3-机械制图-第二章

正投影的基本知识第2章2.1投影法投影法是指投射线通过物体，向选定的平面投射，并在该面上得到图形的方法，如图2-1所示。其中，投射线的起源点称为投射中心，选定的平面称为投影面，投影面上所得到的图形称为投影。按投射线类型（平行或汇交）不同，投影法可分为中心投影法和平行投影法。2.1投影法图2-1投影法2.1投影法1．中心投影法

中心投影法是指投射中心位于有限远处，投射线汇交于一点的投影法，如图2-2所示。

中心投影法绘制的投影图具有直观性较强、立体感较好等优点，但不能反映物体表面的真实形状和大小，故其在工程上仅用于土建工程及大型设备辅助图样的绘制。2.1投影法图2-2中心投影法2.1投影法2．平行投影法

平行投影法是指投射中心位于无限远处，投射线互相平行的投影法，如图2-3所示。平行投影法绘制的投影图虽然直观性差，但度量性好。

平行投影法分为正投影法和斜投影法。其中，正投影法是指投射线与投影面之间相互垂直的平行投影法，斜投影法是指投射线与投影面之间倾斜的平行投影法，如图2-4所示。2.1投影法图2-3平行投影法2.1投影法图2-4平行投影法分类（a）正投影法（b）斜投影法2.1投影法由于正投影法不仅能真实地表达空间物体的形状和大小，而且作图原理简单，便于作图，因此，正投影是机械图样中应用最广泛的图示法。本书主要介绍正投影法，今后如无特殊说明，所述投影均视为正投影。2.2点的投影如图2-5（a）所示，过空间点A的投射线与投影面P的交点a，称为点A在投影面P上的投影。当点的空间位置确定时，点在某一投影面上的投影便是唯一的，但点的单面投影不能唯一确定点的空间位置，如图2-5（b）所示。因此，工程中以及机械制图中一般都采用多面正投影。2.2点的投影（a）（b）图2-5点的单面投影2.2.1点的三面投影以相互垂直的三个面作为投影面，便组成了三面投影体系，如图2-6所示。其中，正立放置的投影面称为正立投影面，用V表示；水平放置的投影面称为水平投影面，用H表示；侧立放置的投影面称为侧立投影面，用W表示；相互垂直投影面的三根交线称为投影轴，分别用OX，OY，OZ表示，三根投影轴的交点O称为原点。1．三面投影体系2.2.1点的三面投影图2-6三面投影体系2.2.1点的三面投影

如图2-7所示，投影面V和H将空间分成四个分角。将物体置于第Ⅰ分角内，使其处于观察者与投影面之间而得到的正投影的方法称为第一角画法。将物体置于第Ⅲ分角内，使投影面处于物体与观察者之间而得到正投影的方法称为第三角画法。我国国家标准规定机械图样主要采用第一角画法，即采用图2-8所示的三面投影体系。2.2.1点的三面投影图2-7四个分角图2-8三面投影体系2.2.1点的三面投影2．点的三面投影如图2-9（a）所示，将空间点A分别向H，V，W三个投影面投射，即可得到点A的三个投影a，a′，a″，它们分别称为点A的水平投影、正面投影和侧面投影。2.2.1点的三面投影为了画图方便，需将互相垂直的三个投影面摊平在同一个平面上。规定：正立投影面不动，将水平投影面绕OX轴向下旋转90°，将侧立投影面绕OZ轴向右旋转90°，使H，V，W三个投影面共面。应注意：水平投影面和侧立投影面旋转时，OY轴被分为两部分，分别用OYH（在H面上）和OYW（在W面上）表示，如图2-9（b）所示。画图时，不必画出投影面边框。2.2.1点的三面投影（a）图2-9点的三面投影（b）2.2.2点的空间位置1．点三面投影图的性质点的三面投影图具有以下性质。点的两面投影的连线，必定垂直于相应的投影轴，如图2-9（b）中a'a''⊥OZ，aa'⊥OX。①2.2.2点的空间位置点的投影到投影轴的距离，等于空间点到相应投影面的距离，即影轴距等于点面距。例如，在图2-9（b）中，aax=a''az=点A到V面的距离，a'ax=a''ay=点A到Ｈ面的距离，a'az=aay=点A到W面的距离。②在点的三面投影中，只要知道任意两面投影，根据投影性质便可求出第三面投影。2.2.2点的空间位置【例2-1】如图2-10（a）所示，已知点A的正面投影a'和侧面投影a''，求其水平投影a。分析：由点的投影性质可知，aa′⊥OX，

aax=a′′az

。作图：过a′作直线垂直于OX轴，交OX轴于ax，在a′ax=a′′az延长线上量取，即可求得a点，如图2-10（b）所示。也可采用作45°斜线的方法求得a点，如图2-10（c）所示。2.2.2点的空间位置图2-10求点的第三投影（a）（b）（c）2.2.2点的空间位置如图2-11所示，在三投影面体系中，三根投影轴可以构成一个空间直角坐标系，空间点A的位置可以用三个坐标值（XA，YA，ZA）表示，则点A的投影与坐标之间的关系为：2．点的投影与坐标系之间的关系2.2.2点的空间位置图2-11点的投影与坐标之间的关系（a）（b）2.2.3两点的相对位置两点的相对位置是指空间两点的上下、前后、左右位置关系，可以通过两点在同一投影面上投影的相对位置或坐标的大小来判断，即x坐标大的在左，y坐标大的在前，z坐标大的在上。1．两点的相对位置2.2.3两点的相对位置如图2-12所示，由于xA

