弹性力学数值方法：混合元法在轴对称问题中的应用技术教程

弹性力学数值方法：混合元法在轴对称问题中的应用技术教程1弹性力学与数值方法简介弹性力学是研究物体在外力作用下变形和应力分布的学科，其核心是解决结构的强度、刚度和稳定性问题。在实际工程中，结构的形状和载荷条件往往复杂，解析解难以获得，这时就需要借助数值方法来求解。数值方法通过将连续问题离散化，转化为有限个未知数的代数方程组，从而可以利用计算机进行求解。常见的数值方法有有限差分法、有限元法、边界元法等，其中，有限元法因其灵活性和准确性，在工程计算中应用最为广泛。1.1混合元法的历史与发展混合元法是有限元法的一种，它在求解过程中同时考虑位移和应力（或应变）作为基本未知量，从而可以更直接地满足弹性力学的基本方程。混合元法的概念最早由Bubnov和Galerkin在20世纪初提出，但直到1960年代，随着计算机技术的发展，混合元法才开始在工程计算中得到广泛应用。混合元法的发展经历了从最初的线性混合元到后来的非线性混合元，从二维问题到三维问题，从静态问题到动态问题的不断拓展和完善。1.2轴对称问题的定义与重要性轴对称问题是指物体的几何形状、材料性质和载荷条件关于某一轴对称，且物体的变形和应力分布也关于该轴对称的问题。轴对称问题在工程中非常常见，如管道、圆柱体、旋转机械部件等。轴对称问题的求解可以大大简化计算，因为可以将三维问题转化为二维问题，从而减少计算量，提高计算效率。在轴对称问题中，通常只需要考虑径向和轴向的位移和应力，而周向的位移和应力由于对称性可以认为是零。2混合元法在轴对称问题中的应用混合元法在轴对称问题中的应用，主要是通过构建轴对称的有限元模型，同时考虑径向和轴向的位移和应力，来求解结构的变形和应力分布。下面通过一个具体的例子来说明混合元法在轴对称问题中的应用。假设我们有一个承受内压的圆柱形管道，其几何参数和材料参数如下：管道内径：D管道外径：D管道长度：L材料弹性模量：E材料泊松比：ν内压：p我们使用混合元法来求解管道在内压作用下的变形和应力分布。2.1构建轴对称有限元模型首先，我们需要构建轴对称的有限元模型。由于管道的轴对称性，我们只需要考虑管道的截面，将其离散化为有限个单元。每个单元内，我们同时考虑径向位移ur和轴向位移uz，以及相应的径向应力σr2.2混合元法的方程混合元法的方程基于弹性力学的基本方程，即平衡方程、本构方程和几何方程。在轴对称问题中，这些方程可以简化为：2.2.1平衡方程d2.2.2本构方程σ其中，ϵr和ϵ2.2.3几何方程ϵ2.3混合元法的求解步骤单元离散化：将管道截面离散化为有限个单元，每个单元内假设位移和应力的分布形式。单元方程建立：基于平衡方程、本构方程和几何方程，建立每个单元的方程。整体方程建立：将所有单元的方程组合起来，形成整体的方程组。边界条件施加：在内表面施加内压边界条件，在外表面和两端施加适当的边界条件。方程求解：利用数值方法（如迭代法或直接法）求解整体的方程组，得到每个单元的位移和应力。结果后处理：对求解得到的位移和应力进行后处理，如绘制变形图和应力分布图，分析结构的变形和应力状态。2.4代码示例下面是一个使用Python和FEniCS库构建轴对称混合元法模型的示例代码：fromfenicsimport*

importnumpyasnp

#定义几何参数和材料参数

D_i=100e-3

D_o=120e-3

L=1000e-3

E=200e9

nu=0.3

p=10e6

#创建轴对称的有限元网格

mesh=Mesh()

editor=MeshEditor()

editor.open(mesh,"interval",2)

editor.init_vertices(100)

R=np.linspace(D_i,D_o,100)

foriinrange(100):

editor.add_vertex(i,[R[i],0])

editor.close()

#定义位移和应力的有限元空间

V=VectorFunctionSpace(mesh,"Lagrange",1)

Q=FunctionSpace(mesh,"Lagrange",1)

W=V*Q

#定义边界条件

definner_boundary(x,on_boundary):

returnon_boundaryandnear(x[0],D_i)

defouter_boundary(x,on_boundary):

returnon_boundaryandnear(x[0],D_o)

bc_inner=DirichletBC(W.sub(0),Constant((0,0)),inner_boundary)

bc_outer=DirichletBC(W.sub(0),Constant((0,0)),outer_boundary)

#定义变分形式

(u,s)=TrialFunctions(W)

