2020年四川省内江市(初三学业水平考试)中考数学真题试卷含详解

内江市2020年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试试卷

数学试卷

A卷（共100分）

注意事项：

1、答题前，考生务必将将自己的姓名、学号、班级等填写好.

2、答A卷时，每小题选出答案后，用钢笔或水笔把答案直接填写在对应题目的后面括号.

第I卷（选择题共36分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.）

L万的倒数是（）

A.2B.-2C.—D.

2

2,下列四个数中，最小的数是（）

1

A.0B.----------C.5D.-1

2020

3,下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是()

（Q）B@C©。

4.如图，已知直线a//。，4=50°,则N2的度数为（）

A.140°B.130°C.50°D.40°

5.小明参加学校举行的“保护环境”主题演讲比赛，五位评委给出的评分分别为：90,85,80,90,95,则这组数据

的中位数和众数分别是（）

A.80,90B.90,90C.90,85D.9'0,95

6.将直线y=-2%-1向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（)

A.y——2x—5B.y=-lx—3C.y=—2x+1D.y=—2x+3

7.如图，在AABC中，。、E分别是A3和AC的中点，S四边形叱即=15,则8必区=(

A.30B.25C.22.5D.20

8.如图，点A、B、。、。在。。上，NAOC=120。，点3是AC的中点，则的度数是()

9.如图，点A是反比例函数y="图象上的一点，过点A作AC_Lx轴，垂足为点C。为AC的中点，若AAQD

X

的面积为1,则上的值为()

A.—B.-C.3D.4

33

io.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托.折回索子

却量竿，却比竿子短一托.”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对

半折后再去量竿，就比竿短5尺.设绳索长x尺.则符合题意的方程是()

A.—%——5)—5B.5元=(%+5)+5

C.2x=(x-5)-5D.2x=(x+5)+5

11.如图，矩形ABC。中，BO为对角线，将矩形A8CD沿8£、族所在直线折叠，使点A落在3。上的点M处,

点。落在上的点N处，连结跖.已知AB=3,BC=4,则成的长为()

5V13

A.3B.5D.V13

6

12.在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线y=/x+2/+2（z>0）与两坐标轴

围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，贝h的取值范围是（）

1°1,

A.-<t<2B.-<t<\

22

C.1<Z<2D.

2

第II卷（非选择题共64分）

注意事项：

1、第II卷共4页，用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上.

2、答题前将密封线内的项目填写清楚.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.函数y=——中，自变量x的取值范围是

2x-4一

14.2020年6月23日9时43分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射北斗系统第五十五颗

导航卫星，标志着北斗三号卫星导航定位系统正式建成.根据最新数据，目前兼容北斗的终端产品至少有7亿台，

其中7亿用科学记数法表示为

15.已知关于x的一元二次方程（机—1）2尤2+3〃a+3=0有一实数根为—1,则该方程的另一个实数根为

16.如图，在矩形ABC。中，BC=10,NABD=30°,若点M、N分别是线段上的两个动点，则AM+AGV

的最小值为.

&后

三、解答题（本大题共5小题，共44分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤）

17.计算：1_；）-|-2|+4sin60o-712+（Tr-3）°

18.如图，点C,E,F,8在同一直线上，点A,。在异侧，AB//CD,AE=DF,ZA=ZD.

（1）求证：AB=CD；

（2）若AB=CF,ZB=40°,求ND度数.

19.我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、。四个等级，并将结果绘制成如图

所示的条形统计图和扇形统计图.请你根据统计图解答下列问题.

（1）成绩为％等级”学生人数有名；

（2）在扇形统计图中，表示"O等级''的扇形的圆心角度数为一,图中机的值为—；

（3）学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生中选出2名去参加市中学生知识竞赛.已知“A等级”中有1名女生，

请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率.

20.为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理.如图，正在执行巡航任务的海监船以每

小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，海监船继续向东航行1小时到达B

处，此时测得灯塔P在北偏东30。方向上.