>xB

，故A在B的左方，同理可判断出A在B的下方、后方。图2-12两点的相对位置2.2.3两点的相对位置如图2-13所示，E，F两点的投影e′和f′重合，说明E，F两点的x，z坐标相同，即xE=xF，zE=zF，这表明E，F两点处于对正面（V面）的同一条投射线上。若空间两点在某一投影面上的投影重合，则这两点称为对该投影面的重影点。2．重影点2.2.3两点的相对位置重影点的可见性需根据这两点不重影的投影坐标大小来判断。例如，图2-13中，e′，f′重合，但水平投影不重合，且yE>yF，即E在前、F在后。所以，对于V面来说，E可见，F不可见。在投影图中，对不可见的点，在重影处的投影需加圆括号表示。因此，E，F在V面的投影表示为e′（f′）。2.2.3两点的相对位置图2-13重影点2.3直线的投影2.3.1直线的投影及其特性1．直线的三面投影直线的投影一般仍为直线，特殊情况可积聚为一点，如图2-14所示。在图2-14中，直线AB在水平面H上的投影为直线ab；直线CD平行于投射线，其在水平面H上的投影cd积聚为一点。2.3直线的投影图2-14直线的投影2.3直线的投影直线的投影可由直线上两点的同名投影来确定，如图2-15所示。在三个投影面中，将同名投影上的投影点用粗实线连接起来，即可得到直线的三面投影，如图2-15（c）所示。图2-15直线的三面投影（a）（b）（c）2.3直线的投影2．直线的投影特性在三面投影体系中，按直线与投影的相对位置不同，直线可分为一般位置直线、投影面平行线、投影面垂直线三类，其中，后两类统称为特殊位置直线。2.3直线的投影

2.3直线的投影投影面平行线是指平行于一个投影面的直线。按平行的投影面不同，投影面平行线可分为水平线（平行于H面）、正平线（平行于V面）和侧平线（平行于W面）三种，其各自投影特性如表2-1所示。2.3直线的投影表2-1投影面平行线的投影特性2.3直线的投影由表2-1可知，投影面平行线具有以下投影特性。在平行投影面上，直线的投影反映实长，直线投影与投影轴的夹角分别反映直线与另外两个投影面倾角的实际大小。①在另外两个投影面上，直线投影分别平行于相应的投影轴，且短于空间直线段。②2.3直线的投影投影面垂直线是指垂直于一个投影面，而与其余两个投影面平行的直线。按垂直的投影面不同，投影面垂直线可分为铅垂线（垂直于H面）、正垂线（垂直于V面）和侧垂线（垂直于W面）三种，其各自投影特性如表2-2所示。2.3直线的投影表2-2投影面垂直线的投影特性2.3直线的投影由表2-2可知，投影面垂直线具有以下投影特性。在垂直投影面上，直线的投影积聚为一点。①在另外两个投影面上，直线投影分别平行于相应的投影轴，且短于空间直线段。②2.3直线的投影从属于一个投影面的直线是投影面平行线和投影面垂直线的特殊情况，它同时具有该两类直线的投影性质。从属于一个投影面直线的特殊性在于：必有一投影重合于直线本身，另两投影在投影轴上，如图2-16（a）和图2-16（b）所示。

更特殊的直线是从属于投影轴的直线，这类直线必定是投影面的垂直线，它的投影特性是两投影重合于直线本身，另一投影积聚在原点上，如图2-16（c）所示。2.3直线的投影图2-16从属于一个投影面的直线（a）从属于V面的直线（b）从属于V面的铅垂线（c）从属于OX轴的直线2.3.2直线与点的相对位置直线与其上点的关系如下。

1

22.3.2直线与点的相对位置图2-17直线上的点（a）（b）2.3.2直线与点的相对位置1．求直线上点的投影【例2-2】如图2-18（a）所示，已知点K在直线AB上，求点K的其余两面投影。分析：由于点K在直线AB上，所以点K的三面投影分别位于直线AB的同名投影上。作图：如图2-18（b）所示，先作出AB的侧面投影a″b″，然后再在ab，a''b''上确定点K的水平投影k和侧面投影k″。2.3.2直线与点的相对位置图2-18求直线上点的投影（a）（b）2.3.2直线与点的相对位置【例2-3】如图2-19（a）所示，已知点K在直线CD上，求点K的正面投影。分析：求点K的正面投影有两种方法，一种是先求出直线CD的侧面投影，然后再求出点K的正面投影；另一种是利用点分线段成定比的方法求出点K的正面投影。此处采用第二种方法作图。作图：如图2-19（b）所示，采用作相似三角形的方法使c'k'/k'd'=ck/kd

，定出k'在c'd'上的位置，即求得点K的正面投影。2.3.2直线与点的相对位置图2-19求直线上点的投影（a）（b）2.3.2直线与点的相对位置2．判断点是否在直线上判断点是否在直线上，一般只需判断两个投影面上的投影即可。当直线与投影面平行，且给出的两个投影又与投影轴平行时，则需求出第三个投影来进行判断，或用点分线段成定比的方法来判断。2.3.2直线与点的相对位置【例2-4】如图2-20（a）所示，已知直线AB和点K的正面投影和水平投影，试判断点K是否在直线AB上。方法一作图：如图2-20（b）所示，先作出直线AB的侧面投影a″b″，再作出K的侧面投影k″，由于，所以点K不在直线AB上。2.3.2直线与点的相对位置图2-20判断点是否在直线上（a）（b）（c）2.3.3两直线的相对位置空间中两直线的相对位置有平行、相交和交叉（异面）三种情况。1．两直线平行两直线平行的投影规律如下。1若两直线平行，则它们的同名投影一定相互平行，如图2-21所示。反之，若空间两直线的同名投影均相互平行，则该两直线一定为平行关系。2.3.3两直线的相对位置图2-21两直线平行（a）（b）2.3.3两直线的相对位置2若两直线平行，则它们的长度之比等于它们同名投影的长度之比。这条投影特性反过来不一定成立，因此，实际应用中还必须检查两线段的倾斜方向是否相同。判断空间两直线是否平行，一般情况下，只需判断两直线的任意两对同名投影是否分别平行即可。但当两直线同为某投影面平行线时，只有该投影面上的投影平行或平行线投影保持定比时才能判断两直线相互平行。2.3.3两直线的相对位置【例2-5】判断直线DE，FG在图2-22（a）和图2-22（c）中所示的情况是否平行。图2-22判断两直线是否平行（a）（b）2.3.3两直线的相对位置图2-22判断两直线是否平行（c）（d）2.3.3两直线的相对位置方法一：根据两平行直线在同一投影面上投影仍平行来判断两直线是否平行。作图2-22（a）和图2-22（c）的第三面投影，分别如图2-22（b）和图2-22（d）所示，从图中可以判断，图2-22（a）中的直线DE，FG平行，图2-22（c）中的直线DE，FG不平行。2.3.3两直线的相对位置方法二：根据平行两线段之比与其投影之比相等，以及两直线对投影面的方向是否相同来判断两直线是否平行。因此，图2-22（a）中的直线DE，FG平行；图2-22（c）中DE，FG的两面投影字母符号顺序不一致，因而两线段倾斜方向不一致，故直线DE，FG不平行。2.3.3两直线的相对位置2．两直线相交若空间两直线相交，则它们的同名投影一定相交，且交点同属于两直线，如图2-23所示；反之亦然。判断空间两直线是否相交，一般情况下，只需判断直线的两组同名投影相交，且交点符合直线上点的投影特性即可。当两直线中有一条为特殊位置直线时，若两直线的同名投影相交，则空间两直线不一定相交。2.3.3两直线的相对位置图2-23两直线相交2.3.3两直线的相对位置【例2-6】判断图2-24（a）中直线AB，CD是否相交。方法一：求出侧面投影，如图2-24（b）所示，虽然a''，b''