(v,t)=TestFunctions(W)

f=Constant((0,-p))

a=E*dot(grad(u),grad(v))*dx+E*dot(grad(s),grad(t))*dx

L=dot(f,v)*dx

#求解方程

w=Function(W)

solve(a==L,w,[bc_inner,bc_outer])

#分解位移和应力

(u,s)=w.split()

#绘制结果

plot(u)

plot(s)

interactive()这段代码首先定义了管道的几何参数和材料参数，然后创建了一个轴对称的有限元网格。接着，定义了位移和应力的有限元空间，以及边界条件。之后，定义了变分形式，即混合元法的方程。最后，求解方程并绘制结果。2.5结果分析通过上述代码，我们可以得到管道在内压作用下的径向位移和轴向位移，以及相应的径向应力和轴向应力。这些结果可以用于分析管道的变形和应力状态，判断管道是否满足强度和刚度要求，以及是否存在应力集中等问题。混合元法在轴对称问题中的应用，不仅可以提高计算效率，还可以更准确地反映结构的变形和应力状态，对于解决工程中的复杂轴对称问题具有重要的意义。3混合元法基础3.1混合元法的基本原理混合元法（MixedFiniteElementMethod）是一种在求解偏微分方程时，同时考虑位移和应力（或压力和速度等）作为独立变量的有限元方法。与传统的位移法相比，混合元法能够更准确地捕捉应力分布，尤其在处理轴对称问题时，其优势更为明显。混合元法的基本原理在于，它通过引入拉格朗日乘子（Lagrangemultiplier）或直接使用混合变量，将原问题转化为一个耦合的系统，从而在求解过程中同时满足平衡方程和本构关系。3.1.1位移混合元与应力混合元在混合元法中，根据主要考虑的变量不同，可以分为位移混合元和应力混合元。位移混合元主要关注位移的求解，而应力混合元则侧重于应力的精确计算。位移混合元通常用于结构力学问题，而应力混合元在流体力学和多孔介质流动问题中更为常见。3.1.2混合元法的数学基础混合元法的数学基础建立在变分原理和泛函分析上。考虑一个典型的弹性力学问题，其控制方程可以表示为：∇其中，σ是应力张量，f是体力，C是弹性系数矩阵，ϵ是应变张量，u是位移向量，Ω是求解域。混合元法通过引入辅助变量（如应变或压力），将上述方程组转化为一个混合形式的变分问题，然后通过有限元离散化求解。3.2位移混合元示例假设我们有一个轴对称的弹性问题，需要求解圆柱体在轴向力作用下的位移和应力分布。这里我们使用位移混合元法进行求解。3.2.1问题描述考虑一个半径为R，高度为H的圆柱体，其轴向受到均匀分布的力F。圆柱体的材料属性为弹性模量E和泊松比ν。边界条件为底部固定，顶部受力。3.2.2数学模型控制方程为轴对称弹性力学方程，可以简化为：∂其中，σr、σθ和σz分别是径向、环向和轴向应力；ur和3.2.3混合元法求解在混合元法中，我们引入应变作为辅助变量，将控制方程转化为：∇然后，使用有限元方法离散化上述方程组，得到一个线性代数方程组，通过求解该方程组得到位移和应力的数值解。3.2.4代码示例下面是一个使用Python和FEniCS求解上述轴对称问题的代码示例：fromfenicsimport*

#定义材料属性

E=1e5

nu=0.3

rho=1

g=10

F=Constant((0,-rho*g))

#定义几何参数

R=0.5

H=1.0

#创建网格

mesh=Mesh()

editor=MeshEditor()

editor.open(mesh,"interval",2)

editor.init_vertices(100)

editor.init_cells(99)

#填充网格

r=R/100

z=H/100

foriinrange(100):

editor.add_vertex(i,(r*i,z*i))

foriinrange(99):

editor.add_cell(i,(i,i+1))

editor.close()

#定义边界条件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant((0,0)),boundary)

#定义位移和应变的混合空间

V=VectorFunctionSpace(mesh,"Lagrange",1)

E=FunctionSpace(mesh,"Lagrange",1)

W=V*E

#定义位移和应变的测试函数和试函数

(u,e)=TrialFunctions(W)

(v,d)=TestFunctions(W)

#定义本构关系

defconstitutive(e):

returnas_tensor([[E/(1-nu**2)*(e[0,0]+nu*e[1,1]),E*nu/(1-nu**2)*e[0,1]],

[E*nu/(1-nu**2)*e[0,1],E/(1-nu**2)*(e[1,1]+nu*e[0,0])]])

#定义变分形式

a=inner(constitutive(e),d)*dx+inner(grad(u),grad(v))*dx

L=inner(F,v)*dx

#求解混合元法

w=Function(W)

solve(a==L,w,bc)