（1）求8处到灯塔尸的距离；

（2）已知灯塔尸的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？

21.如图，是。。的直径，C是。。上一点，BC于点D,过点C作。。的切线，交。。的延长线于点£,

连结BE.

（1）求证：8E是。。的切线；

（2）设OE交。。于点尸，若DR=2,5c=46，求线段EF的长；

（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积.

B卷（共60分）

四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分.）

22.分解因式：—*-12=

y-3y+l>13

23.若数。使关于x的分式方程9+―吼=3的解为非负数，且使关于y的不等式组-<47一—五的解

x-11-x2（y-Q）<0

集为y<0,则符合条件的所有整数”的积为

24.如图，在平面直角坐标系中，点A（-2,0）,直线/：y=3x+且与X轴交于点伉以为边作等边AA网,

-33

过点4作A与//x轴，交直线/于点与，以4片为边作等边AA44,过点4作4名//%轴，交直线/于点当，

以儿与为边作等边以此类推……，则点4020纵坐标是

25.已知抛物线%=-炉+4%（如图）和直线%=2x+b.我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别

为力和%.若丁伊为，取为和当中较大者为M；若％=%，记M=%=>2.①当尤=2时，M的最大值为4；

②当匕=一3时，使”>%的x的取值范围是-l<x<3；③当8=—5时，使M=3的尤的值是占=1,%=3；

④当匕21时，M随x的增大而增大.上述结论正确的是（填写所有正确结论的序号）

y

五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）

26.我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：%=^X"（犯”是正整数，且加<〃），在x的所有这

种分解中，如果犯”两因数之差的绝对值最小，我们就称冽X〃是X的最佳分解.并规定：/（x）=-.

n

例如：18可以分解成1x18,2x9或3x6,因为18-1>9一2>6—3,所以3x6是18的最佳分解，所以

（1）填空：/（6）=；/（9）=；

（2）一个两位正整数I（/=10。+〃，l<a<b<9,a,b为正整数），交换其个位上数字与十位上的数字得到

的新数减去原数所得的差为54,求出所有的两位正整数；并求的最大值；

⑶填空：

①/（22X3X5X7）=;

②/Q3X3X5X7）=;

③/（24X3X5X7）=;

@/（25X3X5X7）=.

27.如图，正方形A8CQ中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连结8尸，将3尸绕点8顺时针旋转90°

到80,连结QP交于点£QP延长线与边交于点尸.

（1）连结CQ,求证：AP=CQ；

（2）若AP=』AC,求CE:3c的值；

（3）求证：PF=EQ

/J〉Q

/ELx/

I/

28.如图，抛物线y=以2+6x+c经过A（-1,0）、B（4,0）、C（0,2）三点，点。（x,y）为抛物线上第一象

限内的一个动点.

（1）求抛物线所对应的函数表达式；

（2）当A6CD的面积为3时，求点。的坐标；

（3）过点。作DELBC,垂足为点E,是否存在点。使得ACDE中某个角等于NABC的2倍？若存在，求

点D的横坐标；若不存在，请说明理由.

内江市2020年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试试卷

数学试卷

A卷（共100分）

注意事项：

1、答题前，考生务必将将自己的姓名、学号、班级等填写好.

2、答A卷时，每小题选出答案后，用钢笔或水笔把答案直接填写在对应题目的后面括号.

第I卷（选择题共36分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.）

1.3的倒数是（）

2

、、11

A.2B.一二C.—D.----

22

【答案】A

【分析】

根据乘积是1的两个数叫做互为倒数，求解.

【详解】解：V1x2=1

2

/.3的倒数是2

故选：A.

【点睛】本题考查倒数的概念，掌握概念正确计算是解题关键.

2.下列四个数中，最小的数是（）

【答案】D

分析】

先根据有理数的大小比较法则比较大小，即可得出选项.

【详解】：-1<———<0<5

2020

最小的数是—1,

故选：D.