相交，但其交点不是k''

，即点K不是两直线共有点，故直线AB，CD不相交。2.3.3两直线的相对位置方法二：

2.3.3两直线的相对位置图2-24判断两直线是否相交（a）（b）2.3.3两直线的相对位置3．两直线交叉两交叉直线是指既不平行也不相交的两条直线。如图2-25（a）所示，直线AB和CD为两交叉直线，则这两条直线的正面投影和水平投影均相交，但正面投影中的交点与水平投影中的交点并非同一点，如图2-25（b）所示。2.3.3两直线的相对位置图2-25判断两直线是否交叉（a）（b）2.3.3两直线的相对位置两交叉直线同名投影的交点是直线上一对重影点的投影，用它可以判断空间两直线的相对位置。在图2-25中，直线AB和CD水平投影的交点是直线CD上点Ⅰ和直线AB上点Ⅱ对H面的重影点1（2），由正面投影可知，点Ⅰ在上，点Ⅱ在下，故该处直线CD在直线AB的上方。

同理，直线AB和CD的正面投影交点是直线AB上点Ⅲ和直线CD上点Ⅳ对V面的重影点3'（4′），由水平投影可知，点Ⅲ在前，点Ⅳ在后，故该处直线AB在直线CD的前方。2.4平面的投影在投影图上，通常可用下列五组几何元素中任一组的投影来表示平面的投影。2.4.1平面的表示方法不属于同一直线的三点，如图2-26（a）所示。①一直线和线外一点，如图2-26（b）所示。②2.4平面的投影相交两直线，如图2-26（c）所示。③平行两直线，如图2-26（d）所示。④平面几何图形，如三角形、四边形、圆等，如图2-26（e）所示。⑤2.4平面的投影图2-26平面的五种表示方法（a）（b）（c）（d）（e）以上用几何元素表示平面的五种形式彼此间是可以相互转化的。实际上，第一种表示方法是基础，后几种都是由它转化而来的。2.4.2平面的投影及其特性按平面对投影面的相对位置不同，平面可分为一般位置平面、投影面垂直面和投影面平行面三类。其中，后两者统称为特殊位置平面。1．一般位置平面一般位置平面是指对三个投影面都倾斜的平面，如图2-27所示。2.4.2平面的投影及其特性图2-27一般位置平面（a）（b）2.4.2平面的投影及其特性一般位置平面的投影特性是三个投影面的投影均为缩小的类似形，即边数相等的类似多边形，不反映空间平面的实际形状。例如，图2-27（b）中三个投影面上的投影都是三角形，即类似形。2.4.2平面的投影及其特性2．投影面垂直面投影面垂直面是指垂直于某一投影面而与其余两投影面都倾斜的平面。其中，垂直于H面的平面称为铅垂面，垂直于V面的平面称为正垂面，垂直于W面的平面称为侧垂面，它们的投影特性如表2-3所示。2.4.2平面的投影及其特性表2-3投影面垂直面的投影特性2.4.2平面的投影及其特性由表2-3可知，投影面垂直面的投影特性如下。①在垂直投影面上，面的投影积聚成与该投影面内的两投影轴都倾斜的直线，该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另两个投影面夹角的实际大小。②在另外两个投影面上，面的投影为原形的类似形。2.4.2平面的投影及其特性3．投影面平行面投影面平行面是指平行于某一投影面，从而垂直于其余两个投影面的平面。其中，平行于H面的平面称为水平面，平行于V面的平面称为正平面，平行于W面的平面称为侧平面，它们的投影特性如表2-4所示。2.4.2平面的投影及其特性表2-4投影面平行面的投影特性2.4.2平面的投影及其特性由表2-4可知，投影面平行面的投影特性如下。①在平行投影面上，面的投影反映平面的实际形状。②在另外两个投影面上，面的投影均积聚成直线，且平行于相应的投影轴。2.4.3平面上的直线和点1．平面内取直线具备下列条件之一的直线，必位于给定的平面内。①直线经过平面内已知的两点。②直线经过平面内的一点，且平行于平面内的另一条直线。2.4.3平面上的直线和点【例2-7】如图2-28（a）所示，已知平面由两相交直线AB，AC给出，求作平面内任意一条直线。方法一：在平面内任意取两点连线。如图2-28（b）所示，分别在直线AB，AC上任意取点M（m，m'），N（n，n'），然后连接该两点的同名投影，即得所求直线。2.4.3平面上的直线和点方法二：过面内一点作面内已知直线的平行线。如图2-28（c）所示，过点C作直线CM平行已知直线AB，即cm∥ab，c'm'∥a'b'，则直线CM即为所求直线。2.4.3平面上的直线和点图2-28平面内取任意直线（a）（b）（c）2.4.3平面上的直线和点【例2-8】如图2-29（a）所示，已知平面由△ABC给出，在该平面内求作一条正平线，使其到V面的距离为10mm。分析：所求正平线处于已知平面内，其水平投影应平行于OX轴，且与OX轴的距离为10mm。作图：如图2-29（b）所示，在H面作与OX平行且距离为10mm的直线，其与直线ab，bc的交点分别为m，n。过m，n分别作OX的垂线，它们与直线a'b'，b'c'的交点分别为m'，n'，连接mn，m'n'，即为所求正平线的两面投影。2.4.3平面上的直线和点图2-29在平面内取正平线（a）（b）2.4.3平面上的直线和点2．平面内取点点从属于平面的条件是：若点属于一直线，直线属于一平面，则该点必属于该平面。因此，在取属于平面的点时，首先应取属于平面的直线，再取属于该直线的点。