#分离位移和应变

(u,e)=w.split()

#计算应力

sigma=constitutive(e)

#输出结果

file=File("displacement.pvd")

file<<u

file=File("stress.pvd")

file<<sigma3.2.5代码解释上述代码首先定义了材料属性和几何参数，然后创建了一个轴对称的圆柱体网格。接着，定义了边界条件，位移和应变的混合空间，以及本构关系。通过定义变分形式，使用FEniCS的solve函数求解混合元法，最后分离位移和应变，计算应力，并将结果输出到.pvd文件中，以便于可视化。3.3结论混合元法在处理轴对称问题时，能够提供更精确的应力和位移分布，尤其适用于需要精确控制应力的工程应用。通过上述示例，我们可以看到混合元法在实际问题中的应用过程，以及如何使用FEniCS这样的工具进行求解。4轴对称问题的数学模型4.1轴对称问题的平衡方程在弹性力学中，轴对称问题是指结构的几何形状、载荷以及材料性质关于某一轴对称。这类问题在工程实践中非常常见，例如管道、圆柱体、轮毂等。轴对称问题的平衡方程描述了在对称轴方向上力的平衡条件。在极坐标系下，轴对称问题的平衡方程可以简化为：∂∂∂其中，σr、σθ、σz分别是径向、环向和轴向的正应力；τrθ、4.2几何方程与物理方程轴对称问题的几何方程描述了应变与位移之间的关系。在极坐标系下，几何方程可以表示为：ϵϵϵ其中，ur和uz物理方程，即胡克定律，描述了应力与应变之间的关系。对于各向同性材料，物理方程可以表示为：σσσ其中，E是弹性模量，ν是泊松比。4.3边界条件与初始条件轴对称问题的边界条件通常包括位移边界条件和应力边界条件。例如，对于一个承受内压的圆筒，其边界条件可以是：u其中，a和b分别是圆筒的内径和外径，p是内压。初始条件在动态问题中尤为重要，但在静态问题中通常可以忽略。例如，在动态轴对称问题中，初始条件可以是：u4.3.1示例：轴对称问题的有限元分析假设我们有一个承受内压的圆筒，其内径a=0.1m，外径b=0.2m，长度L=1m，材料的弹性模量importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定义材料参数

E=200e9#弹性模量

nu=0.3#泊松比

p=10e6#内压

#定义几何参数

a=0.1#内径

b=0.2#外径

L=1.0#长度

#定义网格参数

n_r=10#径向网格数

n_z=10#轴向网格数

#创建网格

r=np.linspace(a,b,n_r)

z=np.linspace(0,L,n_z)

R,Z=np.meshgrid(r,z)

#定义位移和应力的自由度

u_r=np.zeros((n_r,n_z))

u_z=np.zeros((n_r,n_z))

sigma_r=np.zeros((n_r,n_z))

sigma_z=np.zeros((n_r,n_z))

#定义刚度矩阵和载荷向量

K=lil_matrix((n_r*n_z*2,n_r*n_z*2))

F=np.zeros(n_r*n_z*2)

#填充刚度矩阵和载荷向量

foriinrange(n_r-1):

forjinrange(n_z-1):

#计算单元的几何参数

r1,r2=r[i],r[i+1]

z1,z2=z[j],z[j+1]

A=np.pi*(r2**2-r1**2)#单元面积

L=z2-z1#单元长度

#计算单元刚度矩阵

k=E/(1-nu**2)*np.array([[1,-1,0,0],

[-1,1,0,0],

[0,0,1,-1],

[0,0,-1,1]])*A/L

#将单元刚度矩阵添加到全局刚度矩阵中

K[i*n_z*2:(i+1)*n_z*2,i*n_z*2:(i+1)*n_z*2]+=k

K[(i+1)*n_z*2:(i+2)*n_z*2,(i+1)*n_z*2:(i+2)*n_z*2]+=k

#计算单元载荷向量

f=np.array([0,0,0,0])

ifi==0:

f[0]=-p*A

#将单元载荷向量添加到全局载荷向量中

F[i*n_z*2:(i+1)*n_z*2]+=f

F[(i+1)*n_z*2:(i+2)*n_z*2]+=f

#应用边界条件

foriinrange(n_r):

forjinrange(n_z):

ifi==0:

K[i*n_z*2:(i+1)*n_z*2,:]=0

K[:,i*n_z*2:(i+1)*n_z*2]=0

K[i*n_z*2,i*n_z*2]=1

K[i*n_z*2+1,i*n_z*2+1]=1

F[i*n_z*2:(i+1)*n_z*2]=0

ifj==0:

K[i*n_z*2:(i+1)*n_z*2,:]=0

K[:,i*n_z*2:(i+1)*n_z*2]=0

K[i*n_z*2,i*n_z*2]=1

K[i*n_z*2+1,i*n_z*2+1]=1

F[i*n_z*2:(i+1)*n_z*2]=0

#求解位移

U=spsolve(K.tocsr(),F)

#将位移向量转换为位移矩阵

u_r=U[::2].reshape((n_r,n_z))

u_z=U[1::2].reshape((n_r,n_z))

#计算应力

foriinrange(n_r-1):

forjinrange(n_z-1):

#计算单元应变

epsilon_r=(u_r[i+1,j]-u_r[i,j])/(r[i+1]-r[i])+u_r[i,j]/r[i]

epsilon_z=(u_z[i,j+1]-u_z[i,j])/(z[j+1]-z[j])

#计算单元应力

sigma_r[i,j]=E*(epsilon_r-nu*epsilon_z)

sigma_z[i,j]=E*(epsilon_z-nu*epsilon_r)

#输出结果

print("径向位移：")

print(u_r)

print("轴向位移：")

print(u_z)

print("径向应力：")

print(sigma_r)

print("轴向应力：")

print(sigma_z)在这个例子中，我们首先定义了材料和几何参数，然后创建了一个径向和轴向网格。接着，我们定义了位移和应力的自由度，并初始化了刚度矩阵和载荷向量。我们遍历每个单元，计算其刚度矩阵和载荷向量，并将它们添加到全局刚度矩阵和载荷向量中。然后，我们应用了边界条件，求解了位移向量，并将其转换为位移矩阵。最后，我们计算了应力，并输出了结果。请注意，这个例子仅用于说明轴对称问题的有限元分析过程，并没有考虑混合元法的特殊性。在实际应用中，混合元法通常需要引入额外的自由度，例如压力或剪应力，以提高解的精度。5混合元法在轴对称问题中的应用5.1轴对称问题的混合元法离散化在弹性力学中，轴对称问题是指结构关于某一轴对称，且所有载荷和边界条件也关于该轴对称。这类问题可以简化为二维问题进行分析，大大减少了计算量。混合元法（MixedFiniteElementMethod）在处理轴对称问题时，通过引入额外的未知量，如应力或位移的分量，来提高解的精度和稳定性。5.1.1离散化过程选择位移和应力的基函数：在混合元法中，位移和应力可以采用不同的基函数进行逼近，这有助于提高解的精度。建立弱形式：将弹性力学的微分方程转换为积分形式，即弱形式，以便于数值求解。应用Galerkin方法：通过将弱形式与位移和应力的基函数相乘，然后在问题域上积分，得到离散化的方程组。求解线性方程组：将离散化后的方程组转换为矩阵形式，然后使用数值方法求解。5.1.2示例假设我们有一个轴对称的圆柱体，受到内部压力的作用。我们使用混合元法对其进行离散化。importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定义问题的参数

radius=1.0#圆柱体的半径

length=2.0#圆柱体的长度

pressure=100.0#内部压力

#生成有限元网格

#假设我们使用了一个简单的网格，这里不展示网格生成的代码

#网格信息存储在nodes和elements中

nodes=np.array([[0.0,0.0],[0.5,0.0],[1.0,0.0],[0.0,1.0],[0.5,1.0],[1.0,1.0]])

elements=np.array([[0,1,4],[1,2,5],[0,4,3],[1,4,5]])

#定义位移和应力的基函数

#这里使用线性基函数进行简化

#实际应用中，基函数的选择会更复杂

u_basis=np.array([1,x,y])

sigma_basis=np.array([1,x,y])

#构建刚度矩阵和载荷向量

K=lil_matrix((len(nodes)*2,len(nodes)*2))

F=np.zeros(len(nodes)*2)

#遍历每个单元，计算单元刚度矩阵和载荷向量

foreleminelements:

#计算单元的几何信息和材料属性

#这里省略了具体的计算过程

#假设我们得到了单元的雅可比矩阵J和材料的弹性矩阵D

J=np.array([[1,0],[0,1]])

D=np.array([[1,0],[0,1]])

#计算单元的贡献

#这里使用了简化版的公式，实际应用中需要考虑更复杂的积分过程

K_elem=np.zeros((6,6))

F_elem=np.zeros(6)

#将单元的贡献添加到全局矩阵和向量中

foriinrange(3):

forjinrange(3):

K[2*elem[i]:2*elem[i]+2,2*elem[j]:2*elem[j]+2]+=K_elem[2*i:2*i+2,2*j:2*j+2]

F[2*elem[i]:2*elem[i]+2]+=F_elem[2*i:2*i+2]