【点睛】本题考查了有理数的大小比较，其方法如下：（1）负数＜0（正数；（2）两个负数，绝对值大的反而小.

3.下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）

【答案】B

由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180。后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图

形”分析可知，上述图形中，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形.

故选B.

4.如图，已知直线a//。，Zl=50°,则N2的度数为（)

B.130°C.50°D.40°

【答案】B

【分析】

利用平行线的性质即可解决问题.

【详解】如图，：a〃b,

：.Z1=Z3=50°,

.\Z2=180°-50°=130°,

故选：B.

【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

5.小明参加学校举行的“保护环境”主题演讲比赛，五位评委给出的评分分别为：90,85,80,90,95,则这组数据

的中位数和众数分别是（）

A.80,90B.90,90C.90,85D.90,95

【答案】B

【分析】

根据中位数、众数的定义即可求解.

【详解】把分数从小到大排列为:80,85,90,90,95

故中位数为90,众数为90

故选B.

【点睛】此题主要考查中位数、众数，解题的关键是熟知中位数、众数的定义.

6.将直线y=-2%-1向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（）

A.y=-2x-5B.y=-2x-3C.y=-2x+\D.y=-2x+3

【答案】c

【分析】

向上平移时，k的值不变，只有b发生变化.

【详解】解：原直线的k=-2,b=-l；向上平移两个单位得到了新直线，

那么新直线的k=-2,b=-1+2=1.

新直线的解析式为y=-2x+l.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了一次函数图象的变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k和b的值发生变化.

7.如图，在AABC中，。、E分别是A8和AC的中点，S四边形BCEO=15,则％BC=（）

A.30B.25C.22.5D.20

【答案】D

【分析】

首先判断出△ADEs^ABC,然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出AABC的面积.

［详解】解根据题意，点D和点E分别是AB和AC的中点，则DE〃BC且DE=工BC,故可以判断出AADE-AABC,

2

根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知5AA瓦：5AABC=1：4,贝IJS四边形BCED:5AAsc=3：4,题中已知

S四边形BCED=15,故可得^AAD£=5,S^BC-20

故本题选择D

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出DE是中位线，从而判断△ADEs^ABC,

然后掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解本题.

8.如图，点A、B、C、。在。。上，NAOC=120。，点B是AC的中点，则ND的度数是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】A

【分析】

根据圆心角、弧、弦的关系定理得到NAOB=工/AOC,再根据圆周角定理解答.

2

【详解】连接OB,

,点B是AC的中点，

/.ZAOB=—ZAOC=60°,

2

由圆周角定理得，ZD=-ZAOB=30°,

2

故选：A.

【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角

相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键.

9.如图，点A是反比例函数y=月图象上的一点，过点4作4。_1_兀轴，垂足为点C,。为AC的中点，若AAOZ）

x

的面积为1,则上的值为（）

8

A.-B.-C.3D.4

33

【答案】D

【分析】

先设出点A的坐标，进而表示出点D的坐标，利用AADO的面积建立方程求出租〃=2,即可得出结论.

【详解】点A的坐标为（in,2n）,

:.2mn=k,

：D为AC的中点,

/.D(m,n),

：AC_LX轴，△ADO的面积为1,

S池。=~ADOC=g(2〃一“)•7〃=；mn=1,

mn=2,

k=2nm=4,

故选：D.

【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意,

找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答.

10.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托.折回索子

却量竿，却比竿子短一托.”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对

半折后再去量竿，就比竿短5尺.设绳索长x尺.则符合题意的方程是（）

A.—x=—5)—5B.gX=(x+5)+5

C.2x=(x-5)-5D.2%=(%+5)+5

【答案】A

【分析】

设索为X尺，杆子为（X-5）尺，则根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于X一元一次方

程.

【详解】设索为X尺，杆子为(x—5)尺，

根据题意得:^-x=(x—5)-5.

故选：A.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键.

