2022年北师大版新教材高中数学必修第一册第七章概率 教学设计

第七章概率

7.1随机现象与随机事件...........................................................1

7.1.1随机现象................................................................1

7.1.2样本空间...............................................................4

7.1.3随机事件...............................................................6

7.1.4随机事件的运算.........................................................9

7.2古典概率....................................................................12

7.2.1古典概型...............................................................12

7.2.2古典概型的应用........................................................16

7.3频率与概率..................................................................22

7.4事件的独立性................................................................26

7.1随机现象与随机事件

7.1.1随机现象

【教学目标】

1.了解随机现象的概念。

2.会判断随机现象与确定性现象。

【教学重难点】

随机现象与确定性现象的区分。

【教学过程】

1.从自然现象说起

在自然界和现实生活中，一些事物都是相互联系和不断发展的。在它们彼此间的

联系和发展中，根据它们是否有必然的因果联系，可以分成截然不同的两大类：一类

是确定性的现象。这类现象是在一定条件下，必定会导致某种确定的结果。

举例来说，在标准大气压下，水加热到100摄氏度，就必然会沸腾。事物间的这

种联系是属于必然性的。通常的自然科学各学科就是专门研究和认识这种必然性的,

寻求这类必然现象的因果关系，把握它们之间的数量规律

另一类是不确定性的现象。这类现象是在一定条件下，它的结果是不确定的。

举例来说，同一个工人在同一台机床上加工同一种零件若干个，它们的尺寸总会

有一点差异。又如，在同样条件下，进行小麦品种的人工催芽试验，各棵种子的发芽

情况也不尽相同，有强弱和早晚的分别等等。

为什么在相同的情况下，会出现这种不确定的结果呢？这是因为，我们说的“相

同条件”是指一些主要条件来说的，除了这些主要条件外，还会有许多次要条件和偶

然因素又是人们无法事先一一能够掌握的。正因为这样，我们在这一类现象中，就无

法用必然性的因果关系，对个别现象的结果事先做出确定的答案。事物间的这种关系

是属于偶然性的，这种现象叫做随机现象。

2.随机现象的特点：

（1）结果至少有2种；

（2）事先并不知道会出现哪一种结果。

3.判断确定性现象和随机现象

例判断下列现象是确定性现象还是随机现象。

（1）小明在校学生会主席竞选中成功；

（2）掷一枚质地均匀的硬币出现的结果；

（3）某人购买的彩票号码恰好是中奖号码；

（4）标准大气压下，把水加热至100C沸腾；

（5）骑车经过十字路口时，信号灯的颜色。

【点评】抓住判断确定性现象与随机现象的关键——在一定条件下，现象发生的

结果是否可以预知确定，是解决这类问题的方法。

变式迁移1下列现象：

①当x是实数时，x—|x|=2；

②某班一次数学测试，及格率低于75%；

③从分别标有0,1,2,3,9这十个数字的纸团中任取一个，取出的纸团是

偶数；

④体育彩票某期的特等奖号码。

其中是随机现象的是（）

A.①©③B.C.②③④D.①②®

【课堂小结】

自然界中的现象包括确定性现象和随机现象，随机现象的结果至少有两种，并且

事先并不知道会出现哪一种结果。

【课堂检测】

一、选择题

1.下列现象中不是随机现象的是（）

A.某人购买福利彩票中奖

B.从10个杯子（其中8个正品，2个次品）中任取2个，2个均为次品

C.在标准大气压下，水加热到1（）（）C沸腾

D.某人投篮10次，投中8次

2.下列现象中，随机现象的个数为（）

①明天是阴天；

②方程f+2r+5=0有两个不相等的实根；

③明年长江武汉段的最高水位是29.8米；

④一个三角形的大边对大角，小边对小角。

A.1B.2C.3D.4

3.从一副扑克牌中抽取5张红桃，4张梅花，3张黑桃，从中一次随机抽出10

张，恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到，这种事情（）

A.可能发生B.不可能发生

C.很可能发生D.必然发生

4.在10件同类产品中，有8件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件的必然

现象是（）

A.3件都是正品B.至少有1件是次品

C.3件都是次品D.至少有1件是正品

5.一个家庭中有两个小孩，则他（她）们的性别情况可能为（）

A.男女、男男、女女B.男女、女男

C.男男、男女、女男、女女D.男男、女女

二、填空题

6.下面给出了四种现象：

①若xWR,则/<0；②没有水分，种子发芽；③某地2月3日下雪；④若平面

aC\°=m,n//a,〃〃£,则〃

其中是确定性现象的是o（填序号）

7.（1）“从自然数中任取两数，其中一个是偶数"，这是现象；

（2）“从自然数中任取连续两数，乘积是偶数"，这是现象；

（3）“从自然数中任取两数，差为,这是现象。

7.1.2样本空间

【教学目标】

理解样本点和样本空间，会求所给试验的样本点和样本空间.

