2024-2025学年湖南省益阳市万源教育集团八年级（上）开学数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省益阳市万源教育集团八年级（上）开学数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知aba+b=23，bcb+c=65A.116 B.113 C.1152.计算x−3x2−4÷A.x−2 B.1x−2 C.x−2x+2 3.如果a=(−99)0，b=(−0.1)−1，c=(13)−2，那么aA.a>b>c B.c>a>b C.a>c>b D.c>b>a4.已知a是方程x2−2x−2=0的根，则(1−1a+1A.16 B.12 C.195.《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”(粟指带売的谷子，粝米指糙米，其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”.问题：有3斗的粟(1斗=10升)，若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为(

)A.6

升 B.8

升 C.16

升 D.18

升6.如图，将四边形纸片ABCD沿PR翻折得到三角形PC′R，恰好C′P//AB，C′R//AD.若∠B=120°，∠D=50°，则∠C=(

)A.85°B.95°

C.90°D.80°7.给出下列命题：

①等边三角形是等腰三角形；

②三角形的重心是三角形三条中线的交点；

③三角形的外角等于两个内角的和；

④三角形的角平分线是射线；

⑤三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角；

⑥三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外．

其中正确命题的个数有(

)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形顶角的度数为(

)A.50° B.130° C.50°或130° D.65°或130°9.如图，DE是△ABC的边BC的垂直平分线，若AC=8，AB=6，BC=4，则△ADB的周长为(

)A.14 B.13 C.12 D.1010.如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC，∠AOB=∠COD=30°，连接AC，BD交于点M，AC与OD相交于E，BD与OA相交于F，连接OM.则下列结论中：

①AC=BD；②∠AMB=30°；③△OEM≌△OFM；④MO平分∠BMC．

正确的个数有(

)A.4个 B.3个 C.2个 D.1个二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。11.函数y=x+3x−5中自变量x12.已知x为整数，且分式4x+4x2−1的值为正整数，则x13.华为Mate60Pro于2023年8月29日开售，该款手机搭载的是华为自主研发的麒麟9000s芯片，该款芯片达到了7纳米工艺水平，1纳米=0.000000001米，7纳米用科学记数法表示为：______米.14.当1a−1b=215.为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级(1)班全体师生义务植树300棵.原计划每小时植树x棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务.列方程______．16.如图，等边△ABC的边长为4cm，点Q是AC的中点，若动点P以2cm/秒的速度从点A出发沿A→B→A方向运动设运动时间为t秒，连接PQ，当△APQ是等腰三角形时，则t的值为______秒.17.如图，在Rt△ABC中，AC=BC，点P是BC上一点，BD⊥AP交AP延长线于点D，连接CD，若图中两阴影三角形的面积之差为32(即，S△ACP−S△PBD=32 )，则CD=18.方程x2−6x+8=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是______．三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题7分)

先化简再求值：(2a+1+a+220.(本小题7分)

先化简，再求值：(x−1+11−x)÷x3−4x21.(本小题8分)

小明发现爸爸和妈妈的加油习惯不同，妈妈每次加油都说“师傅，给我加200元油”(油箱未加满)，而爸爸则说：“师傅，帮我把油箱加满!”小明很好奇：现实生活中油价常有变动，爸爸妈妈不同的加油方式，哪种方式会更省钱呢？现以两次加油为例来研究．设爸爸妈妈第一次加油油价为x元/升，第二次加油油价为y元/升，

(1)求妈妈两次加油的总量和两次加油的平均价格．(用含x，y的代数式表示)

(2)爸爸和妈妈的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由．22.(本小题8分)

“节能减排，绿色出行”，越来越多的人喜欢骑自行车出行.某自行车车行经营的A型自行车去年销售总额为60000元，今年该自行车每辆售价比去年降低100元.若该自行车今年的销售总额与去年相同，那么今年的销售总量需要比去年增加20%.请解答以下问题：

(1)A型自行车今年每辆售价为多少？

(2)该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共80辆，且B型进货数量不超过A型车数量的3倍.A型车和B型车每辆的进价分别为400元和500元，B型车每辆的售价为700元，该自行车行应如何组织进货才能使这批自行车获利最多？获利最多是多少？23.(本小题9分)

▱ABCD中，点E在AD上，DE=CD，请仅用无刻度的直尺，按要求作图(保留作图痕迹，不写作法)

(1)在图1中，画出∠C的角平分线；

(2)在图2中，画出∠A的角平分线．

24.(本小题9分)