2.4.3平面上的直线和点【例2-9】如图2-30（a）所示，已知点K位于△ABC内，求点K的水平投影。分析：在平面内过点K任意作一条辅助直线，则点K的投影必在该直线的同名投影上。作图：如图2-30（b）所示，连接b'k'并延长，交a'c'于d'；过d'作OX轴的垂线，交ac于d，连接bd；过k'作OX轴的垂线，交bd于k，点k即为点K的水平投影。2.4.3平面上的直线和点图2-30平面内取点（a）（b）2.4.3平面上的直线和点【例2-10】如图2-31（a）所示，已知△ABC的两面投影，在△ABC内求取一点M，使其到H面和V面的距离均为10mm。分析：平面内的正平线是与V面等距离点的轨迹，故点M位于平面内距V面为10mm的正平线上。点的正面投影到OX的距离反映点到H面的距离（10mm）。2.4.3平面上的直线和点作图：如图2-31（b）所示，在H面作与OX轴平行且相距10mm的直线，交直线ac，ab于点d，e；过点d，e作OX轴的垂线，分别交a'c'，a'b'于点d'，e'，连接d'e'；在V面作与OX轴平行且相距10mm的直线，交直线d'e'于m'；过m'作OX轴的垂线，交直线de于m，则点m，m'即为所求点M的水平投影和正面投影。2.4.3平面上的直线和点图2-31平面内取点（a）（b）2.5直线与平面以及两平面之间的相对位置直线与平面之间以及两平面之间的相对位置可分为平行、相交和垂直三种情况。2.5.1平行1．直线与平面平行由初等几何可知，若平面外一直线平行于平面内一直线，则该直线与该平面平行。例如，图2-32中，由于直线AB平行于平面P内的直线CD，所以直线AB平行于平面P。图2-32直线与平面平行2.5直线与平面以及两平面之间的相对位置过K点可作无数条平行于已知平面的直线，其中只有一条是水平线。如图2-33（b）所示，先作平面内的水平辅助线CD，再过点K引直线EF平行于CD。由于EF∥CD，CD在平面△ABC内，所以EF∥平面△ABC。【例2-11】如图2-33（a）所示，已知△ABC平面，过已知点K求作一水平线平行于△ABC平面。2.5直线与平面以及两平面之间的相对位置图2-33作直线平行于已知平面（a）（b）2.5直线与平面以及两平面之间的相对位置如果平面内能做出一条平行于AB的直线FG，则AB平行于定平面CDE，否则，AB与定平面CDE不平行。如图2-34（b）所示，在平面cde中作与直线ab平行的直线fg，然后再定出点f′，g′，连接f′g′，观察f′g′是否与a′b′平行。由于f′g′与a′b′不平行，即平面内没有与直线AB平行的直线，所以，AB与定平面CDE不平行。【例2-12】如图2-34（a）所示，试判断已知直线AB是否平行于定平面CDE。2.5直线与平面以及两平面之间的相对位置图2-34判断直线与平面是否平行（a）（b）2.5直线与平面以及两平面之间的相对位置2．两平面平行由初等几何可知，若属于一平面的两相交直线分别平行于另一平面的两相交直线，则此两平面平行。如图2-35所示，相交直线AB，BC属于平面P，相交直线DE，EF属于平面Q，若此两对相交直线分别平行，则平面P平行于平面Q。2.5直线与平面以及两平面之间的相对位置图2-35两平面相互平行2.5直线与平面以及两平面之间的相对位置如图2-36（b）所示，分别作属于两平面的水平线CM，DK和正平线AN，EL，观察可知CM∥DK，AN∥EL，所以△ABC平面与△DEF平面平行。【例2-13】如图2-36（a）所示，试判断△ABC平面与△DEF平面是否平行。2.5直线与平面以及两平面之间的相对位置图2-36判断两平面是否平行（a）（b）2.5直线与平面以及两平面之间的相对位置过点K作两条相交直线分别平行于已知平面内的两条相交直线，则此两条相交直线所在平面即为所求平面。如图2-37（b）所示，在已知平面内作一条直线MN，使其与已知的平行直线相交；过点K作EF，GH分别平行于AB，MN，则直线EF，GH所在平面即为过点K的所求平面。【例2-14】如图2-37（a）所示，已知定平面由平行直线AB和CD给定，试过点K求作一平面，使其平行于已知平面。2.5直线与平面以及两平面之间的相对位置图2-37作平面平行于已知平面（a）（b）2.5直线与平面以及两平面之间的相对位置判断平行问题时，若直线与投影面垂直面平行，或两平面均为投影面垂直面，则只检查具有积聚性的投影是否平行即可。如图2-38所示，已知平面P平行于平面Q，且平面P，Q均垂直于平面H，根据投影面垂直面的性质，属于P，Q上所有直线的水平投影分别积聚在P，Q的水平投影PH

，QH上。2.5直线与平面以及两平面之间的相对位置图2-38两特殊位置平面平行（a）（b）2.5.2相交直线和平面相交的交点，是直线与平面的共有点。作此类图时，除了求出交点的投影外，还应判断直线投影的可见性。两平面相交的交线，是两平面的共有直线。作此类图时，除了求出交线的投影外，还应判断两平面投影的可见性。2.5.2相交当平面为特殊位置平面时，可利用积聚性求直线与平面的交点或平面之间的交线。1．特殊位置2.5.2相交（1）直线与特殊位置平面相交如图2-39所示，直线MN与铅垂面△ABC相交，K的水平投影k既属于△ABC的水平投影，又属于直线MN的水平投影，由k可求得m'n'与△ABC正面投影的交点k'，即直线MN与铅垂面△ABC的交点为K（k，k'）。