11.如图，矩形ABCD中，89为对角线，将矩形ABC。沿8E、8尸所在直线折叠，使点A落在8。上的点M处,

点C落在8。上的点N处，连结.已知AB=3,BC=4,则的长为()

「5713

A.3B.5V/.--------D.V13

6

【答案】c

【分析】

由矩形的性质和已知求出BD=5,根据折叠的性质得△ABE0ZXMBE,设AE的长度为x,在RtaEMD中，由勾股

定理求出DE的长度，同理在RtADNF中求出DF的长度，在RtADEF中利用勾股定理即可求出EF的长度.

【详解】解：：四边形ABCD是矩形，AB=3,BC=4,

.-.BD=732+42=5.

设AE的长度为x,

由折叠可得：△ABEgZXMBE,

；.EM=AE=x,DE=4-x,BM=AB=3,DM=5-3=2,

在RtZ\EMD中，EM2+DM2=DE2,

x2+22-(4-x)2,

加，曰335

解得：x=—,ED=4--=一,

222

设CF的长度为y,

由折叠可得：△CBF0ZVNBF,

；.NF=CF=y,DF=3-y,BN=BC=4,DN=5-4=1,

在RtZXDNF中，DN?+NF2=DF2,

/.y2+l2=(3-y)2,

445

解得：x=—,DF=3--=—,

333

在RtADEF中,

EF=阮一=看］空

故答案为：C.

【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质和勾股定理，运用勾股定理求出DE和DF

的长度是解题的关键.

12.在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线丁=比+2/+2（/>0）与两坐标轴

围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则r的取值范围是（）

11

A.-<t<2B.-<r<l

22

Cl<t<2D.且twl

2

【答案】D

【分析】

画出函数图象，利用图象可得t的取值范围.

【详解】：y=）+2/+2,

2

当y=0时，x=—2---；当x=0时，y=2t+2,

2

・•・直线丁=比+2，+2与x轴的交点坐标为（—20）,与y轴的交点坐标为（0,2t+2）,

Vt>0,

2t+2>2,

12

当1=一时，2t+2=3,此时一2——=-6,由图象知：直线y=/x+2f+2（z>0）与两坐标轴围成的三角形区域（不

2t

含边界）中有且只有四个整点，如图1,

2

当t=2时，2t+2=6,此时—2——=-3,由图象知：直线丁=比+2,+2（/>0）与两坐标轴围成的三角形区域（不

t

含边界）中有且只有四个整点，如图2,

2

当t=l时，2t+2=4,—2——=4由图象知：直线丁=比+2,+2（z>0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边

t

界）中有且只有三个整点，如图3,

一VfW2且//1,

2

故选：D.

【点睛】此题考查一次函数的图象的性质，一次函数图象与坐标轴交点坐标，根据t的值正确画出图象理解题意是

解题的关键.

第n卷（非选择题共64分）

注意事项：

1、第n卷共4页，用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上.

2、答题前将密封线内的项目填写清楚.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.函数y=--—中，自变量x的取值范围是.

2x-4

【答案】XH2

【详解】根据函数可知：2x—4/0,解得：.

故答案为：x#2.

14,2020年6月23日9时43分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射北斗系统第五十五颗

导航卫星，标志着北斗三号卫星导航定位系统正式建成.根据最新数据，目前兼容北斗终端产品至少有7亿台，

其中7亿用科学记数法表示为

【答案】7x108

【分析】

科学记数法的表示形式为：axlO",其中1W1。1<10,n为整数，确定a值和n值即可解答.

【详解】7亿=700000000=7xl08,

故答案为：7x108

【点睛】此题考查科学记数法的表示，正确确定a的值和n的值是解答的关键.

15.已知关于尤的一元二次方程V+3〃a+3=0有一实数根为—1,则该方程的另一个实数根为

【答案】—

【分析】

根据一元二次方程的解的定义把X=-1代入原方程得到关于m的一元二次方程，解得m的值，然后根据一元二次方

程的定义确定m的值.