如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D．

(1)用尺规完成以下基本作图：作AD的垂直平分线分别与AB、AC、AD交于点E、点F、点H.(保留作图痕迹，不写作法)

(2)在(1)所作的图形中，连接DE、DF，完成下面证明HE=HF的过程．

证明：∵∠BAC的角平分线交BC于点D，

∴∠BAD=①______．

∵EF垂直平分AD，

∴∠AHF=∠DHE=90°，AH=②______，AE=DE．

∴③______．

∴∠CAD=∠ADE．

∴△AHF≌④______(ASA)．

∴HE=HF．25.(本小题9分)

如图，点C在线段AB上，AD//EB，AC=BE，AD=BC，CF平分∠DCE．

(1)证明：△ADC≌△BCE；

(2)若CF=3，DF=4，求△DCE的面积．26.(本小题9分)

如图，在平面直角坐标系中，点A(4,0)，点B(0,−2)，将线段AB沿y轴向上平移4个单位，得到线段CD．

(1)写出点C，D的坐标；

(2)若点E在x轴上，求出点E坐标，使得S△CDE=32S△AOB；

(3)线段AB沿y轴向下平移得线段A′B′，x轴上是否存在点P，使得△A′B′P为等腰直角三角形？若存在请直接写出点B′坐标，并写出求其中一个点答案解析1.A

【解析】解：∵aba+b=23，bcb+c=65，aca+c=34，

∴a+bab=32，b+cbc=56，a+cac=43，

∴1b2.B

【解析】解：x−3x2−4÷x−3x+2

=x−3(x+2)(x−2)⋅x+2x−33.B

【解析】解：a=(−99)0=1，

b=(−0.1)−1=−10，

c=(13)−2=9，

4.B

【解析】解：原式=a+1−1a+1⋅(a+1)2a3

=aa+1⋅(a+1)2a3

=a+1a2，

∵a是方程x2−2x−2=0的根，

∴a2−2a−2=05.D

【解析】解：根据题意得：

3×10÷(50÷30)

=30÷53

=30×35

=18(升)．

答：可以换得的粝米为18升．

故选：D．

先将单位换成升，根据“50单位的粟，可换得30单位的粝米6.B

【解析】解：∵将纸片ABCD沿PR翻折得到△PC′R，

∴∠CRP=∠C′RP，∠CPR=∠C′PR，

∵C′P/​/AB，C′R/​/AD，∠B=120°，∠D=50°，

∴∠C′RC=∠D=50°，∠C′PC=∠B=120°，

∴∠CRP=∠C′RP=25°，∠CPR=∠C′PR=60°，

∴∠C=180°−∠CRP−∠CPR=95°，

故选：B．

根据折叠得出∠CRP=∠C′RP，∠CPR=∠C′PR，根据平行线的性质得出∠C′RC=∠D=50°，∠C′PC=∠B=120°，求出∠CRP=∠C′RP=25°，∠CPR=∠C′PR=60°，即可得出答案．

本题考查了折叠的性质，平行线的性质，能正确运用性质和定理进行推理是解此题的关键．7.C

【解析】解：①等边三角形是等腰三角形，正确，符合题意；

②三角形的重心是三角形三条中线的交点，正确，符合题意；

③三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，故原命题错误，不符合题意；

④三角形的角平分线是线段，故原命题错误，不符合题意；

⑤三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角，正确，符合题意；

⑥三角形的高所在的直线交于一点，这一点还可能是直角顶点，故原命题错误，不符合题意．

正确的命题有3个，

故选：C．

利用等腰三角形及等边三角形的定义、三角形的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．8.C

【解析】解：①如图1，等腰三角形为锐角三角形，

∵BD⊥AC，∠ABD=40°，

∴∠A=50°，

即顶角的度数为50°．

②如图2，等腰三角形为钝角三角形，

∵BD⊥AC，∠DBA=40°，

∴∠BAD=50°，

∴∠BAC=130°．

故选：C．

首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为50°.另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为130°．

本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，此题难度适中，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解．9.A