2.5.2相交由水平投影可知，KN在铅垂面△ABC的前面，故正面投影k'n'可见，用实线表示；而k'm'与铅垂面△ABC重叠部分不可见，用虚线表示。2.5.2相交图2-39直线与特殊位置平面的交点2.5.2相交（2）一般位置平面与特殊位置平面相交求两平面的交线可看作是求平面的两个共有点。如图2-40所示，平面△ABC与铅垂面△DEF的交线，可通过属于交线的任意两点（如K，L）求得。

图2-40一般位置平面与特殊位置平面的交线2.5.2相交2．一般位置由于一般位置平面没有积聚性，所以当直线与一般位置平面相交时，无法在投影图上直接定出交点，而需通过辅助平面作图求出交点。（1）直线与一般位置平面相交2.5.2相交【例2-15】如图2-41（a）所示，求直线DE与一般位置平面△ABC的交点。过直线DE作平面S，平面S与△ABC的交线为MN，则直线DE与MN的交点K为所求直线DE与一般位置平面△ABC的交点，作图过程如图2-41（b）、图2-41（c）、图2-41（d）所示。2.5.2相交图2-41求直线与一般位置平面的交点（a）（b）（c）（d）2.5.2相交（2）两个一般位置平面相交1）用直线与平面求交点的方法求两平面共有点如图2-42（a）所示，已知平面△ABC和△DEF，求此两平面相交的交线。如图2-42（b）、图2-42（c）、图2-42（d）所示，可先分别求出直线DE，DF与平面△ABC的交点L，K，则直线KL便是平面△ABC和△DEF的交线。2.5.2相交图2-42两个一般位置平面的交线（a）（b）2.5.2相交图2-42两个一般位置平面的交线（c）（d）2.5.2相交2）用三面共点法求两平面共有点如图2-43所示，已知平面R，S，需求此两平面的共有点。取任意辅助平面P，它与R，S的交线分别为ⅠⅡ和ⅢⅣ，而ⅠⅡ和ⅢⅣ的交点K1为三面共有，即也为R，S两面共有。同理，作辅助平面Q，找到另一共有点K2。K1K2即为平面R，S两平面的交线。2.5.2相交图2-43求两平面共有点的示意图2.5.2相交【例2-16】如图2-44所示，已知平面△ABC，DE∥FG，求平面△ABC与平面DEGF的交线。根据图2-43原理，取水平面P为辅助平面，利用PV的积聚性，分别求出平面P与两已知平面的交线ⅠⅡ（12，1'2'）和ⅢⅣ（34，3'4'）。ⅠⅡ和ⅢⅣ的交点K1（k1，k1'）为平面△ABC、平面DEGF及平面P的共有点。同理，作辅助平面Q求得另一个共有点K2（k2，k2'）。K1K2即为所求平面△ABC与平面DEGF的交线。2.5.2相交图2-44两个一般位置平面的交线2.5.2相交3．投影图的可见性为了使图形更容易观看，不可见部分的投影用虚线表示。投影图的可见性通过重影点来判断。2.5.2相交直线与平面相交时，交点是直线可见部分和不可见部分的分界点。如图2-45（a）所示，取重影点Ⅰ（1，1'）和Ⅱ（2，2'），其中，点Ⅰ在KN上，点Ⅱ在DE上。观察水平投影可知，Ⅰ比Ⅱ更远离OX轴，因此，KN在DE前面，KN在正面投影上可见。（1）直线与平面相交的可见性2.5.2相交同理，取重影点Ⅲ（3，3'）和Ⅳ（4，4'），点Ⅲ在MK上，点Ⅳ在DE上。观察正平投影可知，MK在DE的上面。也就是说，MK在水平投影上可见。直线MN与平面△DEF的空间情况如图2-45（b）所示。2.5.2相交图2-45直线与平面相交的可见性（a）（b）2.5.2相交平面与平面相交时，两平面交线是两平面在投影图上可见与不可见的分界线。（2）平面与平面相交的可见性2.5.2相交【例2-17】如图2-46（a）所示，判断两相交平面的可见性。根据交线是分界线，以及平面的连续性，只要判断出一部分平面的可见性，则另一部分平面的可见性也就明确了。如图2-46（b）所示，在每个投影上的四对重影点中任意选取两对重影点即可判断两相交平面的可见性。2.5.2相交图2-46两相交平面的可见性（a）（b）2.5.3垂直1．直线与平面垂直2.5.3垂直图2-47直线与平面垂直（a）（b）2.5.3垂直若一直线的水平投影垂直于定平面内水平线的水平投影，直线的正面投影垂直于定平面内正平线的正面投影，则此直线必垂直于该平面。2.5.2相交【例2-18】如图2-48（a）所示，已知平面△ABC，试过定点S作平面的法线。若要在正投影图上确定平面法线的方向，必须先确定该平面上的投影面平行线的方向。因此，如图2-48（b）所示，作△ABC上的任意正平线BD和水平线CE。过s'作b'd'的垂线s'f'，即为所求法线的正面投影；过s作ec的垂线sf，即为所求法线的水平投影。2.5.3垂直图2-48作定平面的法线（a）（b）2.5.3垂直辅助线BD和CE与法线SF是不相交的。此处仅利用BD和EC的方向，与垂足无关。垂足是法线和平面的交点，必须按照直线与平面求交点的作图过程才能求得，其作法见直线与平面相交。2.5.3垂直当平面为特殊位置平面，作图方法可简化。如图2-49（a）所示，与正垂面垂直的法线必为正平线；如图2-49（b）所示，与铅垂面垂直的法线必为水平线；如图2-49（c）所示，与正平面垂直的法线必为正垂线。2.5.3垂直图2-49特殊位置平面的法线（a）（b）（c）2.5.3垂直【例2-19】如图2-50（a）所示，已知定平面由直线AB，CD给定，试判断直线MN是否垂直于定平面。2.5.3垂直图2-50判断直线与平面是否垂直（a）（b）2.5.3垂直2．两平面相互垂直由初等几何可知，若一直线垂直于一定平面，则这条直线所在的所有平面都垂直于该平面；反之，若两平面互相垂直，则自第一个平面上任意点向第二个平面所作的垂线，一定在第一个平面上，如图2-51所示。2.5.3垂直图2-51两平面互相垂直示意图（a）过平面垂线的所有平面都垂直于该平面（b）两平面相垂直（c）两平面不垂直2.5.3垂直【例2-20】如图2-52（a）所示，过定点S作与已知平面△ABC垂直的平面。如图2-52（b）所示，过点S作平面△ABC的垂线SF，包含垂线SF的一切平面均垂直于平面△ABC，因此，本题有无数解。作任意直线SN与SF相交，直线SN，SF所确定的平面便是其中之一。2.5.3垂直图2-52过定点作平面的垂直面（a）（b）2.5.3垂直【例2-21】如图2-53（a）所示，试判断两相交直线AB，CD所给定的平面与平面△KMN是否垂直。在平面△KMN中，过点M作另一平面的垂线，然后检查该垂线是否属于平面△KMN。如图2-53（b）所示，作平面ABCD的水平线EF，然后根据平面ABCD的正平线CD和水平线EF作垂线MS。经检查MS不属于平面△KMN，故平面ABCD与平面△KMN不垂直。2.5.3垂直图2-53判断两平面是否垂直（a）（b）2.6三视图及其对应关系2.6.1三视图的形成几何元素在V，H和W三面投影体系中的投影称为几何元素的三面投影，如图2-54（a）所示。国家标准规定，将机件向投影面投影所得的图形称为视图。在三面投影体系中，正面投影称为主视图，水平投影称为俯视图，侧面投影称为左视图，它们统称为机件的三视图。2.6三视图及其对应关系在视图中，物体可见轮廓线的投影用粗实线表示，不可见轮廓线的投影用虚线表示。为了使三视图能画在一张图纸上，标准规定正面保持不动，水平面向下旋转90°，侧面向右旋转90°，如图2-54（b）所示，这样就得到在展开在同一平面上的三视图。2.6三视图及其对应关系图2-54三视图的形成（a）几何体的三面投影体系（b）三视图（c）实际画图时的三视图2.6.2三视图之间的对应关系物体有长、宽、高三个方向的尺寸，取X轴方向为长度尺寸，Y轴方向为宽度尺寸，Z轴方向为高度尺寸。实际绘图时，一般采用无轴系统，如图2-54（c）所示。必要时，也可采用有轴系统。无论采用哪种系统，绘图时必须保证三视图间的投影规律，如图2-55所示。1．度量对应关系2.6.2三视图之间的对应关系图2-55三视图之间的对应关系2.6.2三视图之间的对应关系三视图的每个视图只能反映物体两个方向的尺寸。主视图反映物体的长度和高度，俯视图反映物体的长度和宽度，左视图反映物体的高度和宽度。三视图间的投影规律又称三等规律，具体如下。主视图和俯视图的长度相等且对正。主视图和左视图的高度相等且平齐。俯视图和左视图的宽度相等且对应。①