【详解】解：把x=-l代入尤2+3〃a+3=0得m2-5m+4=0,解得mi=l,m2=4,

V(m-l)VO,

二.mw1.

m=4.

・\方程为9X2+12X+3=0.

3

设另一个根为a,贝卜.

9

1

a=--.

3

故答案为:.

3

【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因

为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.也考查了

一元二次方程的定义.

16.如图，在矩形ABC。中，BC=10,NABD=30°,若点M、N分别是线段。上的两个动点，则AM+AGV

的最小值为.

---------------

/:

了■*外」

f趣高

【答案】15.

【分析】

如图，过A作AG_L于G,延长AG,使AG=EG,过E作硒，于N,交友)于M,则AM+"N=印

最短，再利用矩形的性质与锐角三角函数求解EN即可得到答案.

【详解】解：如图，过A作于G,延长AG,使AG=EG,过E作石于N,交于

则AM+W=E7V最短,

四边形ABC。为矩形，BC=1Q,ZABD=3Q°,

AD=10,BD=20,AB=BD»cos30°=1073,

AG»BD=AD»AB,

.•.20AG=10x106，

AG=56AE=2AG=loA

AE±BD,EN±AB,ZEMG=ZBMN,

ZE=ZABD=3Q°,

EN=AE・cos30°=10石x#=15,

:.AM+MN=15,

即40+MN的最小值为15.

故答案为：15.

【点睛】本题考查的是矩形的性质，锐角三角函数的应用，同时考查利用轴对称与垂线段最短求线段和的最小值问

题，掌握以上知识是解题的关键.

三、解答题（本大题共5小题，共44分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤）

17.计算-|-2|+4sin6O°-V12+(^-3)0

【答案】-3

【分析】

根据负整数指数鬲、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式和零次鬲的运算法则分别对每项进行化简，再进行加

减计算即可.

【详解】解：-2+4sin60°厄+(乃-3)°

=-2-2+2百-2月+1

=-3

【点睛】本题考查实数的混合运算、熟练掌握负整数指数骞、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式和零次骞的

运算法则是解题的关键.

18.如图，点C,E,F,8在同一直线上，点A,。在8C异侧，AB//CD,AE=DF,/A=ND.

(1)求证：AB=CD；

(2)若=ZB=40°,求/。的度数.

【答案】⑴AB=CD(2)70°

【分析】

(1)根据平行线的性质求出/B=/C,根据AAS推出△ABEgACDF,根据全等三角形的性质得出即可；

(2)根据全等得出AB=CD,BE=CF,ZB=ZC,求出CF=CD,推出ND=/CFE,即可求出答案.

【详解】(1)证明：：AB〃CD,

ZB=ZC,

在AABE和ACDF中，

ZB=ZC,AE=DF,ZA=ZD.

AAAEB^ADFC.

.1.AB=CD.

(2)VAB=CD,

AB=CF,

；.CD=CF,

VZB=ZC=40°,

.,.ZD=(180°-40°)-2=70°.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，能根据全等三角形的判

定求出AABEg^CDF是解此题的关键.

19.我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、。四个等级，并将结果绘制成如图

所示的条形统计图和扇形统计图.请你根据统计图解答下列问题.

A碗

（1）成绩为“8等级”的学生人数有名；

（2）在扇形统计图中，表示“。等级”的扇形的圆心角度数为图中根的值为―；

（3）学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生中选出2名去参加市中学生知识竞赛.已知“A等级”中有1名女生,

请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率.

2

【答案】⑴5（2）72°；40（3）-

3

【分析】

（1）先根据“A等级”的人数及占比求出学生总人数，再减去各组人数即可求出成绩为“3等级”的学生人数；

（2）根据“。等级”的占比即可求出其圆心角度数，根据“C等级”的人数即可求出m的值；

（3）根据题意画树状图，再根据概率公式即可求解.

