12.3　角的平分线的性质　第1课时　角平分线的性质

第十二章全等三角形12.3角的平分线的性质第1课时角平分线的性质

知识点一尺规作图：作已知角的平分线1.

如图1，已知∠

ABC

，用尺规作它的平分线.如图2，步骤如下：第一步：以点

B

为圆心，以

a

为半径画弧，分别交射线

BA

，

BC

于点

D

，

E

；第二步：分别以点

D

，

E

为圆心，以

b

为半径画弧，两弧在∠

ABC

内部交于点

P

；第三步：画射线

BP

.

射线

BP

即为所求.123456789101112建议用时：30分钟A.

a

，

b

均无限制B.

a

＞0，

b

＞

DE

的长C.

射线

BP

为∠

ABC

平分线的依据是“ASA”D.

射线

BP

为∠

ABC

平分线的依据是“SAS”下列说法正确的是(

B

)B123456789101112知识点二角平分线的性质2.

如图，在Rt△

ABC

中，∠

B

＝90°，

AD

平分∠

BAC

，交

BC

于点

D

，

DE

⊥

AC

，

垂足为

E

，若

BD

＝3，则

DE

的长为(

A

)A.

3B.

C.

2D.

6A123456789101112

1

1234567891011124.

→T9(2024长沙宁乡期末)如图，

AD

为△

ABC

的角平分线，且

AB

＝3，

AC

＝5，则△

ABD

和△

ADC

的面积之比为

⁠.3∶5

1234567891011125.

如图，点

P

是∠

AOC

的平分线上一点，

PD

⊥

OA

，垂足为

D

，且

PD

＝3，点

M

是射线

OC

上一动点，则

PM

的最小值为

⁠.3

1234567891011126.

(教材P51习题T4改编)如图，在△

ABC

中，

AD

是它的角平分线，

DE

∥

AC

，

DF

∥

AB

.

求证：点

A

到

DE

和

DF

的距离相等.证明：∵

DE

∥

AC

，

DF

∥

AB

，∴∠

ADE

＝∠

FAD

，∠

ADF

＝∠

EAD

.

∵

AD

是∠

BAC

的平分线，∴∠

FAD

＝∠

EAD

，∴∠

ADE

＝∠

ADF

，即

DA

是∠

EDF

的平分线，∴点

A

到

DE

和

DF

的距离相等.123456789101112

7.

(2023芜湖南陵期末)如图，

OP

平分∠

AOB

，

PA

⊥

OA

，

PB

⊥

OB

，垂足分别为

A

，

B

.

下列结论中不一定成立的是(

D

)A.

PA

＝

PB

B.

PO

平分∠

APB

C.

OA

＝

OB

D.

AB

垂直平分

OP

D1234567891011128.

如图，已知在四边形

ABCD

中，∠

BCD

＝90°，

BD

平分∠

ABC

，

AB

＝6，

BC

＝

9，

CD

＝4，则四边形

ABCD

的面积是(

B

)A.

24B.

30C.

36D.

42B1234567891011129.

如图，△

ABC

中，

AD

是角平分线，

BE

是△

ABD

的中线，若△

ABC

的面积

是24，

AB

＝5，

AC

＝3，则△

ABE

的面积是(

C

)A.

15B.

12C.

7.5D.

6C12345678910111210.

(2024晋江期末)如图，在Rt△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，∠

ABC

的平分线

BD

交

AC

于点

D

，

DE

⊥

AB

，垂足为

E

，若

AB

＝10，

BC

＝6，

AC

＝8，则△

ADE

的周长

是

⁠.解析：∵

BD

是∠

ABC

的平分线，

DE

⊥

AB

，

DC

⊥

BC

，∴

DE

＝

CD

，∠

CBD

＝

∠

EBD

，∴

AD

＋

DE

＝

AD

＋

CD

＝

AC

＝8.∵∠

CBD

＝∠

EBD

，∠

C

＝∠

DEB

＝

90°，∴∠

CDB

＝∠

EDB

，∴

DB

平分∠

CDE

.

∵

BC

⊥

CD

，

BE

⊥

DE

，∴

BE

＝

BC

＝6，∴

AE

＝

AB

－

BE

＝10－6＝4，∴△

ADE

的周长＝

AD

＋

DE

＋

AE

＝8＋4＝12.12

12345678910111211.

如图，在Rt△

ABC

中，∠

A

＝90°，

AB

＝

AC

，按以下步骤作图：

22.5°

12345678910111212.

(2023聊城期末)如图，四边形

ABCD

中，∠

B

＝90°，

AB

∥

CD

，

M

为

BC

边上一

点，且

AM

平分∠

BAD

，

DM

平分∠

ADC

.

求证：(1)

AM

⊥

DM

；证明：(1)∵

AB

∥

CD

，∴∠

BAD

＋∠

ADC

＝180°.∵

AM

平分∠

BAD

，

DM

平分∠

ADC

，∴2∠

MAD

＋2∠

ADM

＝180°，∴∠

MAD

＋∠

ADM

＝90°，∴∠

AMD

＝90°，即

AM

⊥

DM

.

123456789101112(2)

M

为

BC

的中点.证明：(2)如图，作

MN

⊥

AD

于点

N

.

∵∠

B

＝90°，

AB

∥

CD

，∴

BM

⊥