②③

2.6.2三视图之间的对应关系物体有上、下、左、右、前、后六个方位，由图2-55可以看出，三视图中各视图反映方位如下。2．方位对应关系①主视图反映物体的上、下和左、右方位。②俯视图反映物体的前、后和左、右方位。③左视图反映物体的上、下和前、后方位。2.6.2三视图之间的对应关系图2-55三视图之间的对应关系2.7投影变换1．投影变换的概念当直线或平面相对投影面处于一般位置或不利于解题的位置时，在投影图中不能较简便地解决它们之间的一些度量问题或某些空间几何问题。

若能改变直线或平面对投影面的相对位置，使其由一般位置变换为特殊位置，就能达到有利于解题的目的。这种变换空间几何元素（点、线、面）对投影面相对位置的方法，称为投影变换。2.7.1投影变换概述2.7投影变换2．投影变换的分类投影变换的方法一般有换面法和旋转法两种。（1）换面法保持空间几何元素不动，设置一个新的投影面替换原投影体系中的某一个投影面，组成一个新的投影体系，使几何元素在新投影面上的投影直接反映所需要的几何关系，这种方法称为换面法。2.7投影变换如图2-56所示，△ABC在原投影体系H面和V面上的投影均不反映实形。现设置一个新投影面V1

，使V1面垂直于H面并与△ABC平行，这就组成了一个新投影体系V1

/H，V1面与H面的交线O1X1称为新投影轴。在这个新投影体系中，△ABC在V1面上的投影△a1'b1'c1'反映实形。2.7投影变换（2）旋转法原投影面保持不变，将空间几何元素绕着某条选定的轴线旋转到有利于解题的位置，这种投影变换方法称为旋转法。如图2-57所示，以△ABC上垂直于H面的直角边AB为轴，使△ABC旋转到与V面平行的位置△ABC1

，此时在V面上的投影△a'b'c1'反映实形。2.7投影变换图2-56换面法图2-57旋转法2.7.2换面法1．换面原则换面法中新投影面的设置，应满足下列两个条件。①新投影面必须与空间几何元素处于有利于解题的位置。②新投影面必须垂直于原有的某一投影面，以形成一个新的、互相垂直的两投影面体系，这样才能应用正投影规律。2.7.2换面法2．点的换面规律点是最基本的几何元素，点的换面法投影规律是学习换面法的基础。2.7.2换面法如图2-58所示，空间一点A在V/H投影体系中的投影为a'，a，现设置一新的投影面V1，使V1面替换原投影面V并垂直于H面，此时V1

，H面形成一个新的两投影面体系V1/H。V1面和H面的交线O1X1为新投影轴。点A在V1

/H投影体系中的投影为a，

a1'。此时a1'和a分别称为新投影和不变投影，在V面上的投影a'称为被替换投影。（1）点的一次换面2.7.2换面法使V1面绕新投影轴O1X1旋转至与H面重合，即可得到点A在V1

/H体系中的两面投影图，a1'ax1=a'ax=Aa（即点A的Z坐标不变）。当V1面绕O1X1轴旋转至与H面重合时，根据点的投影规律可知，aa'⊥O1X1轴。2.7.2换面法图2-58点的一次变换（变换V面）2.7.2换面法由上述分析可得点的换面规律如下。①点的新投影和不变投影的连线垂直于新投影轴。②点的新投影到新投影轴的距离等于被替换投影到原投影轴的距离。2.7.2换面法根据以上换面规律，点的一次换面作图步骤如下。①作新投影轴O1X1，用V1面代替V面，形成V1