【教学重难点】

样本空间和样本点.

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

样本点和样本空间的概念是什么？

二、基础知识

样本点和样本空间

(1)定义：我们把随机试验少的每个可能的基生结果称为样本点，全体样本点

的集合称为试验£的样本空间.

(2)表示：一般地，我们用。表示样本空间，用3表示样本点.如果一个随

机试验有〃个可能结果必，叫，…，3°,则称样本空间0=｛必，必，…，以｝

为有限样本空间.

三、合作探究

样本点与样本空间：

【例】同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为X,转盘②得到的数

为y,结果为(x,y).

(1)写出这个试验的样本空间；

(2)求这个试验的样本点的总数；

(3)“x+y=5”这一事件包含哪几个样本点？“水3且呢?

(4)“0=4”这一事件包含哪几个样本点？“x=y”呢？

【解】⑴。={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),

(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.

(2)样本点的总数为16.

(3)。+尸5”包含以下4个样本点：(1,4),(2,3),(3,2),(1,4)；“水3

且y>l”包含以下6个样本点：(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4).

(4)“打=4”包含以下3个样本点：(1,4),(2,2),(4.1)；”才=/包含

以下4个样本点:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).

【教师小结】

确定样本空间的方法

(1)必须明确事件发生的条件；

(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案.特别要注意结果出现的机会是

均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏.

【课堂检测】

1.写出下列试验的样本空间：

(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)_______;

(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数_______.

解析：(1)对于甲队来说，有胜、平、负三种结果；

(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，其次品的个数可能为0,1,2,

3,4,不可能再有其他结果.

答案：(1)。={胜，平，负}(2)。={0,1,2,3,4]

2.做试验”从0,1,2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构

成有序数对(3才为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”.

(1)写出这个试验的样本空间；

(2)求这个试验样本点的总数；

(3)用集合表示“第1次取出的数字是2”这一事件.

解：(1)这个试验的样本空间。={(0,1),(0,2),(1,0),(1,2),(2,0),

⑵1)}.

(2)易知这个试验的基本事件的总数是6.

(3)记“第1次取出的数字是2”这一事件为力，则/={(2,0),(2,1)}.

