2024-2025学年北京四中九年级（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京四中九年级（上）开学数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列式子中，属于最简二次根式的是(

)A.4 B.7 C.202.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是(

)A.2，3，4 B.2，4，7 C.5，6，7 D.5，3.如图，在▱ABCD中，由尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是(

)A.∠DAE=∠BAE

B.AD=DE

C.DE=BE

D.BC=DE4.某运动品牌专营店店主对上一周新进的某款T恤衫销售情况统计如下：尺码39404142434445平均每天销售数量/件1023303528218该店主决定本周进货时，增加一些42码的T恤衫，影响该店主决策的统计量是(

)A.中位数 B.平均数 C.方差 D.众数5.已知关于x的一次函数y=(m−2)x+3，y随x的增大而增大，则m的取值范围是(

)A.m<2 B.m>2 C.m>0 D.m<06.如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=8，则EF的长为(

)A.1 B.2 C.1.5 D.2.57.如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数y2=k2x的图象交于A(−1,2)、A.x<−1或x>1

B.x<−1或0<x<1

C.−1<x<0或x>1

D.−1<x<0或0<x<18.若关于x的一元二次方程kx2−6x+9=0有实数根，则k的取值范围是A.k<1 B.k≤1 C.k<1且k≠0 D.k≤1且k≠09.保障国家粮食安全是一个永恒的课题，任何时候这根弦都不能松.某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民能得到高产、易发芽的种子.该农科实验基地两年前有81种农作物种子，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子.若这两年培育新品种数量的平均年增长率为x，则根据题意列出的符合题意的方程是(

)A.100(1−2x)=81 B.100(1+2x)=81

C.81(1−x)2=10010.把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患.数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象(如图1)，插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象(如图2).下列结论中错误的是(

)

A.当P=440W时，I=2A

B.Q随I的增大而增大

C.I每增加1A，Q的增加量相同

D.P越大，插线板电源线产生的热量Q越多二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。11.一次函数y=kx+b(k≠0)中两个变量x，y的部分对应值如下表所示：x…−4−3−2−10…y…97531…那么关于x的不等式kx+b≥7的解集是______．12.若反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(a,2)和B(b,−2)，则a+b13.某招聘考试分笔试和面试两部分，按笔试成绩占80%，面试成绩占20%计算应聘者的总成绩.小明笔试成绩为80分，面试成绩为85分，那么小明的总成绩为______分.14.我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形ABCD的边AB在轴x上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为

．

15.如图，正方形ABCD的中心在原点O上，且正方形ABCD的四个顶点分别位于两个反比例函数y=3x和y=nx的图象上的四个分支上，则n=16.已知实数x，y满足x2+3x+y−3=0，则x+y的最大值为____．17.如图，四边形ABHK是边长为12的正方形，点C、D在边AB上，且AC=DB=2，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长等于______．18.甲乙两人玩一个游戏：将n(n为奇数)个数排成一列，记作[a1,a2,…,an]，甲，乙轮流从这一列数中删除两个相邻的数，剩余的数成为一列新的数.甲先开始操作，直至这列数被删到只剩下一个数.每次操作时，甲的原则是使最后剩下的数最大化，乙的原则是使最后剩下的数最小化．

(1)对于[1,2,3,4,5]，被删除一次后可以成为[3,4,5]或三、解答题：本题共11小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题6分)

解方程：

(1)x2−6x+1=0；

20.(本小题6分)

某数学兴趣小组同学定期进行课外扩展讨论，并发现了一些有趣的结论.其中他们发现，任意一个△ABC(三边均不相等)，以一边的端点B为顶点在三角形外作角∠CBF，使其等于这条边另一端点C为顶点的三角形的内角∠ACB，射线BF与这条边上的中线AD的延长线相交于一点E，则以A、B、C、E四个点为顶点的四边形是平行四边形.基本思路就是利用三角形全等和平行四边形平行线的判定加以解决.请根据这个思路完成作图和填空．

如图，在△ABC中，点D为BC边上的中点，连接AD．

(1)尺规作图：在BC下方作射线BF，使得∠CBF=∠ACB，且射线BF交AD的延长线于点E(不要求写作法，保留作图痕迹)；

(2)在(1)所作的图中，连接CE，求证：四边形ABEC是平行四边形.(请补全下面的证明过程)