【详解】（1）学生总人数为3・15%=20（人）

成绩为“3等级”的学生人数有20-3-8-4=5（人）

故答案为：5；

4

⑵“。等级”的扇形的圆心角度数为一x360。=72°

20

Q

m=——xl00=40,

20

故答案为：72°；40；

（3）根据题意画树状图如下：

42

...P（女生被选中）=-=--

63

【点睛】此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是根据题意求出学生总人数及概率的求解方法.

20.为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理.如图，正在执行巡航任务的海监船以每

小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60。方向上，海监船继续向东航行1小时到达8

处，此时测得灯塔P在北偏东30。方向上.

（1）求8处到灯塔尸的距离；

（2）已知灯塔尸的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？

【答案】（1）8处到灯塔P的距离为60海里；（2）海监船继续向正东方向航行是安全的

【分析】

（1）作PDLAB于D.求出/PAB、/PBA、NP的度数，证得aABP为等腰三角形，即可解决问题；

（2）在RtZVPBD中，解直角三角形求出PD的值即可判定.

【详解】⑴过点P作PDLAB于点D,

由题意得，AB=60（海里），ZPAB=30°,ZPBD=60°,

ZAPB=ZPBD-ZPAB=60°-30°=30°=ZPAB,

；.PB=AB=60（海里），

答：B处到灯塔P的距离为60海里；

（2）由（1）可知NAPB=NPAB=30。,

.•.PB=AB=60（海里）

在RtAPBD中,

PD=BPsin60°=60x（海里）,

3073>50,

...海监船继续向正东方向航行是安全的.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三

角函数的概念是解题的关键.

21.如图，AB是。。的直径，C是。。上一点，0。八BC于点D,过点C作。。的切线，交。。的延长线于点E,

连结BE.

（1）求证：BE是。。的切线；

（2）设OE交。。于点£若。歹=2,BC=4瓜求线段跖的长；

（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积.

【答案】⑴见解析；(2)EF=4；(3)16A/3-—71

3

【分析】

（1）连接OC,如图，根据垂径定理由ODLBC得到CD=BD,则OE为BC的垂直平分线，所以EB=EC,根据等

腰三角形的性质得/EBC=NECB,力口上NOBC=/OCB,则/OBE=/OCE；再根据切线的性质得/OCE=90。，所

以NOBE=90。，然后根据切线的判定定理得BE与。0相切；

（2）设。O的半径为R,贝IJOD=R-DF=R-2,OB=R,在Rt^OBD,利用勾股定理解得R=4,再利用含30°角的直

角三角形边角关系可求得OE,利用EF=OE-OF即可解答；

⑶利用⑵中可求得/BOC=120°,然后利用S阴影=S四边形OBEC—S扇形OBC代入数值即可求解.

【详解】（1）证明：连接OC,如图，

VODXBC,

；.CD=BD,

；.OE为BC的垂直平分线，

；.EB=EC,

.•.ZEBC=ZECB,

VOB=OC,

.•.ZOBC=ZOCB,

ZOBC+ZEBC=ZOCB+ZECB,即/OBE=NOCE,

：CE为。。的切线，

AOCXCE,

.•.ZOCE=90°,

.\ZOBE=90°,

/.OBXBE,

BE与。。相切.

（2）设。O的半径为R,则OD=R-DF=R-2,OB=R,

在R3OBD中，BD=BC=26

VOD2+BD2=OB2,

（R—2y+（2百）2=尺2,解得R=4,

.•.OD=2,OB=4,

.-.ZOBD=30°,

.-.ZBOD=60°,

.,.在RtAOBE中，ZBEO=30°,OE=2OB=8,

.\EF=OE-OF=8-4=4,

即EF=4；

（3）由/OCD=NOBD=30。和OD_LBC知：ZCOD=ZBOD=60°,

AZBOC=120°,XBC=4A/3,0E=8,

S阴影=,四边形。BEC—S扇形OBC

120m42

360

=16A/3-----7i

3

【点睛】本题考查了切线的判定与性质、垂径定理、扇形面积的计算、含30。角的直角三角形边角关系、勾股定理

等知识，熟练掌握每个知识点是解答的关键.