#应用边界条件

#假设圆柱体的外边界固定，内边界受到压力

#这里省略了具体的边界条件应用过程

#求解线性方程组

u=spsolve(K.tocsc(),F)

#输出解

print("位移解：",u)5.2轴对称问题的有限元网格生成轴对称问题的有限元网格生成通常需要考虑对称轴的存在，网格应该沿着对称轴进行适当的划分，以确保计算的准确性和效率。5.2.1网格生成步骤确定问题域：对于轴对称问题，问题域通常是一个半圆或一个扇形。选择网格类型：可以是三角形网格、四边形网格等。划分网格：使用网格生成软件或自定义算法对问题域进行网格划分。检查网格质量：确保网格的形状和大小满足计算要求，避免出现过小或过大的单元。5.2.2示例使用Python的matplotlib.tri库生成一个简单的轴对称三角形网格。importmatplotlib.pyplotasplt

importmatplotlib.triastri

#定义问题域的边界点

x=np.array([0,1,1,0.5,0])

y=np.array([0,0,1,0.866,0])

#创建三角形网格

triang=tri.Triangulation(x,y)

#绘制网格

plt.triplot(triang)

plt.show()5.3轴对称问题的混合元法求解步骤混合元法求解轴对称问题的步骤与一般有限元法类似，但需要额外考虑应力和位移的耦合关系。5.3.1求解步骤离散化：将问题域离散化为有限个单元。建立方程组：根据混合元法的原理，建立包含位移和应力的方程组。求解：使用数值方法求解方程组，得到位移和应力的解。后处理：分析解的合理性，进行必要的后处理，如应力和位移的可视化。5.3.2示例假设我们已经得到了离散化后的方程组，现在使用Python的scipy库求解。importnumpyasnp

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#假设我们得到了离散化后的刚度矩阵K和载荷向量F

K=np.array([[4,1,0,0],[1,4,1,0],[0,1,4,1],[0,0,1,4]])

F=np.array([1,2,3,4])

#求解线性方程组

u=spsolve(K,F)

#输出解

print("位移解：",u)以上示例展示了如何使用混合元法处理轴对称问题，包括离散化过程、网格生成和求解步骤。在实际应用中，这些步骤会更加复杂，需要考虑更多的细节，如材料属性、边界条件和网格质量等。6案例分析与实践6.1轴对称梁的混合元法分析6.1.1原理在弹性力学中，轴对称问题是指结构的几何形状、材料性质和载荷分布关于某一轴对称。对于轴对称梁的分析，混合元法结合了位移和应力的直接求解，通过引入拉格朗日乘子来满足平衡条件和位移连续条件，从而提供更准确的应力和位移解。6.1.2内容考虑一个轴对称梁，其几何形状和载荷分布关于z轴对称。我们使用混合元法来分析其在轴向力和扭矩作用下的应力和位移。首先，建立轴对称梁的微分方程，然后使用混合元法进行离散化，最后通过求解线性方程组得到应力和位移的数值解。6.1.3示例假设我们有一个轴对称梁，其长度为1m，半径为0.1m，材料为钢，弹性模量为200GPa，泊松比为0.3。梁的一端固定，另一端受到轴向力10kN和扭矩5kNm的作用。我们使用混合元法来分析此梁的应力和位移。数据样例材料参数：弹性模量E=200G几何参数：长度L=1m载荷：轴向力F=10k代码示例#导入必要的库

importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定义材料参数

E=200e9#弹性模量，单位：Pa

nu=0.3#泊松比

#定义几何参数

L=1.0#梁的长度，单位：m

r=0.1#梁的半径，单位：m

#定义载荷

F=10e3#轴向力，单位：N

T=5e3#扭矩，单位：Nm

#定义网格参数

n=10#网格划分数量

#初始化矩阵和向量

K=lil_matrix((2*n,2*n),dtype=float)

F_vec=np.zeros(2*n)

#构建刚度矩阵和载荷向量

foriinrange(n):

forjinrange(n):

ifi==j:

K[i,i]+=E*np.pi*r**2/L#轴向刚度

K[i+n,i+n]+=G*np.pi*r**3/L#扭转刚度

else:

K[i,j]-=E*np.pi*r**2/L#轴向刚度

K[i+n,j+n]-=G*np.pi*r**3/L#扭转刚度

#应用边界条件

K[0,:]=0

K[0,0]=1

K[n,:]=0

K[n,n]=1

#应用载荷

F_vec[0]=F

F_vec[n]=T

#求解线性方程组

U=spsolve(K.tocsr(),F_vec)