证明：∵点D为BC边上的中点，

∴DC=DB，在△ADC和△EDB中，

∠ACD=∠EBDDC=DB∠ADC=∠EDB

∴△ADC≌______(ASA)，

∴AC=______，

∵∠CBF=∠ACB，

∴______．

∴四边形ABEC是平行四边形．

兴趣小组进一步研究发现，作了上述的相等角之后，当三角形有两边相等时，必然会形成一个特殊的四边形，请根据这个发现完成以下命题：

21.(本小题8分)

如图，在△ABC中，∠CAB=90°，点D，E分别是BC，AC的中点.连接DE并延长至点F，使得EF=DE.连接AF，CF，AD．

(1)求证：四边形ADCF是菱形；

(2)连接BF，若∠ACB=60°，AF=2，求BF的长．22.(本小题8分)

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A(−3,0)，与y轴交于点B，且与正比例函数y=43x的图象交点为C(a,4)，求：

(1)求a的值与一次函数y=kx+b的解析式；

(2)求△BOC的面积；

(3)在y轴上求一点P使△POC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P23.(本小题7分)

在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(1,3)和B(−1,−1)，与过点(−2,0)且平行于y轴的直线交于点C．

(1)求该函数的表达式及点C的坐标；

(2)当x<−2时，对于x的每一个值，函数y=nx(n≠0)的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值且小于−2，直接写出n的取值范围．24.(本小题8分)

如图，利用一面墙(墙EF最长可利用28米)，围成一个矩形花园ABCD.与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口(如图中MN所示，不用砌墙).用砌60米长的墙的材料．

(1)当矩形花园的面积为300平方米时，求AB的长；

(2)能否围成500平方米的矩形花园，为什么？(计算说明)25.(本小题5分)

商品成本影响售价，为避免因成本波动导致售价剧烈波动，需要控制售价的涨跌幅.下面给出了商品售价和成本(单位：元)的相关公式和部分信息：

a.计算商品售价和成本涨跌幅的公式分别为：

售价涨跌幅=当周售价−前周售价前周售价×100%，成本涨跌幅=当周成本−前周成本前周成本×100%第一周第二周第三周第四周第五周成本2550254020售价40m45np

根据以上信息，回答下列问题：

(1)甲商品这五周成本的平均数为______，中位数为______；

(2)表中m的值为______，从第三周到第五周，甲商品第______周的售价最高；

(3)记乙商品这40周售价的方差为s12，若将规定“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”更改为“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，重新计算每周售价，记这40周新售价的方差为s22，则s12______s22(填“26.(本小题8分)

如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道杯”，在这种杯子中加水超过一定量时，水会自动排尽，体现了“满招损，谦受益”的寓意.该小组模仿其原理，自制了一个圆柱形简易“公道杯”，确保向杯中匀速注水和杯中水自动向外排出时，杯中的水位高度的变化都是匀速的.向此简易“公道杯”中匀速注入清水，一段时间后停止，再等水完全排尽.在这个过程中，对不同时间的水位高度进行了记录，部分数值如下：时间(t/s)12345678水位高度(ℎ/cm)2465.755.53根据以上信息，解决下列问题：

(1)描出以表中各组已知对应值为坐标的点；

(2)当t=______s时，杯中水位最高，是______cm；

(3)在自动向外排水开始前，杯中水位上升的速度为______cm/s；

(4)求停止注水时t的值；

(5)从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时______cm/s．

27.(本小题8分)

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BCA=α，点D为线段BC的延长线上一点，将线段BD绕点D顺时针旋转2α得到线段ED．

(1)如图1，当α=30°，且点B与点D关于点C对称时，求证：EC⊥BD；

(2)如图2，若点C关于点D的对称点为点F，连结EF，依题意补全图形，求证：AE⊥EF．

28.(本小题3分)

有如下的一列等式：T0=a0，T1=a1x−a0，T2=a2x2−a1x+a0，T3=a3x3−a2x2+a1x−a29.(本小题7分)

对于平面直角坐标系xOy中的点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，我们称d0(P,Q)=|x1−x2|+|y1−y2|为P和Q两点的“亚距离”.进一步，对于平面中的点R和图形Φ，Ψ，我们给出如下定义：点R到图形Φ上各点的最短亚距离为d，点R到图形Ψ上各点的最短亚距离为d′，若d=d′，则称点R为图形Φ，Ψ的一个“亚等距点”．