7.1.3随机事件

【教学目标】

1.知识技能目标：了解必然事件、不可能事件、随机事件的特点。

2.数学思考目标：学生经历体验、操作、观察、归纳、总结的过程，发展学生

从纷繁复杂的表象中，提炼出本质特征并加以抽象概括的能力。

3.解决问题目标：能根据随机事件的特点，辨别哪些事件是随机事件。

4.情感态度目标：引领学生感受随机事件就在身边，增强学生珍惜机会，把握

机会的意识。

【教学重点】

随机事件的特点。

【教学难点】

判断现实生活中哪些事件是随机事件。

【教学过程】

一、活动一

问题情境

摸球游戏

三个不透明的袋子均装有10个乒乓球。挑选多名同学来参加游戏。

游戏规则

每人每次从自己选择的袋子中摸出一球，记录下颜色，放回，搅匀，重复前面的

试验。每人摸球5次。按照摸出黄色球的次数排序，次数最多的为第一名，其次为第

二名，最少的为第三名。

师生行为

教师事先准备的三个袋子中分别装有10个白色的乒乓球；5个白色的乒乓球和5

个黄色的乒乓球；10个黄色的乒乓球。

学生积极参加游戏，通过操作和观察，归纳猜测出在第1个袋子中摸出黄色球是

不可能的，在第2个袋子中能否摸出黄色球是不确定的，在第3个袋子中摸出黄色球

是必然的。

教师适时引导学生归纳出必然发生的事件、随机事件、不可能发生的事件的特点。

设计意图

通过生动、活泼的游戏，自然而然地引出必然发生的事件、随机事件和不可能发

生的事件，不仅能够激发学生的学习兴趣，并且有利于学生理解，能够巧妙地实现从

实践认识到理性认识的过渡。

二、活动二

问题情境

指出下列事件中哪些是必然发生的，哪些是不可能发生的，哪些是随机事件？

1.通常加热到100。（2时，水沸腾；

2.姚明在罚球线上投篮一次，命中；

3.掷一次骰子，向上的一面是6点；

4.度量三角形的内角和，结果是360。；

5.经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯；

6.某射击运动员射击一次，命中靶心；

7,太阳东升西落；

8.人离开水可以正常生活100天；

9.正月十五雪打灯；

10.宇宙飞船的速度比飞机快。

师生行为

教师利用多媒体课件演示问题，使问题情境更具生动性。

学生积极思考，回答问题，进一步夯实必然发生的事件、随机事件和不可能发生

的事件的特点。在比较充分的感知下，达到加深理解的目的。

教师在学生完成问题后应注意引导学生发现在我们生活的周围大量地存在着随

机事件。

设计意图

引领学生经历由实践认识到理性认识再重新认识实践问题的过程，同时引入一些

常识问题，使学生进一步感悟数学是认识客观世界的重要工具。

三、活动三

问题情境

情境1

5名同学参加讲演比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序。签筒中有5根形状、

大小相同的纸签，上面分别标有出场的序号1,2,3,4,5.小军首先抽签，他在看

不到纸签上的数字的情况下从签筒中随机地抽取一根纸签。

情境2

小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数。

在具体情境中列举不可能发生的事件、必然发生的事件和随机事件。

师生行为

学生首先独立思考，再把自己的观点和小组其他同学交流，并提炼出小组成员列

举的主要事件，在全班发布。

设计意图

开放性的问题有利于培养学生的发散性思维和创新思维，也有利于学生加深对学

习内容的理解。

四、活动四

问题情境

请你列举一些生活中的必然发生的事件、随机事件和不可能发生的事件。

师生行为

教师引导学生充分交流，热烈讨论。

设计意图

随机事件在现实世界中广泛存在。通过让学生自己找到大量丰富多彩的实例，使

学生从不同侧面、不同视角进一步深化对随机事件的理解与认识。

五、抽象归纳

一般地，把试验E的样本空间Q的子集称为E的随机事件，简称事件，常用A,

B,C等表示。在每次试验中，当一个事件发生时，这个子集中的样本点必出现一个；

反之，当这个子集中的一个样本点出现时，这个事件必然发生。

样本空间。是其自身的子集，因此。也是一个事件；又因为它包含所有的样本

点，每次试验无论哪个样本点w出现，C都必然发生，因此称C为必然事件。

空集也是C的一个子集，匕以看作一个事件；由于它不包含任何样本点，它在

每次试验中都不会发生，故称为不可能事件。

设计意图

从具体问题到抽象归纳，提升学生抽象总结能力。

7.1.4随机事件的运算

【教学目标】

1.了解事件间的相互关系.

2.理解互斥事件、对立事件的概念.

【教学重难点】

1.事件间的相互关系.

2.互斥事件、对立事件.

【教学过程】

一、问题导入

某班数学建模课分成5个小组（编号为1,2,3,4,5）采用合作学习的方式进行，

课堂上教师会随机选择一个小组的成果进行展示。

不难看出，这一试验的样本空间可记为C=

记事件E={1},F={1,2},G={1,3},H={1,2,3},I={4,5},说出每一事件

的实际意义，并尝试理解上述各事件之间的关系.

二、新知探究

1.互斥事件与对立事件的判断

【例】某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下

列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件.

（1）恰有1名男生与恰有2名男生；

（2）至少有1名男生与全是男生；

（3）至少有1名男生与全是女生；

（4）至少有1名男生与至少有1名女生.

【解】判断两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发生；判别两个互斥事

件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生.

（1）因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥

事件；当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件.

（2）因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们

不是互斥事件.

（3）因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由

于它们必有一个发生，所以它们是对立事件.

（4）由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”

同时发生，所以它们不是互斥事件.

2.事件的运算

【例】盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A={3个球中

有1个红球2个白球},事件8={3个球中有2个红球1个白球},事件C={3个球

中至少有1个红球},事件。={3个球中既有红球又有白球}.

求：（1）事件。与A.8是什么样的运算关系？

（2）事件。与A的交事件是什么事件？

【解】（1）对于事件。，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白

球，故O=A+£

（2）对于事件C,可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个

均为红球，故CA=A.

