2024-2025学年新教材高考数学 第2章 平面解析几何 3.3 直线与圆的位置关系教案 新人教B版选择性必修第一册

2024-2025学年新教材高考数学第2章平面解析几何3.3直线与圆的位置关系教案新人教B版选择性必修第一册科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）2024-2025学年新教材高考数学第2章平面解析几何3.3直线与圆的位置关系教案新人教B版选择性必修第一册教学内容分析本节课的主要教学内容来自2024-2025学年新教材高考数学第2章平面解析几何的3.3节，围绕直线与圆的位置关系展开。内容包括直线与圆的相切、相交和相离三种情况，以及圆的切线方程和割线方程的推导与应用。

教学内容与学生已有知识的联系在于，学生在之前的学习中掌握了坐标系中直线和圆的基本方程，理解了点与圆的位置关系，以及直线方程的一般形式。在此基础上，本节课将引导学生将这些知识综合运用，通过分析直线与圆的交点情况，探究其位置关系，从而深入理解几何图形间的内在联系，并为进一步学习圆锥曲线打下基础。核心素养目标本节课的核心素养目标为培养学生以下能力：

1.掌握直线与圆的位置关系，提升几何直观与空间想象能力；

2.能够推导并运用切线与割线方程，提高逻辑推理与数学抽象素养；

3.通过解决实际问题，强化数学建模与问题解决能力；

4.在小组合作探究中，培养交流与合作的核心素养，提高团队意识。学习者分析1.学生已掌握了直线、圆的方程及坐标系中的基本几何性质，理解了点与圆的位置关系，具备了本节课的基础知识。

2.学生对几何图形和方程的关系表现出较高的兴趣，具有一定的逻辑推理能力和空间想象力。他们的学习风格多样，部分学生喜欢通过直观图形理解问题，而另一部分学生则擅长抽象符号运算。

3.在学习直线与圆的位置关系时，学生可能遇到的困难和挑战包括：对切线、割线方程的推导过程理解不够深入；在解决实际问题时，难以将问题转化为数学模型；对于几何图形的运动变化和位置关系判断上存在一定的难度。此外，部分学生可能在小组合作中缺乏主动参与和有效沟通。教学资源准备1.教材：确保每位学生都提前准备好新人教B版选择性必修第一册教材，包括本节课相关的章节内容。

2.辅助材料：准备与直线与圆位置关系相关的动态几何软件或演示动画，以及直观的图片、图表，帮助学生形象理解。

3.实验器材：如需进行实际测量或验证，准备直尺、圆规等基本绘图工具，确保器材的完整性和适用性。

4.教室布置：将教室划分为小组讨论区，每组配有多媒体展示设备，便于学生展示和讨论；如有需要，设置实验操作台，便于学生动手实践。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对直线与圆位置关系的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们知道直线与圆的位置关系对我们的日常生活有什么影响吗？它们在几何学中又扮演着怎样的角色？”

展示一些生活中的直线与圆的图片，如建筑物的直线设计、圆桌等，让学生初步感受几何图形的美和实用性。

简短介绍直线与圆位置关系的基本概念及其在几何学中的重要性，为接下来的学习打下基础。

2.直线与圆位置关系基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解直线与圆位置关系的基本概念、判定方法和应用。

过程：

讲解直线与圆相切、相交和相离的定义，包括其数学表达和几何特征。

通过实例，如圆的弦长计算、直线与圆交点问题等，让学生理解这些概念在实际问题中的应用。

3.直线与圆位置关系案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解直线与圆位置关系的特性和应用。

过程：

选择几个典型的直线与圆位置关系案例进行分析，如圆的切线问题、最短距离问题等。

详细介绍每个案例的背景、解决方法和几何意义，让学生全面了解这一知识点的应用。

引导学生思考这些案例在现实生活中的应用，以及如何利用这些知识解决实际问题。

小组讨论：让学生分组讨论直线与圆位置关系在其他领域（如工程、设计等）的应用，并提出创新性的想法或建议。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与直线与圆位置关系相关的实际问题进行深入讨论。

小组内讨论问题的背景、挑战以及利用所学知识找到的解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对直线与圆位置关系的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括问题的提出、分析过程和解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调直线与圆位置关系的重要性和意义。

过程：

简要回顾直线与圆位置关系的基本概念、判定方法、案例分析等。

强调这些知识在几何学习和现实生活中的应用，鼓励学生继续探索几何学的奥秘。

布置课后作业：让学生撰写一篇关于直线与圆位置关系的短文或报告，以巩固学习效果。知识点梳理1.直线与圆的位置关系

-相切：直线与圆只有一个交点，该点为切点。

-相交：直线与圆有两个交点，这两个点之间的线段称为弦。

-相离：直线与圆没有交点。

2.直线与圆位置关系的判定方法

-利用圆的半径和圆心到直线的距离判断：如果圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线与圆相切；如果小于圆的半径，则直线与圆相交；如果大于圆的半径，则直线与圆相离。