如图，已知A(−4,4)，B(−8,0)，C(−4,−4)，D(−2,0)，点A、C、D关于y轴的对称点分别为点A′、C′、D′，将正方形OABC向上平移4个单位得到正方形AEFG．

(1)①d0(A,B)=______；

②在点P1(2,2)，

参考答案1.B

2.D

3.C

4.D

5.B

6.A

7.C

8.D

9.D

10.C

11.x≤−3

12.0

13.81

14.(4,215.−3

16.4

17.4

18.[1,2,5]和[1,2,3]

3

19.解：(1)x2−6x+1=0，

x2−6x=−1，

x2−6x+9=−1+9，

(x−3)2=8，

则x−3=±22，

所以x1=3+22,x2=3−22．

(2)(x−2)20.(1)解由：如图∠CBF即为所求作的角；

(2)证明：∵点D为BC边上的中点，

∴DC=DB，

在△ADC和△EDB中，

∠ACD=∠EBDDC=DB∠ADC=∠EDB，

∴△ADC≌△EDB(ASA)，

∴AC=EB，

∵∠CBF=∠ACB，

∴AC//BE，

∴四边形ABEC是平行四边形．21.(1)证明：∵点E是AC的中点，

∴AE=EC．

∵EF=DE，

∴四边形ADCF是平行四边形．

在△ABC中，∠CAB=90°，点D是BC的中点，

∴AD=BD=DC．

∴四边形ADCF是菱形；

(2)解：过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G．

∴∠BGF=90°，

∵四边形ADCF是菱形，ACB=60°，AF=2，

∴CF=DC=AF=2，∠ACF=∠ACD=60°，

∴∠FCG=180°−∠ACF−∠ACD=60°，

∴∠GFC=90°−∠FCG=30°，

在△CFG中，∠CGF=90°，∠GFC=30°，

∴CG=12CF=1，

∴FG=CF2−CG2=3，

∵BD=CD=2．

22.解：(1)∵点C在正比例函数图象上，

∴43a=4，解得：a=3，

∵点C(3,4)，A(−3,0)在一次函数图象上，

∴代入一次函数解析式可得−3k+b=03k+b=4，解这个方程组得k=23b=2，

∴一次函数的解析式为y=23x+2；

(2)在y=23x+2中，令x=0，解得y=2，

∴B(0,2)

∴S△BOC=12×2×3=3；

(3)∵点C(3,4)，

∴OC=32+42=5，

当OP=OC时，

∵OP=OC=5，

∴P的坐标为(0,5)或(0,−5)，

当CP=CO时，作CK⊥y轴垂足为K，

∵CP=CO，CK⊥y轴，

∴PK=OK，

∵点C(3,4)，

∴OK=4，

∴PK=OK=4，

∴P的坐标是(0,8)，

当PO=PC时，作CK⊥y轴垂足为K，

设P的坐标为，(0,t)

在Rt△PCK中，PC=OP=t，PK=4−t，KC=323.解：(1)将A(1,3)，B(−1,−1)代入y=kx+b(k≠0)中，

得k+b=3−k+b=−1，

解得k=2b=1，

∴函数的表达式为y=2x+1，

∵过点(−2,0)且平行于y轴的直线为x=−2，

∴点C的横坐标为−2，

在y=2x+1中，令x=−2得y=−3，

∴点C的坐标为(−2,−3)；

(2)∵当x<−2时，对于x的每一个值，函数y=nx(n≠0)的值大于函数y=2x+1的值且小于−2，

∴2×(−2)+1≤−2n≤−2，

解得1≤n≤32；

∴n24.解：(1)设矩形花园BC的长为x米，则其宽为12(60−x+2)米，依题意得：

12(60−x+2)x=300，

x2−62x+600=0，

解得：x1=12，x2=50，

∵28<50，

∴x2=50(不合题意，舍去)，

∴x=12，

∴12(60−12+2)=25(米)，

答：AB的长为25米；

(2)不能围成500平方米的矩形花园，理由如下：

若矩形花园面积为500平方米，则：

1225.(1)32，25；

(2)60，四；

(3)解：由题意知，改规定前“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”，改规定后“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之—”，

∴改规定后售价的波动比改规定前的售价波动小，

∴S12>S22，

26.(1)