【教师总结】事件的关系及运算:

定义表示法图示

一般地，对于

事件A与事件B,如

果事件A发生，则

8/4或

包含关系事件B一定发生,

AQB）

称事件B包含事件

A（或事件A包含于

事件6）

给定事件A,8,

由所有A中的样本

并事件点与中的样本点4+8（或AUB）

BCZfe

组成的事件称为A

与B的赳（或法）

给定事件4B,

由A与5中的公共Q（40^）»

交事件48（或AfW）

样本点组成的事件

称为A与8的积（或

交)

给定事件

若事件A,B不能同(或

互斥事件

时发生,则称4与B=。)

互斥

给定样本空间

Q与事件4,由。

中所有不属于A的P(A)+P(A)

对立事件

样本点组成的事件=1

称为4的对立事件

记为A

三、课堂检测

1.掷一枚质地均匀的骰子，记事件M={出现的点数是1或2},事件N={出现

的点数是2或3或4},则下列关系成立的是()

A.M+N={出现的点数是2}

B."N={出现的点数是2}

C.MJN

D.M=N

解析：选B.M+N={出现的点数是1或2或3或4},MN={出现的点数是2},

A不正确，B正确；当出现的点数是1时，M发生，N不发生，故C,D都不正确.

2.若A与B为互斥事件，则()

A.P(A)+尸(B)<1B.P(A)+尸(B)>1

C.P(A)+尸(B)=1D.P(A)+P(B)<1

解析：选D.若A与8为互斥事件，则P(A)+P(B)W.故选D.

3.从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球，则事件“取出1个红球

和2个白球”的对立事件是()

A.取出2个红球和1个白球

B.取出的3个球全是红球

C.取出的3个球中既有红球也有白球

D.取出的3个球中不止一个红球

解析:选D.从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球可能的情况有:

“3个红球”“1红2白”“2红1白”，所以事件“取出1个红球和2个白球”的

对立事件是“3红或是2红1白”即“3个球不止一个红球”.故选D.

4.从一箱苹果中任取一个，如果其质量小于200克的概率为0.2,质量在［200,

300］内的概率为0.5,那么质量超过300克的概率为.

解析：设质量超过300克的概率为P,因为质量小于200克的概率为0.2,质量在

［200,300］内的概率为0.5,所以0.2+0.5+尸=1,所以尸=1-0.2—0.5=0.3.

答案：0.3

7.2古典概率

7.2.1古典概型

【教学目标】

1.理解古典概型的定义

2.会应用古典概型的概率公式解决实际问题

【教学重难点】

1.古典概型的定义。

2.古典概型的概率公式。

【教学过程】

1.古典概型的判断

屈m判断下列试验是不是古典概型：

(1)口袋中有2个红球、2个白球，每次从中任取一球，观察颜色后放回，直到取

出红球；

(2)从甲、乙、丙、丁、戊5名同学中任意抽取1名担任学生代表；

(3)射击运动员向一靶子射击5次，脱靶的次数。

【解】(1)每次摸出1个球后，放回袋中，再摸1个球。显然，这是有放回抽

样，依次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去，即所有可能结果有无限个,

因此该试验不是古典概型。

(2)从5名同学中任意抽取1名，有5种等可能发生的结果：抽到学生甲，抽到

学生乙，抽到学生丙，抽到学生丁，抽到学生戊。因此该试验是古典概型。

(3)射击的结果：脱靶0次，脱靶1次，脱靶2次，…，脱靶5次。这都是样本

点.，但不是等可能事件。因此该试验不是古典概型。

【教师小结】古典概型的判断方法

一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征，即有限

性和等可能性，因而并不是所有的试验都是古典概型。

2.古典概型的计算

距(1)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫。从这

5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为

()

A.1B.|

C.|D.|

(2)(2018.高考江苏卷)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去

参加活动，则恰好选中2名女生的概率为o

【解析】(1)从5支彩笔中狂取2支不同颜色的彩笔，样本空间为：｛(红，黄)，

(红，蓝)，(红，绿)，(红,紫),(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫),

(绿，紫)｝。而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，

(红，紫)，共4个样本点，故所求概率p=三=1

(2)记2名男生分别为A,B,3名女生分别为a,b,c,则从中任选2名学生样本

空间为｛(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b)f(B,c),(a,b),(a,c),

(b,c)｝,共10个样本点，其中恰好选中2名女生有(mb),(a,c),0,c),共3个

样本点，故所求概率为东

3

【答案】(DC(2)而

【教师小结】求古典概型概率的步骤

(1)判断是否为古典概型。

(2)求样本空间包含的样本点个数“

(3)算出事件A中包含的样本点个数加。

(4)算出事件4的概率，即P(A)=*

【课堂总结】

1,古典概型

一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限性),

而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等

(简称为等可能性),则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型。

2.古典概型概率计算公式

假设样本空间含有〃个样本点，事件C包含〃?个样本点，则P(O=T。

■名师点拨

古典概型的判断

一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性

和等可能性。并不是所有的试验都是古典概型。

下列三类试验都不是古典概型：

(1)基本事件个数有限，但非等可能。

(2)基本事件个数无限，但等可能。

(3)基本事件个数无限，也不等可能。

【课堂检测】

1.下列关于古典概型的说法中正确的是()

