格林公式(公开教学用)

1、格林公式及其应用格林公式及其应用 从不定积分与定积分的引入来考虑从不定积分与定积分的引入来考虑两者之间没有任何关系，但牛顿两者之间没有任何关系，但牛顿莱布莱布尼茨公式将二者联系起来。尼茨公式将二者联系起来。 格林公式同样是将看似截然不同的格林公式同样是将看似截然不同的两类积分两类积分: 二重积分与曲线积分有机的二重积分与曲线积分有机的统一起来。统一起来。一、格林（一、格林（Green）公式）公式1、 预备知识：预备知识： 为了学习格林公式，我们先介绍为了学习格林公式，我们先介绍三个基本概念：单连通区域、复连通三个基本概念：单连通区域、复连通区域、平面曲线的正向。区域、平面曲线的正向。 单连通区

2、域单连通区域D 1）单连通区域：）单连通区域： 如果如果D D内内任一闭曲线任一闭曲线所围成的部分所围成的部分全都属于全都属于D D ； D D内内任意一条闭曲线任意一条闭曲线都可以连续地收缩为一点，都可以连续地收缩为一点，这一点也属于这一点也属于D D； D D为为 无无“洞洞”的区域。的区域。 2 2）复连通区域）复连通区域: : 存在一些闭曲线存在一些闭曲线它围成的区域不全属于它围成的区域不全属于D D； 存在一些闭曲线存在一些闭曲线不能连续收缩为不能连续收缩为D D中的点；中的点； 有有“洞洞”的区域（包括的区域（包括“点洞点洞”）。）。复连通区域复连通区域D点洞点洞洞洞 3 3）平面

3、曲线）平面曲线 L L 的正向：当人（观的正向：当人（观察者）沿察者）沿L L的方向行走时，的方向行走时，D D内在内在靠近人靠近人的一侧的一侧始终在人的左侧。始终在人的左侧。 外圈是逆时针方向；内圈是顺时针方向。外圈是逆时针方向；内圈是顺时针方向。DDLLl洞洞（1 1）D D 是由分段光滑是由分段光滑 ( (或光滑或光滑) )的有向的有向L( , )( , )LDQPP x y dx Q x y dydxdyxy( ,),( ,)P x yQ x y 格林公式格林公式（3 3） 取正向取正向. .则有则有闭曲线闭曲线 围成；围成；（2 2）函数）函数 在在D D上具有一上具有一阶连续偏导数

4、；阶连续偏导数； 2 2、格林、格林(Green)(Green)公式公式( (定理定理1)1)L3 3、说明：、说明：( ,),( ,)P x yQ x y（2 2）函数）函数 在在D D上必须具上必须具（1 1） L L必须是光滑或分段光滑的有向闭必须是光滑或分段光滑的有向闭曲线，曲线，如果不封闭怎么办？如果不封闭怎么办？有一阶连续偏导数，如果在有些点有一阶连续偏导数，如果在有些点处不满足（不存在或存在不连续），处不满足（不存在或存在不连续），怎么解决怎么解决？（重点与难点）？（重点与难点）（3 3）L L要求取正向要求取正向. .（若不是正向（若不是正向 ? )? ).QPxy 同学们思考

5、一下，说明的第（同学们思考一下，说明的第（2 2）条其实是可以修改的，应该改成什么？条其实是可以修改的，应该改成什么？（4 4）二重积分的被积函数必须是）二重积分的被积函数必须是 例例1 1 计算下列曲线积分计算下列曲线积分: :222333(0)xyaa222(1).(cos2sin)(sin2)xxLx yxxyx y e dxxxye dy其中其中L L为星形线为星形线 的正的正向。向。 xyoDaaaa33cos:sinxaLya 利用后面学过的知识发现积利用后面学过的知识发现积分与路径无关分与路径无关, ,结论显然是结论显然是0.0.PQyx(2). ( sin2 )( cos2)x

6、xLeyy dx eydy222(),0 xayay其中其中L L为上半圆周为上半圆周沿逆时针方向从沿逆时针方向从A A点到点到 点。点。 Osin2 ,cos2,xxP eyy Q eycos2,cos ,xxyxPeyQey 5 5、格林公式的证明（体现分析过程）、格林公式的证明（体现分析过程）证明证明(1)(1)先考虑积分区域既是先考虑积分区域既是 型，又型，又是是 型区域的情况，如图型区域的情况，如图oD)(1xy )(2xy ABx yoDCE)(2yx )(1yx 型区域型区域y 型区域型区域xdabcxxyymmnn21( )( )( , )dycyDQQ x ydxdydx d