【解析】解：∵MN是线段BC的垂直平分线，

∴CD=BD，

∴△ADB的周长是：BD+AD+AB=CD+AD+AB=AC+AB=6+8=14，

故选：A．

根据线段垂直平分线定理求出CD=BD，代入△ADB的周长公式(BD+AD+AB=AC+AB)，求出即可．

本题考查了线段的垂直平分线定理的应用，关键是根据定理推出△ADB的周长等于AC+AB，题型较好，难度不大．10.B

【解析】解：∵∠AOB=∠COD=30°，

∴∠AOC=∠BOD，

∵OA=OB，OC=OD，

∴△AOC≌△BOD(SAS)，

∴AC=BD，所以①正确；

∴∠OAC=∠OBD，

而∠AFM=∠BFO，

∴∠AMF=∠BOF=30°，所以②正确；

∵OC<OA，

∴∠OCA>∠OAC，

∵∠OEM=∠OCE+30°，∠OFM=∠OBF+30°=∠OAM+30°，

∴∠OEM>∠OFM，

∴△OEM与△OFM不可能全等，所以③错误；

作OH⊥AC于H，OG⊥BD于G，如图，

∵△AOC≌△BOD，

∴OH=OG，

∴MO平分∠BMC，所以④正确．

故选：B．

根据“SAS”判断△AOC≌△BOD得到AC=BD，则可对①进行判断；根据全等三角形的性质得到∠OAC=∠OBD，则根据三角形内角和得到∠AMF=∠BOF=30°，于是可对②进行判断；利用OC<OA得到∠OCA>∠OAC，则根据三角形外角性质得到推出∠OEM>∠OFM，所以△OEM与△OFM不可能全等，于是可对③进行判断；作OH⊥AC于H，OG⊥BD于G，如图，根据三角形全等的性质得到OH=OG，然后根据角平分线的性质定理的逆定理可对④进行判断．

本题考查了全等三角形的判定，角平分线的性质等知识．11.x≥−3且x≠5

【解析】解：由题意得，x+3≥0且x−5≠0，

解得x≥−3且x≠5．

故答案为：x≥−3且x≠5．

根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．

本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：

(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．12.2，3，5

【解析】解：4x+4x2−1

=4(x+1)(x+1)(x−1)

=4x−1，

∵x为整数，且分式4x+4x2−1即4x−1的值为正整数，

∴x可取的值有2，3，5，

故答案为：213.7×10【解析】解：7纳米=0.000000007米=7×10−9米．

故答案为：7×10−9．

用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂．

本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×1014.15【解析】解：当1a−1b=2时，

3a+5ab−3ba−3ab−b=3(a−b)+5ab)(a−b)−3ab=−6ab+5ab−2ab−3ab=15，

故3a+5ab−3ba−3ab−b的值是15.300x【解析】解：原计划每小时植树x棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，故每小时植1.2x棵，由题意得：

300x−2060=3001.2x，

故答案为：300x−2060=3001.2x．

原计划每小时植树x棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，故每小时植1.2x棵，原计划植16.1或3

【解析】解：如图，连接PQ，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=60°，

∵△APQ是等腰三角形，

∴△APQ是等边三角形，

又∵Q是AC的中点，

∴AQ=AP=2cm，

分两种情况：

①当点P由A向B运动时，t=AP2=22=1(秒)；

②当点P由B向A运动时，t=AB+BP2=4+22=3(秒)；

综上所述，当△APQ是等腰三角形时，则t的值为1或3秒．

故答案为：1或3．

依据等边三角形的性质即可得到∠A17.8

【解析】解：如图，过点C作CH⊥CD，交AD于H，

∴∠HCD=∠ACB=90°，

∴∠ACH=∠BCD，

∵∠ACP=∠ADB=90°，∠APC=∠BPD，

∴∠CAH=∠CBD，

又∵AC=BC，

∴△ACH≌△BCD(ASA)，

∴CH=CD，S△ACH=S△BCD，

∵S△ACP−S△PBD=32，

∴S△ACH+S△CHP−S△PBD=32，

∴S△CHD=32，

∴118.10

【解析】解：解方程x2−6x+8=0，得x1=2，x2=4，

当2为腰，4为底时，不能构成等腰三角形；

当4为腰，2为底时，能构成等腰三角形，周长为4+4+2=10．

故答案为19.解：原式=[2(a−1)(a+1)(a−1)+a+2(a+1)(a−1)]⋅a+1a

=3a(a+1)(a−1)⋅a+1【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可．

本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．20.解：(x−1+11−x)÷x3−4x2+4xx−1

=(x−1−1x−1)÷x(x−2)2x−1

=(x−1)2−1x−1⋅x−1x(x−2)2

=x2−2x+1−1x−1⋅x−1x(x−2)2

=x2−2xx−1⋅x−1x(x−2)2

=x(x−2)x−1⋅x−1x(x−2)2

=1x−2，

要使分式(x−1+1【解析】先根据分式的加减法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，求出x=−2或−1，再代入化简后的结果，即可求出答案．