#输出位移和应力

print("轴向位移：",U[:n])

print("扭转角：",U[n:])6.1.4描述上述代码示例中，我们首先定义了材料参数、几何参数和载荷。然后，我们初始化了刚度矩阵和载荷向量，并构建了刚度矩阵，考虑了轴向刚度和扭转刚度。接着，我们应用了边界条件，即梁的一端固定，另一端受到轴向力和扭矩的作用。最后，我们通过求解线性方程组得到了位移和应力的数值解。6.2轴对称压力容器的应力分析6.2.1原理轴对称压力容器的应力分析通常涉及内压和外压的作用，以及容器壁的厚度和材料性质。混合元法可以有效地处理这类问题，通过在容器壁上划分网格，求解每个网格单元的应力和位移，从而得到整个容器的应力分布。6.2.2内容考虑一个轴对称的压力容器，其内径为1m，外径为1.2m，壁厚为0.1m，材料为铝，弹性模量为70GPa，泊松比为0.33。容器内部受到1MPa的压力作用。我们使用混合元法来分析此容器的应力分布。6.2.3示例假设我们有一个轴对称的压力容器，其内径为1m，外径为1.2m，壁厚为0.1m，材料为铝，弹性模量为70GPa，泊松比为0.33。容器内部受到1MPa的压力作用。我们使用混合元法来分析此容器的应力分布。数据样例材料参数：弹性模量E=70G几何参数：内径Di=1m，外径载荷：内压p代码示例#导入必要的库

importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定义材料参数

E=70e9#弹性模量，单位：Pa

nu=0.33#泊松比

#定义几何参数

Di=1.0#内径，单位：m

Do=1.2#外径，单位：m

t=0.1#壁厚，单位：m

#定义载荷

p=1e6#内压，单位：Pa

#定义网格参数

n=10#网格划分数量

#初始化矩阵和向量

K=lil_matrix((2*n,2*n),dtype=float)

F_vec=np.zeros(2*n)

#构建刚度矩阵和载荷向量

foriinrange(n):

forjinrange(n):

ifi==j:

K[i,i]+=E*np.pi*(Do**2-Di**2)/(2*t*L)#径向刚度

K[i+n,i+n]+=E*np.pi*(Do**2-Di**2)/(2*t*L)#环向刚度

else:

K[i,j]-=E*np.pi*(Do**2-Di**2)/(2*t*L)#径向刚度

K[i+n,j+n]-=E*np.pi*(Do**2-Di**2)/(2*t*L)#环向刚度

#应用边界条件

K[0,:]=0

K[0,0]=1

K[n,:]=0

K[n,n]=1

#应用载荷

F_vec[0]=-p*np.pi*Di**2/4

F_vec[n]=p*np.pi*Do**2/4

#求解线性方程组

U=spsolve(K.tocsr(),F_vec)

#输出位移和应力

print("径向位移：",U[:n])

print("环向位移：",U[n:])6.2.4描述在代码示例中，我们首先定义了材料参数、几何参数和载荷。然后，我们初始化了刚度矩阵和载荷向量，并构建了刚度矩阵，考虑了径向刚度和环向刚度。接着，我们应用了边界条件，即容器两端的位移被固定。最后，我们通过求解线性方程组得到了位移和应力的数值解。6.3轴对称问题的数值模拟与结果验证6.3.1原理数值模拟是通过计算机程序来求解数学模型的过程，对于轴对称问题，我们可以通过混合元法建立数学模型，然后使用数值模拟软件（如Python的SciPy库）来求解。结果验证是通过比较数值解和理论解或实验数据来评估数值模拟的准确性。6.3.2内容在轴对称问题的数值模拟中，我们首先建立数学模型，然后使用混合元法进行离散化，最后通过数值模拟软件求解。结果验证通常包括比较数值解和理论解的差异，以及评估数值解的收敛性。6.3.3示例假设我们有一个轴对称的圆柱体，其长度为1m，半径为0.1m，材料为铜，弹性模量为120GPa，泊松比为0.34。圆柱体的一端受到轴向力10kN的作用，另一端固定。我们使用混合元法进行数值模拟，并与理论解进行比较。数据样例材料参数：弹性模量E=120G几何参数：长度L=1m载荷：轴向力F代码示例#导入必要的库

importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定义材料参数

E=120e9#弹性模量，单位：Pa

nu=0.34#泊松比

#定义几何参数

L=1.0#圆柱体的长度，单位：m

r=0.1#圆柱体的半径，单位：m

#定义载荷

F=10e3#轴向力，单位：N

#定义网格参数

n=10#网格划分数量

#初始化矩阵和向量

K=lil_matrix((2*n,2*n),dtype=float)

F_vec=np.zeros(2*n)

#构建刚度矩阵和载荷向量

foriinrange(n):

forjinrange(n):

ifi==j:

K[i,i]+=E*np.pi*r**2/L#轴向刚度

else:

K[i,j]-=E*np.pi*r**2/L#轴向刚度

#应用边界条件

K[0,:]=0

K[0,0]=1

K[n,:]=0

K[n,n]=1

#应用载荷

F_vec[0]=F

#求解线性方程组

U=spsolve(K.tocsr(),F_vec)

#输出位移和应力

print("轴向位移：",U[:n])

print("径向位移：",U[n:])6.3.4描述在代码示例中，我们首先定义了材料参数、几何参数和载荷。然后，我们初始化了刚度矩阵和载荷向量，并构建了刚度矩阵，考虑了轴向刚度。接着，我们应用了边界条件，即圆柱体的一端固定，另一端受到轴向力的作用。最后，我们通过求解线性方程组得到了位移的数值解，并与理论解进行比较，以验证数值模拟的准确性。注意：上述代码示例仅为简化版，实际应用中需要更复杂的网格划分和载荷分布处理。此外，结果验证通常需要更详细的分析，包括误差分析和收敛性测试。7混合元法的高级主题7.1非线性轴对称问题的混合元法处理7.1.1原理在处理非线性轴对称问题时，混合元法通过引入额外的未知量，如应力或应变，来改进标准有限元方法的性能。这种方法特别适用于解决材料非线性、几何非线性或边界条件非线性的问题。在轴对称条件下，问题可以简化到二维，但仍然保持非线性的复杂性。7.1.2内容对于非线性轴对称问题，混合元法的关键在于正确选择位移和应力的插值函数，以及有效地求解非线性方程组。在轴对称问题中，通常采用极坐标系r,θ，其中r是径向距离，θ示例假设我们有一个非线性轴对称圆柱体，受到径向压力作用。圆柱体的材料遵循vonMises屈服准则，其应力应变关系是非线性的。我们使用混合元法来求解此问题。importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

fromsympyimportsymbols,diff,lambdify

#定义材料参数

E,nu,sigma_y=200e9,0.3,200e6

#定义vonMises屈服准则的应力应变关系

defstress_strain_relation(epsilon):

sigma=symbols('sigma')

#应力应变关系的微分方程

eq=diff(sigma**3-3*E*nu*(sigma-sigma_y)*epsilon,sigma)

#求解微分方程

sigma_solution=lambdify(epsilon,solve(eq,sigma)[0])

returnsigma_solution(epsilon)

#定义有限元网格

n_elements=10

r=np.linspace(0,1,n_elements+1)

theta=np.linspace(0,2*np.pi,n_elements+1)

#构建混合元法的矩阵

K=lil_matrix((n_elements*2,n_elements*2))

F=np.zeros(n_elements*2)

#填充刚度矩阵和载荷向量

foriinrange(n_elements):

forjinrange(n_elements):

#计算积分

#这里省略了具体的积分计算，因为它们依赖于具体的形状函数和非线性关系

K[i,j]=0#假设值，实际应由积分计算得出

F[i]=0#假设值，实际应由积分计算得出

#应用边界条件

#这里省略了具体的边界条件应用，因为它们依赖于具体的问题设置

#求解非线性方程组

#使用Newton-Raphson方法迭代求解

u=np.zeros(n_elements*2)

foriterationinrange(100):

#计算残差

R=K.dot(u)-F

#计算Jacobian矩阵

J=K.copy()

#更新位移

du=spsolve(J,R)

u-=du

#检查收敛性

ifnp.linalg.norm(du)<1e-6:

break

#输出结果

print("最终位移:",u)7.1.3描述上述代码示例展示了如何使用混合元法处理一个非线性轴对称问题。首先，我们定义了材料参数和vonMises屈服准则下的应力应变关系。然后，我们创建了一个轴对称的有限元网格，并构建了混合元法的刚度矩阵和载荷向量。通过迭代求解，我们使用Newton-Raphson方法更新位移，直到满足收敛条件。7.2轴对称问题的自适应混合元法7.2.1原理自适应混合元法在轴对称问题中的应用，主要通过动态调整网格和插值函数的精度来提高计算效率和准确性。这种方法基于误差估计，自动识别需要细化网格的区域，从而在保持整体计算成本的同时，提高局部解的精度。7.2.2内容自适应混合元法的关键在于误差估计和网格细化策略。误差估计通常基于后验误差指标，如残差或位移的梯度。网格细化策略可以是局部的，仅在误差较大的区域进行细化，也可以是全局的，但通常成本更高。示例假设我们正在解决一个轴对称的热弹性问题，其中温度分布是非均匀的，导致材料属性变化，从而影响应力分布。我们使用自适应混合元法来求解此问题。importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

fromerpolateimportinterp1d

#定义材料参数

E,nu=200e9,0.3

#定义温度分布

deftemperature_distribution(r):

return100*(1-r**2)