①试验中所有样本点有有限个；

②每个事件出现的可能性相等：

③每个样本点出现的可能性相等；

④样本点的总数为小随机事件A若包含4个样本点，则P(A)=］。

A.②@B.①③④

C.0@D.③④

解析：选B.根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确，故

选B.

2.下列是古典概型的是()

①从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小；

②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率；

③近三天中有一天降雨的概率；

④10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率。

A.①@③④B.①②④

C.®®®D.①®®

解析：选B.①②④为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等

可能性，而③不适合等可能性，故不为古典概型。

3.从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个

两位数大于30的概率为（）

A.gB.1

11

CJ4D5

解析：选A.从1,2,3,4中任取两个不同数字构成一个两位数共有12种不同

取法，其中大于30的为31,32,34,41,42,43共6种。故尸=+=当

4.据报道：2019年我国高校毕业生达834万人，创历史新高，就业压力进一步

加大。若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的

机会均等，则甲或乙被录用的概率为o

解析：记事件A：甲或乙被录用。从五人中录用三人，样本点芍（甲，乙，丙）、（甲，

乙，1）、（甲，乙，戊）、（甲，丙，丁）、（甲，丙，戊）、（甲，戊）、（乙，丙，丁）、

（乙，丙，戊）、（乙，丁，戊）、（丙，丁，戊），共10种可能，而A的对立事件A仅有

（丙，丁，戊）一种可能，所以A的对立事件A的概率为尸（4）=击，所以P（4）=1-P（A）

__9_

-To°

答案:卷

7.2.2古典概型的应用

【第一课时】

【教学目标】

1.知识与技能：

（1）进一步正确理解占典概型的两大特点，能会从实际问题中识别古典概型模

型.

（2）进一步掌握古典概型的概率计算公式：P（A）=A包含的基本事件个数.

总的基本事件个数

2.过程与方法：

能运用古典概型的知识解决一些实际问题，通过对现实生活中具体的概率问题的

探究，感知应用数学解决问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推

理能力；能运用树状图复杂背景的古典概型基本事件个数的计算

3.情感态度与价值观：通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实

践的辩证唯物主义观点.

【教学重难点】

正确理解掌握古典概型及其概率公式，古典概型中计算比较复杂的背景问题.

【教学过程】

一、温故知新

1.古典概型的概念

（1）试验的所有可能结果（即基本事件）只有有限个,每次试验只出现其中的一个

结果；

（2）每一个结果出现的可能性相同.

p._MA包含的基本事件数）

2.古典概型的概率公式-〃（基本事件总数）-

3.列表法和树状图

二、合作探究

1.在古典概型中，同一个试验中基本事件的个数是不是永远一定的呢？

2.同样掷一粒均匀的骰子

（1）若考虑向上的点数是多少,则可能出现1,2,3,4,5,6点，共有6个基本事件.

（2）若考虑向上的点数是奇数还是偶数,则可能出现奇数或偶数，共2个基本事

件.

(3)若把骰子的6个面分为3组(如相对两面为一组)，分别涂上三种不同的颜色,

则可以出现3个基本事件.

从上面的例子,可以看出同样一个试验,从不同角度来看,建立概率不同模型,基

本事件可以各不相同.

一般来说,在建立概率模型时把什么看作是基本事件,即试验结果是人为规定的,

也就是说,对于同一个随机试验,可以根据需要,建立满足我们要求的概率模型

3.考虑本课开始提到问题:袋里装有2个白球和2个红球,这4个球除了颜色外

完全相同,4个人按顺序依次从中摸出一个球.试计算第二个人摸到白球的概率.