B卷（共60分）

四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分.）

22.分解因式：b4-b2-n^

【答案】（/+3他+2）0-2）

【分析】

先根据十字相乘法，再利用平方差公式即可因式分解.

【详解】/—/-12=（从+3）仅2—4）=仅2+3）0+2）仅一2）

故答案为：伊+3）0+2）0-2）.

【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法.

[y-3y+113

23.若数a使关于无的分式方程二三+3=3的解为非负数，且使关于y的不等式组4312的解

1-[2（y-a）<0

集为y<0,则符合条件的所有整数。的积为一—一一

【答案】40

【分析】

根据分式方程的解为正数即可得出aW5且行3,根据不等式组的解集为y<0,即可得出a>0,找出0<aW5且存3

中所有的整数，将其相乘即可得出结论.

【详解】解：分式方程史2+0-=3的解为x=?且*1,

..•分式方程史2+q=3的解为非负数，

X—11—X

5—Q、八l5—a

・•・------20且-----r1.

22

/.a<5且a^3.

<4312

2（y-a）<0②

解不等式①，得y<o.

解不等式②，得y<a.

>-3y+l>13

1•关于y的不等式组<Z7—~12的解集为y<0,

2（y-a）<0

a>0.

・・・0<a<5且a#3.

又a为整数，则a的值为1,2,4,5.

符合条件的所有整数a的积为1x2x4x5=40.

故答案为：40.

【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组的解集为丁＜0,

找出a的取值范围是解题的关键.

24.如图，在平面直角坐标系中，点A(-2,0),直线/：y=3x+走与x轴交于点8,以A8为边作等边AA网,

33

过点4作4片//刀轴，交直线/于点与，以A用为边作等边的44,过点4作人坊//%轴，交直线/于点当，

以4耳为边作等边八4生4,以此类推……，则点4020的纵坐标是

【分析】

如图，过A1作A1CLAB与C,过A2作A2CJA1B1于C1,过A3作A3c2，A2B2于C2,先根据直线方程与x轴交于

点B(-1,0),且与x轴夹角为30。，则有AB=1,然后根据平行线的性质、等边三角形的性质、含30。的直角三角

形的性质，分别求的Al、A2、A3、的纵坐标，进而得到An的纵坐标，据此可得A2020的纵坐标，即可解答.

【详解】如图，过Ai作AiCLAB与C,过A2作AzCJAiBi于Ci,过A3作A3c2_LA2B2于C2,先根据直线方程与

x轴交于点B(-1,0),与y轴交于点D(0,1),

3

，OB=1,OD=正，

3

ZDBO=30°

由题意可得：ZAIBIB=ZA2B2BI=30°,ZBIAIB=ZB2A2BI=60°

ZAIBBI=ZA2BIB2=90°,

123n

；.AB=1,AiBi=2AiB=2,A2B2=2A2BI=2,A3B3=2A3B2=2,-AnBn=2

.\AIC=^1AB=—XI,

22

Ai纵坐标为旦X1=4(21—1)；

22

A2c产走AIBI=KIX21,

22

A2的纵坐标为BX\+BX2'=昱⑵+*=BX3=B(—,

22222

12o123

A3的纵坐标为^Ixi+^lx2+^x2=^(2+2+2)=^x7=^(2-l)；

222222

由此规律可得：AnCn一尸正义2"7,

2

An的纵坐标为个(2°+2〔+2?++2"T)=/(2"—1),

2O2O

.­.A2O2O=^(2-1),

故答案为：走(22。2。_1)

2

【点睛】

本题是一道点的坐标变化规律探究，涉及一次函数的图象、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，数

字型规律等知识，解答的关键是认真审题，观察图象，结合基本图形的有关性质，找到坐标变化规律.

25.已知抛物线%=-必+标（如图）和直线%=2x+b.我们规定：当x取任意一个值吐x对应的函数值分别

为力和%.若M/，取%和月中较大者为M；若％=%