本题考查了分式的化简求值和不等式组的整数解，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．21.解：(1)由题意可得，

妈妈两次加油的总量是：200x+200y=200y+200xxy(升)，

妈妈两次加油的平均价格是：400200y+200xxy=2xyx+y(元/升)，

即妈妈两次加油的总量是200y+200xxy升，妈妈两次加油的平均价格是2xyx+y元/升；

(2)设爸爸每次加满油箱的油是a升，

则爸爸两次加油的平均价格是ax+ay2a【解析】本题考查分式的加减，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．

(1)根据题意，可以用含有x、y的代数式表示出妈妈两次加油的总量和两次加油的平均价格；

(2)根据题意，可以用x、y的代数式表示出爸爸两次加油的平均价格，然后和妈妈两次加油的平均价格作差，然后比较大小，即可解答本题．22.解：(1)设A型自行车今年每辆售价为x元，则去年每辆售价为(x+100)元，根据题意得，

60000x+100×(1+20%)=60000x，

解得：x=500，

经检验，x=500是原方程的解，

答：A型自行车今年每辆售价为500元；

(2)解：设购进A型车a辆，则购进B型车共(80−a)辆，

依题意，80−a≤3a，

解得：a≥20，

根据题意，A型车和B型车每辆的进价分别为400元和500元，A型自行车今年每辆售价为500元；B型车每辆的售价为700元，

设利润为y元，则y=(500−400)a+(700−500)(80−a)，

即y=16000−100a，

∵−100<0，

∴当a=20时取得最大值，最大值为16000−100×20=14000(元)，

∴购进A型车20辆，购进B型车共60【解析】(1)设A型自行车今年每辆售价为x元，则去年每辆售价为(x+100)元，根据题意列出分式方程，解方程即可求解；

(2)设购进A型车a辆，则购进B型车共(80−a)辆，求得a≥20，设利润为y元，根据题意，列出函数关系式，根据一次函数的性质即可求解．

本题考查了分式方程的意义，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意找到等量关系，列出方程与不等式是解题的关键．23.解：(1)如图1，CE为所作；

(2)如图2，

【解析】本题考查了基本作图，平行四边形的性质，等腰三角形的性质.熟练掌握平行四边形的性质以及等腰三角形的性质是解题的关键．

(1)连结CE，由DE=DC得到∠DEC=∠DCE，由AD//BC得∠DEC=∠BCE，则∠DCE=∠BCE，即CE平分∠BCD；

(2)连结AC、BD，它们相交于点O，延长EO交BC于F，根据平行四边形中心对称的性质易证△DOE≌△BOF，则DE=BF=AB，同理由(1)可得AF平分∠BAD，则AF为所作．24.∠CAD

DH

∠BAD=∠ADE

△DHE

【解析】解：(1)如图，即为所求作；

(2)解：证明：∵∠BAC的角平分线交BC于点D，

∴∠BAD=∠CAD，

∵EF垂直平分AD，

∴∠AHF=∠DHE=90°，AH=DH，AE=DE，

∴∠BAD=∠ADE，

∴∠CAD=∠ADE，

∴△AHF≌△DHE(ASA)，

∴HE=HF．

故答案为：①∠CAD；②DH；③∠BAD=∠ADE；④△DHE．

(1)分别以A、D为半径画弧，交于两点，这两点所在的直线即为AD的垂直平分线，再标注交点字母即可；

(2)由角平分线的定义，得到∠BAD=∠CAD，再由垂直平分线的性质和等边对等角的性质，得出∠CAD=∠ADE，可证△AHF≌△DHE(ASA)，即可得出结论．

本题考查了作图−基本作图，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的作法和性质是解题关键．25.(1)证明：∵AD/​/BE，

∴∠A=∠B，

在△ACD和△BEC中，

AC=BE∠A=∠BAD=BC，

∴△ACD≌△BEC(SAS)；

(2)解：由(1)知△ADC≌△BCE，

∴DC=CE，

又∵CF平分∠DCE，

∴CF⊥DE，DF=EF，

∴CF垂直平分DE，

∵CF=3，DF=4．

∴DE=2DF=8，

∴S△DCE=DE⋅CF2=【解析】(1)根据AD/​/BE，可以得到∠A=∠B，然后根据SAS即可证明结论成立；

(2)根据(1)中的结果和等腰三角形的性质，可以得到DE的长