/H投影体系。②过点a作O1X1轴的垂线，在垂线上截取a1'ax=a'ax，即得点A在V1面上的新投影a1'。2.7.2换面法如果变换H面，则用一个垂直于V面的新投影面H1代替H面，构成V/H1

投影体系。

如图2-59所示，可作出点B在H1面上的新投影，其作图步骤与变换V面时相似，此时点B的Y坐标不变。图2-59点的一次变换（变换H面）2.7.2换面法在工程中，有些问题经过一次换面还不能解决，需要经过两次或两次以上的连续换面。二次换面是在一次换面的基础上再进行换面，每次换面都按照点的换面规律。但应注意，在换面时，先换哪一个面应根据解题需要而定，然后按顺序依次更换各个投影面，V，H面必须交替变换，即以V/H→V/H1→V2/H1的顺序变换或以V/H→V1/H→V1/H2的顺序变换。（2）点的二次换面2.7.2换面法如图2-60所示，第一次V1面垂直于H面，形成V1

/H投影体系，第二次作H2面垂直于V1面，形成V1

/H2投影体系。图2-60点的二次变换（a）（b）2.7.2换面法点A在V1面上的投影为a1'，在H2面上的投影为a2，H2面和V1面的交线O2X2为第二新投影轴。将各个投影面依次展开到一个平面上后，即得到两次换面后点A的投影图，由a1'a⊥

O1X1轴、a1'aX1

=a1aX求出a1'，再由a2a1'⊥

O2X2轴，a2aX2

=aaX

1求出a2。注意，aaX

1称为第二次换面中被替换投影到原投影轴的距离，而a1'称为第二次换面中的不变投影。2.7.2换面法3．六个基本作图问题将一般位置直线变换成投影面平行线只需一次换面。如图2-61所示，在V/H投影体系中，AB为一般位置直线，现设置V1面垂直于H面并平行于直线AB，在新建立的投影体系V1

/H中，AB变换成V1面的平行线，其作图步骤如下。（1）将一般位置直线变换成投影面平行线2.7.2换面法①作新投影O1X1∥ab轴。②按照点的新旧投影之间的关系，即a1′ax1=a′ax，b1′bx1=b′bx，作出新投影a1′，b1′。③连接a1′b1′即为直线AB的新投影，它等于AB的线段实长，与O1X1轴的夹角反映直线AB对H面的倾角α。2.7.2换面法图2-61一般位置直线变换成正平线（a）（b）2.7.2换面法同理，也可设置新投影H1平行于直线AB，使直线AB在V/H1投影体系中变换为H1面的平行线，即可得出AB对V面的倾角β，如图2-62所示。图2-62一般位置直线变换成水平线2.7.2换面法将投影面平行线变换成投影面垂直线只需一次换面。如图2-63所示，在V/H投影体系中，AB为一条正平线，现设置H1面垂直于V面并垂直于直线AB，则直线AB在新投影体系V/H1中就变为面的垂直线，在H1面上的投影积聚为一点，其作图步骤如下。（2）将投影面平行线变换成投影面垂直线2.7.2换面法①作新投影轴O1X1∥a′b′。②根据a1ax1=aax，b1bx1=bbx，作出新投影a1

(b1)。图2-63投影面平行线变换成投影面垂直线（a）（b）2.7.2换面法将一般位置直线变换成投影面垂直线需要二次换面。如图2-64所示，一般位置直线变换成投影面垂直线需经两次换面，第一次换面将一般位置直线变换成投影面平行线，第二次换面再将投影面平行线变换成投影面垂直线。（3）将一般位置直线变换成投影面垂直线2.7.2换面法图2-64一般位置直线变换成投影面垂直线2.7.2换面法将一般位置直线变换成铅垂线，作图步骤如下。①作新投影轴O1X1∥ab，得到AB在V1/H体系中的新投影a1′b1′。②再作另一新投影轴O2X2⊥a1′b1′，得到AB在V1/H2

体系中的新投影a2

(b2)。2.7.2换面法将一般位置平面变换成投影面垂直面只需一次换面。如图2-65所示，△ABD为一般位置平面，若作一新投影面垂直于△ABD，只要使△ABD上的一条直线垂直于新投影面即可。根据前述可知，投影面平行线变换为投影面垂直线只需一次换面，这样将△ABD换成投影面垂直面即可归结为在△ABD平面上作一条投影面平行线，然后进行变换，其作图步骤如下。（4）将一般位置平面变换成投影面垂直面2.7.2换面法①在V/H投影体系中，作△ABD平面上水平线CD的两面投影cd，c'd'

