2023年高考数学一轮复习（学生版）：应用建模1 函数模型及其应用

应用建模1函数模型及其应用

（对应答案分册第5万页）

...................国基础知识，夯实基础巩固提升

««知识清单》»

L几类函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型RM=ax+b（a,b为常数存0）

反比例函数模型“送理和为常数且总0）

二次函数曜一日/'”?*b（可仇c为常数，?/0）

指数函数模型斗物。为常数1/04人且aW1）

对数函数模型&）=b\.o^x+c（a,b,c为常数。关0,aX）且a¥1）

（续表）

函数模型函数解析式

累函数模型十）="出幼〃为常数所0,〃#0）

“对勾”函嵋型/W"T（a的）

⑶拓展知识］

对勾函数/（%）=峙々刈在（-吃3］和

h/i十叼上单调递墙在［3,0）和（0,而］上单

调递减.

当xX）时,（*）在十喃时取最小值，最小

值为2亚当Y<0时,小，）在尸75时取最大

值，最大值为-2«,

2.三种函数模型的性质

函数y=&片10gM片父

颉（皿）（例（苏0）

在（0/8）上

单调递单调递单调递

的增减性

熠长速度越来越越来越相对平稳

随1•的增随I的增

大,逐渐表大,逐渐表

图象的变化1"值变化而各为不同

现为与现为与V

轴平行轴平行

鲍牌存在一个照，当时，有iog.*a

特别提醒

⑴当描述增长速度变化很快时,选用指

数函数模型.

⑵当要求不断增长，但又不会增长过快，也不

会增长到很大时,选用对数函数模型.

（3）幕函数模型可以描述增长幅度

不同的变化，当〃值较小（朕1附增长较慢；

当〃值较大（〃）1）时，增长较快.

《《夯实基础以

【概念辨析】

I.判断下面结论是否正确.（对的打“J”,错的打“X”）

⑴某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还

能获利.（）

⑵函数y玄的函数值比尸片的函数值大.（）

⑶不存在心使a"。<XQ<log5.（）

⑷“指数爆炸”是指数型函数尸油乜传0力过好1）增长速度越来越快的形象比喻.（）

【对接教材】

在某个物理实验中，测得变量》和变量y的几组数据如下表：

x0.500.992.013.98

y-0.990.010.982.00

则对最适合的拟合函数是（）.

K.y=2xB.产0-1

C.y=2x-2D.y=log2x

【易错自纠】

某商品价格前两年每年递增20%后两年每年递减20$,则四年后的价格与原来价格匕匕较，变化的

情况是（）.

A.减少7.84%

B.增加7.84%

C.减少9.5%

D.不增不减

;淀区月名某公司为了发展业务制定了一个激励销售人员的奖励方案，当销售额

x为8万元时，奖励1万元.当销售额x为64万元时，奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为

y=a\^b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为万元.

...................因考点考向，精研考向锤炼技能

一点:❶用函数图象刻画变化过程【题组过关】

1.（2022•湖北武汉模拟在用计算机处理灰度图象（俗称的黑白照片）时，将灰度分为256个等级,

最暗的黑色用0表示,最亮的白色用255表示,中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间

对应的数表示，这样可以给图象上的每个像素赋予一个“灰度值”.在处理有些较黑的图象时，为

了增强较黑部分的对比度，可对图象上每个像素的灰度值进行转换扩展低灰度级，压缩高灰度级,

实现如图所示的效果，则下列可以实现该功能的一种函数图象是（）.

汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车

在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（）.

A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中,甲车消耗汽油量最多

C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D.某城市机动车最高限速80千米/时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

点拨判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法

⑴构建函数模型法:先建立函数模型,再结合模型选图象.

⑵验证法:根据实际问题中变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势,验证是否吻合，从中

徘除不符合实际情况的答案.

（考范软已知函数模型的实际应用问题【典例迁移】

倒。■天津一桥）某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品,

成本增加10万元.又知总收入/是产品单位数。的函数用。HO0号。，则总利润的最大值是

万元.

已知函数模型，解决实际问题的要点

⑴认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.

⑵根据已知条件，利用待定系数法，确定模型中的待定系数.

（3）利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.

【追踪训练1】⑴（2022•重庆模某工厂产生的废气需经过过滤后排放，排放时污染物的

含量不超过临已知在过滤过程中，废气中的污染物数量H单位:毫克/升）与过滤时间4单位:小

时）之间的函数关系为P=P.e均为整的常数）.如果在前5小时的过滤过程中污染物被过滤

淖了90%那么排放前至少还需要过滤（）小时.