7、yxx 21( ), )( ), )dcQyyQyy dy( , )( , )( , )LCmEEnCQ x y dyQ x y dyQ x y dy21( ), )( ), )dcQyyQyy dy( , )LDQdxdyQ x y dyx按照按照 型区域考虑型区域考虑y 同理，按照同理，按照 型区域考虑型区域考虑x ( , )( , )LDP x ydxdyP x y dxy ( , )( , )LDQPdxdyP x y dx Q x y dyxx（2 2）当积分区域不满足既是）当积分区域不满足既是 型，又型，又是是 型时，如下图（分割成（型时，如下图（分割成（1 1）的情）的情况）况）

8、L1L2L3LD1D2D3D 321)()(DDDDdxdyyPxQdxdyyPxQxyAnBCmp123()()()DDDQPQPQPdxdydxdydxdyxyxyxyL1L2L3LD1D2D3DAnBCmpABCmAAnBABpCBPdxQdyPdxQdyPdxQdy.LPdxQdyMD2LL2MNL NMLMDQPdxdyPdxQdyxy（3 3）当积分区域）当积分区域D D为复为复连通区域时，如右图连通区域时，如右图将复连通区域沿着某一将复连通区域沿着某一条线段割开，条线段割开，NMMNN将复连通区域转化为将复连通区域转化为单连通区域（已证）单连通区域（已证）22().MNLNMLL

9、 LPdx QdyPdx Qdy 例例2 2 计算计算 其中其中 L L 为一条无为一条无重点分段光滑且不经过原点的连续闭重点分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，曲线，L L 的方向为逆时针方向。的方向为逆时针方向。22Lxdy ydxxy二、格林公式的应用二、格林公式的应用2222,yxPQxyxy22222,PQyxyxxy1 1、计算曲线积分、计算曲线积分1) 1) 设设P P，Q Q 在在 D D 内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数12,L L12LLPdxQdyPdxQdyQPxy2L1LD补充定理补充定理: :2) 2) 在在 D D 内恒有内恒有3) 3) 为为D D内任意两

10、条同向闭曲线内任意两条同向闭曲线; ; 4) 4) 各自所围的区域中有相同的不各自所围的区域中有相同的不12L L, 属于属于D D的点，则的点，则2222LLxdyydxxdyydxxyxy 1122LDxdyydxdxdy 设设 为围绕原点的简单闭曲为围绕原点的简单闭曲线线 ， 围成的区域为围成的区域为 , , 与与L L同向同向 22:(0)Lxy LDLLDxy 当当 利用格林公式，结论为利用格林公式，结论为0.0. (0,0)D 当当 时时(0,0)D 解：解：L例例3 3 设设C C是围绕原点的任意一条光滑简单是围绕原点的任意一条光滑简单闭曲线，求闭曲线，求2422.Cxydx x

11、 dyxy242422( , ),.xyxP x yQxyxy5224222.( , )(0,0)PQxxyx yyxxy（第二第二届中国大学生数学竞赛非数学类数学竞赛题届中国大学生数学竞赛非数学类数学竞赛题1515分，分，其中的三分之一部分，其中的三分之一部分，前面两部分是前面两部分是0505年高等数学一试题年高等数学一试题）242422( )2LLxydxx dyxydxx dyxyxy 211240LDxydxx dyxdxdy 解：设解：设 为围绕原点的简单为围绕原点的简单闭曲线闭曲线 ， 围成的区域为围成的区域为 ， 与与 C C 同向，同向， 42:(0)Lxy LDLCDxyL例例4 4 已知平面区域已知平面区域( , )|0,0,Dx yxy D D的边界取正向边界，试证的边界取正向边界，试证sinsinsinsin(1).;yxyxLLxe dy yedxxedy ye dx（首届中国大学生数学竞赛非数学类数学竞赛题首届中国大学生数学竞赛非数学类数学竞赛题1515分分）D( ,0)A( , )B (0, )C(0,0)Oxysinsin25(2).2yxLxedyyedxsinsinyxDeedxdy 右边右边解解:（1）利用格林公式）利用格林公式si