。②作新投影轴O1X1⊥cd，在V1投影面上得到△ABD的积聚性投影a1′d1′b1′，a1′d1′b1′与O1X1轴的平行线间的夹角反映了△ABD的倾角α。2.7.2换面法图2-65一般位置平面变换成投影面垂直面2.7.2换面法同理，在V/H投影体系中，作△ABD平面上的正平线可将△ABD变换成铅垂面，并能反映△ABD的倾角β。若一般位置平面上有一条投影面平行线，则可将新投影轴设置为垂直于此平行线的实长投影。2.7.2换面法将投影面垂直面变换成投影面平行面只需一次换面。如图2-66所示，在V/H投影体系，△ABC是一铅垂面，若作一新投影面V1平行△ABC，那么V1面一定垂直于H面，其作图步骤如下。（5）将投影面垂直面变换成投影面平行面2.7.2换面法①作新投影轴O1X1平行于△ABC的积聚性投影acb。②在V1投影面上得到△ABC的新投影△a1′b1′c1′，△a1′b1′c1′反映△ABC实形。2.7.2换面法将一般位置平面变换成投影面平行面需二次换面。如图2-67所示，将一般位置平面变换成投影面平行面，需经过两次换面，首先将其变换成投影面垂直面，然后将投影面垂直面变换成投影面平行面。（6）将一般位置平面变换成投影面平行面2.7.2换面法图2-66投影面垂直面变换成投影面平行面（a）（b）2.7.2换面法图2-67一般位置平面变换成投影面平行面2.7.2换面法将一般位置平面变换成正平面，作图步骤如下。①在△ABC上作正平线AE，并作新投影轴O1X1⊥a′e′，在H1面上得到△ABC的积聚性投影b1a1c1。②作新投影轴O2X2∥b1a1c1，在V2面上得到新投影△a2′b2′c2′，它反映△ABC的实形。如一般位置平面上有一条投影面平行线，第一次换面则可将新的投影轴设置为垂直于此平行线的实长投影。2.7.2换面法4．应用实例【例2-22】如图2-68所示，求点D到△ABC的距离。图2-68求点到平面的距离2.7.2换面法当平面为投影面垂直面时，在它所垂直的投影面上的投影反映点到平面的距离，所以只需把平面一次变换成投影面垂直面即可求解。2.7.2换面法作图作图步骤如下。①②③作△ABC上的水平线be及b′e′。作新投影轴O1X1⊥be，在V1/H体系中△ABC为正垂面，得积聚性投影a1′b1′c1′和点d1′。与正垂面垂直的线为正平线，过点d1′作a1′b1′c1′的垂线，垂足为f1′，作df∥O1X1轴。④根据点的投影规律及点的换面规律反向求解，即可求得f′。2.7.2换面法【例2-23】如图2-69所示，求两平面△ABC与△ACD间的夹角。如图2-70所示，当两平面同时垂直于某一投影面时，它们的积聚性投影间的夹角即为两平面间的夹角。因此，只要将两平面的交线变换成投影面垂直即可求解。2.7.2换面法图2-69求两平面间的夹角图2-70两平面间的夹角分析2.7.2换面法作图如图2-69所示，作图步骤如下。①②③作新投影轴O1X1∥ac，将直线AC变换成正平线，然后作出△a1′b1′c1′和△a1′c1′d1′。作新投影轴O2X2⊥a1′c1′

，将直线AC变换成铅垂线，然后作出积聚性投影(a2)c2b2

和(a2)c2d2

。∠b2c2d2为△ABC与△ACD两平面间的夹角α。2.7.2换面法【例2-24】如图2-71所示，在直线BC上取一点E，使AE=20mm。图2-71求平面的实形2.7.2换面法直线BC与点A组成一般位置平面△ABC，利用两次换面可求出△ABC的实形，在实形中可作出AE=20mm。2.7.2换面法作图步骤如下。①②③连接△ABC，在△ABC内作出水平线CM。作新投影轴O1X1⊥cm

，将△ABC变换成正垂面，得出积聚性投影b1′c1′

a1′。作新投影轴O2X2∥b1′c1′

a1′，将△ABC变换成水平面，得出实形△a2b2c2。④以a2为圆心、20mm为半径画圆弧，与b2c2的交点即为e2。⑤根据点的换面规律即可作出e，e′

。2.7.2换面法【例2-25】求两交叉直线AB和CD的距离，并定出它们公垂线的位置。若两交叉直线之一成为某一投影面的垂直线，则问题易获简捷的解法。如图2-72（a）所示，若将直线CD变为投影面垂直线，则CD与AB的公垂线TS必是该投影面的平行线，TS在新投影面H2上的投影反映两交叉直线之间的距离。公垂线TS又与直线AB垂直，则在H2面上的投影反映直角，即t2s2⊥a2b2，由此即可定出公垂线TS的位置。一般位置直线CD变成投影面垂直线，需变换两次投影面。2.7.2换面法图2-72求两交叉直线的距离（a）空间分析图（b）投影图2.7.2换面法如图2-72（b）所示，作图步骤如下。①②将一般位置直线CD经过两次投影变换变为新投影面的垂直线。直线AB随同直线CD一起变换。由于S∈CD，故s2∈c2d2。根据直角投影定理，过s2向a2b2作垂线，与a2b2交于t2，t2s2即为所求距离。2.7.2换面法③将t2返回原体系求出H/V体系中t，t′。④因TS为H2面的平行线，过t1′作t1′s1′∥O2X2

，它与c1′d1′交于s1′。由s1′求出H/V体系中的s，s′，连接ts，t′s′，即为所求公垂线的投影。2.7.3旋转法1．绕投影面垂直线旋转的基本规律如图2-73所示，在旋转法中，点A绕直线L旋转，点A称为旋转点，直线L称为旋转轴，旋转轴L垂直投影面，点A的旋转轨迹是一个圆周，称为旋转圆周，旋转圆周所在的平面称为旋转平面，旋转圆周的圆心O称为旋转中心，旋转点A到旋转轴的距离OA称为旋转半径。2.7.3旋转法图2-73点的旋转2.7.3旋转法如图2-74所示，点A绕垂直于H面的轴线旋转，点A的旋转轨迹是一个以点O为圆心、OA为半径的圆，其在H面上的投影是以点o为圆心、oa为半径的圆，反映实形；在V面上的投影积聚为一条直线，平行于OX轴。（1）点的旋转规律当点A旋转某一角度θ到达A1位置时，它在H面上的投影也旋转角度θ，沿着以点o为圆心、oa为半径的圆弧旋转到a1位置；而它在V面上的投影a′则沿平行于OX轴的方向平移到a1′。2.7.3旋转法同理，如图2-75所示，点A绕垂直于V面的轴线旋轴，旋转轨迹在V面上的投影是以点o′为圆心、o′a′为半径的圆，在H面上的投影积聚为一条平行于OX轴的直线。2.7.3旋转法图2-74点绕垂直于H面的轴旋转图2-75点绕垂直于V面的轴旋转2.7.3旋转法综合上述，当点绕垂直于投影面的轴旋转时，它的运动轨迹在轴所垂直投影面上的投影为圆，而在轴所平行投影面上的投影为一条平行于投影轴的直线。点的第一次旋转，应在点的相应标记的右下角加注角标1；点的第二次旋转，应在点的相应标记的右下角加注角标2；以此类推。2.7.3旋转法直线与平面的旋转可归结为两个点或多个点的旋转，但在旋转时点的相对位置不能改变。因此，旋转轴的方向和位置确定后，线和面上所有的点都必