15£

A.1C.1D.5

⑵、•北京模我所谓声强，是指声音在传播途径上每1平方米面积上的声能流密度，用/

表示人类能听到的声强范囿其中能听见的1000Hz声音的声强（约10”W/m）为标准声强，记作

/o,声强/与标准声强4之比的常用对数称作声强的声强级，记作/“即/Hg5声强级/，的单位名

称为贝（尔），符号为B,取贝（尔）的十分之T乍为响度的常用单位，称为分贝（尔），简称分贝（dB）.《三

国演义》中有张飞喝断当阳桥的故事，假设张飞大喝一声的响度为140dB,一个士兵大喝一声的

响度为90dB,如果一群士兵同时大喝一声相当于张飞大喝一声的响度用B么这群士兵的人数为

（）.

A.1万B.2万

C.5万D.10万

各点⑥构建函数模型解决实际问题【典例迁移】

题型1构建二次函数模型

候村利用当地优势引进经济效益好、养殖密度高的“活水围网”养鱼技术.研究表

明:“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度《单位:千克/年）是养殖

密度M单位:尾/立方米）的连续函数.当x不超过4尾/立方米时,『的值为2千克/年;当4a《20

时,/是V的一次函数当x达到20尾立方米时，因缺氧等原因小的值为0千克,年

⑴当00^20时,求函数/关于*的函数解析式；

⑵当养殖密度x为多大时,鱼的年生长量（单位:千克图方米）可以达到最大?并求出最大值.

题型2构建指数函数、对数函数模型

创❸■湖北1牛顿冷却定律描述一个事物在常温(Z)环境下的温度变化:如果

t

物体的初始温度为兀那么经过一定时间，后的温度7满足T-L=^f•%名),其中7是环境温

度/称为半衰期.现有一杯80°。的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在

55°C.经测量，室温为25°C,茶水降至75c大约用时1分钟,那么为了获得最佳饮用口感，从泡

茶开始大约需要等待().(参考数据1g3*0.477Llg5^0.6990,1g11^1.0414)

A.4分钟B.5分钟

C.6分钟D.7分钟

题型3构建函数(m，'())模型

团副⑴某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利

润M万元）与营运年数x的关系如图标（抛物线的一段），则为使其营运年平均利润最大,每辆客

车营运年数为

（2）

某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60'（如图）,考虑防洪堤坚

固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9百平方米,且高度不低于心米.记防洪堤横断

面的腰长为、米，外周长偶形的上底线段以'与两腰长的和）为y米.要使防洪堤的上面与两侧面

的水泥用料最省（即横断面的外周长最小）厕防洪堤的腰长产米

题型4构建分段函数模型

饺］❺已知某公司生产某款手机的年固定成本为10万美元，每生产1万只还需另投入16万

美元.设该公司一年内共生产该款手机万万只并全部销售完，每万只的销雪收入为用万）万美元，且

400-6x,0<x<40,

740040000、.

---x>40n.

⑴写出年利润取万美元）关于年产量M万只）的函数解析式；

（2）当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的年利润最大?并求出最大年

利润.

构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系,将文字

语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.如实际

问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票

，介与路程之间的关系,应构建分段函数模型求解;当涉及增长率等有关问题时，应构建指数函数模

型求解.

【追踪训练2】（2022•重庆模拉因为国家重点扶持节能环保产业，所以某种节能产品的市

为销售回暖.某经销商销售这种产品，年初与生产厂家签订进货合同，约定一年内进价为0.1万元

，怡，一年后,实际月销售量A台）与月份才之间存在如图所示的函数关系（4月到12月近似符合二

次函数关系）.

⑴写出关于X的函数关系式；

⑵如果每台售价0.15万元,试求一年中利润最低的月份，并表示出最彳捌润.

E3方法技巧，方法探究分类突破

演变破o函数实际应用中的数学建模问题

数学建模是高考中的热点，主要考查数学建模能力及分析、解决问题的能力.数学建模是对

现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题，用数学方法构建模型解决问题.

0^）（2022•兰州模拟某厂有一个容量为300吨的水塔,每天从早上六点到晚上十点

供应生活和生产用水，已知该厂的生活用水为每小时10吨,生产用水总量用吨）与时间《单位;小

时，规定早晨六点时£力）的函数关系为人100〃