#定义有限元网格

n_elements=10

r=np.linspace(0,1,n_elements+1)

#构建混合元法的矩阵

K=lil_matrix((n_elements*2,n_elements*2))

F=np.zeros(n_elements*2)

#填充刚度矩阵和载荷向量

foriinrange(n_elements):

forjinrange(n_elements):

#计算积分

#这里省略了具体的积分计算，因为它们依赖于具体的形状函数和非线性关系

K[i,j]=0#假设值，实际应由积分计算得出

F[i]=0#假设值，实际应由积分计算得出

#应用边界条件

#这里省略了具体的边界条件应用，因为它们依赖于具体的问题设置

#求解线性方程组

u=spsolve(K,F)

#误差估计

#假设我们使用位移的梯度作为误差指标

du_dr=interp1d(r,u,kind='cubic',fill_value="extrapolate")

error=np.abs(du_dr(r)-du_dr(r[:-1]))

#网格细化

#基于误差估计，我们细化误差较大的区域

threshold=np.mean(error)+np.std(error)

r_new=[]

foriinrange(len(r)-1):

iferror[i]>threshold:

r_new.extend(np.linspace(r[i],r[i+1],5))

else:

r_new.append(r[i])

r_new.append(r[-1])

#重复计算过程

#使用新的网格重新构建矩阵和向量，然后求解

#这里省略了重复计算的代码，因为它与初始计算类似7.2.3描述在上述示例中，我们首先定义了温度分布和材料参数。然后，我们创建了一个初始的有限元网格，并构建了混合元法的刚度矩阵和载荷向量。求解线性方程组后，我们使用位移的梯度作为误差指标进行误差估计。基于误差估计，我们细化了误差较大的区域，从而提高了局部解的精度。最后，我们使用新的网格重复计算过程，以获得更准确的解。7.3混合元法与其他数值方法的结合7.3.1原理混合元法可以与其他数值方法结合使用，以解决更复杂的问题。例如，与有限体积法结合可以更好地处理流体-结构相互作用问题；与边界元法结合可以简化无限域或半无限域的计算；与谱元法结合可以提高计算精度，尤其是在高阶插值函数的应用中。7.3.2内容结合其他数值方法时，混合元法的位移和应力插值函数可以与目标方法的特性相匹配，以优化计算效率和准确性。例如，当与边界元法结合时，混合元法可以用于内部区域的计算，而边界元法则用于处理边界条件，从而避免了无限域的直接离散。示例假设我们正在解决一个轴对称的流体-结构相互作用问题，其中结构的变形影响流体的流动，反之亦然。我们使用混合元法与有限体积法结合来求解此问题。importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

fromegrateimportquad

#定义材料参数和流体参数

E,nu,rho,mu=200e9,0.3,1000,0.001

#定义有限元网格和有限体积网格

n_elements=10

r=np.linspace(0,1,n_elements+1)

theta=np.linspace(0,2*np.pi,n_elements+1)

volumes=np.linspace(0,1,n_elements*2+1)

#构建混合元法的矩阵

K=lil_matrix((n_elements*2,n_elements*2))

F=np.zeros(n_elements*2)

#构建有限体积法的矩阵

A=lil_matrix((n_elements*2,n_elements*2))

b=np.zeros(n_elements*2)

#填充刚度矩阵和载荷向量

foriinrange(n_elements):

forjinrange(n_elements):

#计算积分

#这里省略了具体的积分计算，因为它们依赖于具体的形状函数和非线性关系

K[i,j]=0#假设值，实际应由积分计算得出

F[i]=0#假设值，实际应由积分计算得出

#填充流体流动的矩阵

foriinrange(n_elements*2):

forjinrange(n_elements*2):

#计算积分

#这里省略了具体的积分计算，因为它们依赖于具体的流体动力学方程

A[i,j]=0#假设值，实际应由积分计算得出

b[i]=0#假设值，实际应由积分计算得出

#应用边界条件

#这里省略了具体的边界条件应用，因为它们依赖于具体的问题设置

#求解结构变形

u=spsolve(K,F)

#更新流体流动的矩阵和向量

#基于结构变形更新流体域的几何形状

#这里省略了更新的代码，因为它依赖于具体的流体动力学方程

#求解流体流动

v=spsolve(A,b)

#输出结果

print("结构位移:",u)

print("流体速度:",v)7.3.3描述在上述示例中，我们首先定义了材料参数和流体参数。然后，我们创建了有限元网格和有限体积网格，分别用于结构和流体的计算。我们构建了混合元法的刚度矩阵和载荷向量，以及有限体