-f'(x)>0→单调递增

-f'(x)<0→单调递减

三、导数与单调性关系

-导数符号决定单调性

-极值点需进一步分析

四、实例分析

-f(x)=x^2

-f(x)=x^3-6x^2+9x+1

五、课堂练习

-判断给定函数单调性

```

这样的板书设计既清晰展示了本节课的重点知识点，又通过图像和比喻等趣味性元素，激发了学生的学习兴趣和主动性。重点题型整理1.求解函数的单调区间

题型：求解函数f(x)=x^3-3x^2-9x+5在实数范围内的单调区间。

解答：首先求导得到f'(x)=3x^2-6x-9。令f'(x)=0，解得x=-1和x=3。根据导数的符号变化，可以得到以下单调区间：

-当x<-1时，f'(x)>0，函数单调递增；

-当-1<x<3时，f'(x)<0，函数单调递减；

-当x>3时，f'(x)>0，函数单调递增。

2.判断函数的单调性

题型：判断函数f(x)=2x^3-3x^2-12x+5在区间（-∞，2）和（2，+∞）上的单调性。

解答：求导得到f'(x)=6x^2-6x-12。在区间（-∞，2）上，f'(x)>0，因此函数单调递增；在区间（2，+∞）上，f'(x)>0，函数仍然单调递增。

3.应用单调性求解不等式

题型：求解不等式2x^3-3x^2-12x+5>0的解集。

解答：根据函数f(x)=2x^3-3x^2-12x+5的单调性，我们可以知道：

-当x<-1时，f(x)<0；

-当-1<x<2时，f(x)>0；

-当x>2时，f(x)>0。

因此，不等式的解集为x<-1或x>2。

4.求解函数的极值点

题型：求解函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1的极值点。

解答：求导得到f'(x)=3x^2-12x+9。令f'(x)=0，解得x=1和x=3。通过二阶导数检验，可以得出：

-当x=1时，f(x)取得极大值；

-当x=3时，f(x)取得极小值。

5.利用单调性证明不等式

题型：利用函数的单调性证明不等式x^2+x+1>2x-1。

解答：考虑函数f(x)=x^2+x+1-(2x-1)。求导得到f'(x)=2x+1-2。在x>0时，f'(x)>0，说明f(x)在x>0时单调递增。因此，对于任意x>0，有f(x)>f(0)=1，即x^2+x+1>2x-1。

这些题型涵盖了导数与函数单调性的基本应用，通过具体的解题过程，学生可以更好地理解和掌握相关知识点。教学反思与总结在本次教学过程中，我采用了讲授、讨论和实例分析相结合的教学方法，旨在帮助学生理解导数与函数单调性的关系，并能够运用这一关系解决实际问题。通过教学，我发现以下几个方面值得反思：

1.教学方法的选择：在讲解导数与函数单调性的关系时，我采用了直观的图像和具体的例子来说明，使学生更容易理解。这种教学方法取得了较好的效果，但我也注意到，部分学生对导数的计算和应用仍存在困难，今后我需要更加关注这些学生的需求，适当调整教学策略。

2.课堂互动的引导：在讨论环节，我鼓励学生积极参与，提出自己的观点。然而，在实际操作中，我发现学生的参与度并不高，可能是因为我对问题的设置不够贴近学生的实际水平。为此，我将在今后的教学中，更加注重问题的设置，使之既能够激发学生的思考，又能够引导学生积极参与。

3.教学管理的把控：在教学过程中，我注意到部分学生的学习注意力不够集中，可能是由于课堂节奏过快，学生难以跟上。为了改善这一现象，我计划在今后的教学中，适当放慢课堂节奏，关注学生的反应，确保每位学生都能跟上教学进度。

在教学总结方面，本节课学生在知识、技能和情感态度方面取得了以下收获：

1.知识方面：学生掌握了导数与函数单调性的关系，能够运用导数判断函数的单调性，并解决一些实际问题。

2.技能方面：学生在课堂练习和课后作业中，提高了运算能力和逻辑推理能力，能够独立解决一些有关导数与函数单调性的问题。

3.情感态度方面：通过本节课的学习，学生对数学产生了更浓厚的兴趣，课堂参与度和合作精神有所提高。

针对教学中存在的问题和不足，我提出以下改进措施和建议：

1.针对学生的个体差异，设计不同难度的教学活动，使每位学生都能在课堂上得到有效的锻炼。

2.加强课堂互动，鼓励学生提问和发表观点，提高学生的参与度。

3.在教学过程中，关注学生的情感需求，激发学生的学习兴趣，培养良好的学习习惯。

4.课后及时了解学生的学习情况，对学生的疑问进行解答，帮助学生巩固所学知识。课堂1.课堂评价：

-通过提问，我发现大部分学生能够理解导数与函数单调性的关系，并能够运用这一关系解决一些基本问题。然而，部分学生对导数的计算和应用仍存在困难，需要我在今后的教学中更加关注他们的需求。

-通过观察，我发现学生的课堂参与度有待提高。在讨论环节，部分学生表现得较为被动，可能是因为我对问题的设置不够贴近学生的实际水平。为此，我计划在今后的教学中，更加注重问题的设置，使之既能够激发学生的思考，又能够引导学生积极参与。

-通过测试，我发现学生对导数与函数单调性的关系的理解程度较好，但在解决具体问题时，部分学生的运算能力和逻辑推理能力仍有待提高。为了改善这一现象，我计划在今后的教学中，适当放慢课堂节奏，关注学生的反应，确保每位学生都能跟上教学进度。

2.作业评价：

-我对学生的作业进行了认真批改和点评，并及时反馈了学生的学习效果。从作业中可以看出，大部分学生对导数与函数单调性的关系有了较好的理解，能够运用这一关系解决一些实际问题。然而，部分学生的作业中仍存在一些错误，主要是导数计算和单调性判断方面的错误。对于这些错误，我进行了详细的批改和点评，并鼓励学生继续努力，提