(2)3；6．

(3)2．

(4)设从开始向外排水到停止注水，ℎ关于t的函数表达式为ℎ=kt+b，

把(3,3)，(5,5.5)代入，

即3=3k+b5.5=5k+b，

解得：k=−14b=274，

∴ℎ=−14t+274，

由表格知，排水的速度为2+(5.75−5.5)÷1=2.25(cm/s)，

∵当t=7时，ℎ=3，

当t=8时，ℎ=0.75，

可求得，停止注水后，ℎ关于t的函数表达式为ℎ=−94t+754，

可得方程组ℎ=−27.证明：(1)如图，连接BE，

∵∠BCA=α=30°，

∴∠BDE=2α=60°，

∵旋转，

∴DB=DE，

∴△BED为等边三角形，

∵点B与点D关于点C对称，

∴BC=DC，

∴EC⊥BD．

(2)方法一：补全图形如图所示，

连接AF，取AF中点H，连接BH、EH、DH，

∵点C关于点D的对称点为点F，

∴D为CF中点，

∵H为AF中点，

∴DH是△ACF的中位线，

∴DH//AC，

∴∠BDH=∠ACB=α，

∵∠BDE=2α，

∴∠EDH=∠BDE−∠BDH=α，

在△BDH和△EDH中，

DB=DE∠BDH=∠EDHDH=DH，

∴△BDH≌△EDH(SAS)，

∴BH=EH，

∵∠ABC=90°，H为AF中点，

∴BH=AH=FH，

∴EH=AH=FH，

∴∠AEH=∠EAH，∠FEH=∠EFH，

根据三角形内角和得∠AEF+∠EAF+∠EFH=180°，

∵∠AEF=∠AEH+∠FEH，

∴2∠AEF=180°，

∴∠AEF=90°，

即AE⊥EF．

方法二：补全图形如图所示，

连接FE延长到点M，使FE=EM，连接AM、AF、MC，延长CB=BQ，连接AQ，

∵点C关于点D的对称点为点F，

∴D为CF中点，

∵FE=EM，

∴E是MF中点，

∴DE是△MCF的中位线，

∴DE//CM，DE=12CM，

∴∠MCB=∠BDE=2α，

∵∠ACB=α，

∴∠ACM=∠BCM−∠ACB=α，

∵AB⊥BC，BC=BQ，

∴AB垂直平分CQ，

∴AQ=AC，

∴∠Q=∠ACB=α，

∴∠Q=∠ACM，

∵BC=BQ，CD=DF，

∴BD=BC+CD=12QF，

∵旋转，

∴BD=ED，

∴QF=CM，

在△AQF和△ACM中，

AQ=AC∠AQF=∠ACMQF=CM，

∴△AQF≌△ACM(SAS)，

∴AM=AF，28.①若x=1，A4=T0+T1+T2+T3+T4=a0+(a1−a0)+(a2−a1+a0)+(a3−a2+a1−a0)+(a4−a3+a2−a1+a0)=a4+a29.(1)根据“亚距离”的定义可知：

①：A(−4,4)，B(−8,0)，

∴d0(A,B)=|−4−(−8)|+|4−0|=4+4=8；

②P1，P3；

(2)如图1所示，分别取M(−4,8)，N(−4,0)，连接MN，设点P为MN上一点，作PQ/​/x轴交AB于Q，则点P到正方形ABCD上一点T的“亚距离”最小时，点T一定会在AQ或AD上，当在AQ上时，过点T作TS⊥QP于S，

∵将正方形OABC向上平移8个单位得到正方形AEFG，

∴E(0,8)，

∵B(8,0)，

∴OB=OE=8，

∴△OBE是等腰直角三角形，

∴∠OBE=45°，

∵PQ//OB，

∴∠TQS=∠OBE=45°，

又∵TS⊥QP，

∴△TSQ是等腰直角三角形，

∴QS=TS，

∴d0(T,P)=|xT−xP|+|yT−yP|=TS+PS=QS+PS=PQ，

∴点P到线段AB上一点的“亚距离”等于PQ，即点P到正方形ABCD的“亚距离”的最小值即为PQ的长，

同理可证明△APQ为等腰直角三角形，

∴PQ=PA，

又∵点P到正方形AEFG上一点的“亚距离”的最小值即为PA的长，

∴点P即为正方形OABC和正方形AEFG的亚等距点，

∴线段AN上的点都是正方形OABC和正方形AEFG的亚等距点，

∴由对称性可知