3.切线方程的求解

-点斜式：已知切点坐标和切线斜率，直接写出切线方程。

-斜截式：已知切线斜率和它与y轴的截距，写出切线方程。

-一般式：通过圆心到直线的距离等于圆的半径这一条件，结合直线的一般方程，求解切线方程。

4.割线方程的求解

-通过直线与圆的交点，利用点斜式或两点式求解割线方程。

-当直线与圆有两个交点时，这两个交点将圆分成的两部分对应的两条弧所对的圆心角相等。

5.直线与圆位置关系在实际问题中的应用

-计算圆的弦长、切线长、半径等几何量。

-解决与距离、角度相关的实际问题。

6.圆的切线与割线性质

-切线与半径垂直，即切点处的半径与切线垂直。

-割线通过圆内的点，并且被圆所截得的弦的中点在割线上。

7.圆的切线与割线在实际问题中的应用

-在工程设计和建筑中，确定点到直线的最短距离。

-在物理学中，分析圆周运动的切线加速度和向心加速度。

8.小结

-直线与圆的位置关系是平面几何中的重要内容，它涉及到圆的性质、直线方程的求解和几何图形之间的相互关系。

-通过对直线与圆位置关系的学习，学生能够提升空间想象力，培养逻辑思维能力和解决实际问题的能力。教学反思与改进在上完这节直线与圆的位置关系课后，我觉得有几个地方值得反思和改进。

首先，我发现学生在理解直线与圆相切、相交和相离的概念时，还存在一定的困难。特别是在判断实际问题时，他们往往会混淆这些概念。为了帮助学生更好地掌握这些基础知识，我计划在未来的教学中增加一些直观的教具和动画，让学生更直观地感受直线与圆的位置关系，以便加深他们的理解。

其次，学生在求解切线和割线方程时，对运算过程和方法掌握不够熟练。针对这个问题，我打算在接下来的课程中，设计一些具有代表性的练习题，让学生多加练习，逐步提高他们的解题技巧。同时，我也会在课堂上多花一些时间，详细讲解方程的求解过程，让学生能够跟上教学进度。

此外，小组讨论环节中，部分学生参与度不高，这可能是因为他们对讨论主题不感兴趣或者不知道如何表达自己的观点。为了提高学生的参与度，我计划在分组时更加注意成员的搭配，尽量让每个学生都能在小组中发挥自己的优势。同时，我会鼓励学生多发言，培养他们的表达能力和团队协作精神。

在课堂展示与点评环节，我发现部分学生对自己的成果缺乏信心，导致展示时表现紧张。为了解决这个问题，我打算在课前对这部分学生进行一些辅导，帮助他们更好地准备展示内容。在点评环节，我会注重鼓励学生，发现他们的优点，提高他们的自信心。

针对课后作业的布置，我觉得可以尝试让学生结合生活实际，自己设计一些与直线与圆位置关系相关的问题，这样既能巩固所学知识，又能激发学生的学习兴趣。典型例题讲解例题1：已知圆的方程为(x-2)²+(y-3)²=25，求过点P(5,7)的切线方程。

解答：圆心坐标为(2,3)，半径r=5。点P到圆心的距离为√[(5-2)²+(7-3)²]=√[3²+4²]=5，等于圆的半径，说明点P在圆上。切线斜率为k=-1/2（因为切线与半径垂直，斜率为半径斜率的负倒数）。利用点斜式，切线方程为y-7=-1/2(x-5)，化简得x+2y-19=0。

例题2：已知圆的方程为x²+y²=16，直线L：2x-y=4，求圆与直线的交点。

解答：将直线方程代入圆的方程，得到2x-(2x-4)=16，化简得4x=20，解得x=5。将x值代入直线方程，得到y=2*5-4=6。所以圆与直线的交点为(5,6)和(-5,-6)。

例题3：已知圆的方程为(x-1)²+(y+2)²=9，求该圆在直线y=3上的切点。

解答：由于切点在直线y=3上，代入y=3得到(x-1)²=1，解得x=0或x=2。所以切点为(0,3)和(2,3)。

例题4：已知直线y=2x+1与圆(x-3)²+(y+1)²=16相交于A、B两点，求弦AB的中点坐标。

解答：将直线方程代入圆的方程，得到(x-3)²+(2x+1+1)²=16，化简得5x²-8x-8=0，解得x=2或x=4/5。对应的y值为5或3/5。所以A、B两点坐标分别为(2,5)和(4/5,3/5)。弦AB的中点坐标为[(2+4/5)/2,(5+3/5)/2]，化简得(7/5,28/5)。

例题5：已知圆的方