8.6.2直线与平面垂直第2课时课件高一下学期数学人教A版

8.6.2直线与平面垂直（2）一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α．垂足垂面垂线温故知新【回顾1】直线与平面垂直的定义？【回顾2】直线与平面垂直的判定定理？如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。下面我们研究直线与平面垂直的性质，即探究在直线a与平面α垂直的条件下能推出哪些结论．根据已有经验，我们可以探究直线a与平面α内的直线的关系．但由定义，a与α内的所有直线都垂直．所以可以探究a，α与其他直线或平面的关系．我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，在空间中是否有类似的性质呢?【探究】

（1）如图1，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，棱AA'，BB'，CC'，DD'所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系?

（2）如图2，已知直线a，b和平面α．如果a⊥α，b⊥α，那么直线a，b一定平行吗?图1bαa图2垂直于同一个平面的两条直线平行．互相平行证明：假设a与b不平行，记b∩α＝O．

过O作直线b′∥a，则b与b′是交于点O的两条不同的直线．

记b与b′确定的平面为β．

设α∩β＝c，则有a⊥c，b⊥c．

∵b′∥a，∴b′⊥c．

这与“平面β内，过一点O有且仅有一条直线与c垂直”相矛盾．

β直线与平面垂直的性质定理：

垂直于同一个平面的两条直线平行．【练】判断下列结论()()()()()√√√√√【总结】证明线面垂直的方法(1)由线线垂直证明线面垂直：①定义法(不常用)；②判定定理(最常用)，要着力寻找平面内的两条相交直线(有时需要作辅助线)，使它们与所给直线垂直.(2)平行转化法(利用推论)：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.【例1】在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.证明

∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，∴AE⊥AB，又AB∥CD，∴AE⊥CD.∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD.∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.【练】如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，a⊂α，a⊥AB.求证：a∥l.【总结】证明线线平行的常用方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点．(2)利用基本事实4：证两线同时平行于第三条直线．(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．【例2】如图，直线

l//α．求证：直线l上各点到平面α的距离相等．证明：过直线l上任意两点A，B，分别作平面α的垂线AA1，BB1，由直线和平面垂直的性质定理可知AA1∥BB1．设AA1和BB1确定的平面为β，易知α∩β＝A1B1．∵l∥α，

∴l∥A1B1．∴四边形AA1B1B为矩形．∴AA1＝BB1．垂足分别为A1，B1．因为直线A，B为直线l任意的两点，所以直线l上各点到平面α的距离相等．

一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.由上例我们还可以进一步得出，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.

例如：在棱柱、棱台的体积公式中，它们的高就是它们的上、下底面间的距离.【练习】正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为2，求平面BA'C'到平面ACD'的距离．

如图，一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足．

过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．平面的斜线斜足斜线在平面上的射影直线与平面所成的角直线与平面所成角直线与平面所成的角的取值范围

：

一条平面的斜线与所成的角θ的取值范围是0°<θ<90°；一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°；综上，直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°．【例3】在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求直线A'B和平面A'DCB'的所成的角．【变式】正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1

的中点.求D1E与平面ADE所成的角正弦值.

①定义法②等体积法

求斜线和平面所成的角的一般步骤：1．作：在斜线上选择恰当的一个点，作平面的垂线，确定垂足，连接斜足和垂足，得到斜线在平面内的射影，斜线和其射影所成的角，即为斜线和平面所成的角；2．证：证明(1)中所作出的角就是所求直线与平面所成的角；（注：关键证明线面垂直，即证得斜线在面内的射影）3．求：通过解三角形（通常是直角三角形），求出(1)中所作的角的大小．【练习1】（多选）过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC，则下列结论正确的有（

）

A．线段PA，PB，PC，PO中，线段PO最短；B．若PA=PB=PC，则OA=OB=OC；C．若OA=OB=OC，则PA=PB=PC；D．若PA=PB=PC，则PA，PB，PC和平面α所成的角相等．【性质】过平面外一点，作平面的垂线段和斜线段

（1）垂线段和斜线段中，垂线段最短；

（2）若斜线段长相等，则斜线在面内的射影长相等；

（3）若斜线在面内的射影长相等，则斜线段长相等．ABCD【变式1】过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC，1．若PA=PB=PC，则点O为△ABC的

心；2．若PA=PB=PC，∠C=90°，则点O是AB边的

点；3．若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O为△ABC的

心．外中垂【变式2】