用A表示事件“第二个摸到红球”，把2个白球编上序号1,2；2个红球也编

上序号1,2

模型L4人按顺序依次从中摸出一个球的所有结果，可用树状图直观表示出来

总共有24种结果，而第二个摸到红球的结果共有12种.P(A)=12/24=0.5

模型2利用试验结果的对称性，因为是计算“第二个人摸到红球”的概率，我们

可以只考虑前两个人摸球的情况，这个模型的所有可能结果数为12,第二个摸到白球

模型3只考虑球的颜色，4个人按顺序摸出一个球所有可能结果模型3的所有可

能结果数为6,第二个摸到白球的结果有3种：P（A）=3/6=0.5

模型3只考虑第二个人摸出的球情况他可能摸到这4个球中的任何一个，第二个

摸到白球的结果有2种P（A）=2/4=0.5

评析：

法（一）利用树状图列出了试验的所有可能结果（共24种），可以计算4个人依次

摸球的任何一个事件的概率；

法（二）利用试验结果的对称性,只考虑前两个人摸球的情况,所有可能结果减少

为12种

法（三）只考虑球的颜色，对2个白球不加区分，所有可能结果减少6种

法（四）只考虑第二个人摸出的球的情况,所有可能结果变为4种,该模型最简单!

【例】将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，问：

（1）共有多少种不同的结果？

（2）两数的和是3的倍数的结果有多少种？

（3）两数和是3的倍数的概率是多少？

解：（1）将骰子抛掷1次，它出现的点数有1,234,5,6这6中结果。

先后抛掷两次骰子，第一次骰子向上的点数有6种结果，第2次又都有6种可能

的结果，于是一共有6x6=36种不同的结果；

（2）第1次抛掷，向上的点数为1,2,3,4,5,6这6个数中的某一个，第2次抛掷

时都可以有两种结果，使向上的点数和为3的倍数（例如：第一次向上的点数为4,

贝！当第2次向上的点数为2或5时,两次的点数的和都为3的倍数），于是共有6x2=12

种不同的结果.

（3）记“向上点数和为3的倍数”为事件A,则事件4的结果有12种，因为抛

两次得到的36中结果是等可能出现的，所以所求的概率为尸（为="=2

363

答：先后抛掷2次，共有36种不同的结果；点数的和是3的倍数的结果有12种；

点数和是3的倍数的概率为

3

说

明：也可以利用图表来数基本事件的个数：

第

二678101112

次

5-(6''7

抛891011

掷45678910

后

6'

向345789

上2345678

的/、'&

点12'347

数

123456

第一次抛掷后向上的点数

1.古典概型的解题步骤；

2.复杂背景的古典概型基本事件个数的计算.

【第二课时】

【教学目标】

1.知识与技能：通过实例，理解互斥事件和对立事件的概念，了解互斥事件的概

率加法公式，并能简单应用。

2.过程与方法：发现法教学，学生通过在抛骰子的试验中获取数据，归纳总结

试验结果，发现规律，得到互斥事件的概率加法公式。通过正确的理解，准确利用公

式求概率。

3.情感态度与价值观：通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识，体会

数学知识与现实世界的联系；体会数学思维的严密性，发展条理清晰的思考表达能力、

提高分析能力、解决问题的能力。

【教学重难点】

互斥事件、概率的加法公式及其应用。

【教学过程】

一、新课引入：

（1）日常生活中，我们总有些事件不同时进行。（互斥事件）

（2）从字面上理解“互斥事件”。

基本概念:不可能同时发生的个事件叫做互斥事件。

A、3互斥，即事件A、3不可能同时发生。（学生自己举例理解）

二、实例分析

抛掷一枚骰子一次,下面的事件A与事件B是互斥事件吗？

（1）事件A:“点数为2”，事件B二“点数3”

（2）事件A:“点数为奇数”，事件B:“点数为4”

（3）事件A二“点数不超过3”，事件B二“点数超过3”

（4）事件A二“点数为5”，事件B二“点数超过3”

解：互斥事件：（1）（2）（3）

但（4）不是互斥事件，当点为5时，事件A和事件B同时发生

进一步利用集合意义理解互斥事件；

从集合角度来看，A、8两个事件互斥，则表示人、8这两个事件所含结果组成

的集合的交集是空集。A与B有相交，则A与B不互斥。

三、抽象总结

事件和的意义:事件4、8的和记作4J8,表示事件A、B至少有一个发生。

当A、B为互斥事件时，事件AU8是由“4发生而8不发生”以及“B发生而A

不发生”构成的。

概率加法公式：在一个随机实验中，如果随机事件A和B是互斥事件,那么有P(A

UB)=P(A)+P(B)o

【说明】

(1)互斥事件的概率等于互斥事件分别发生的概率之和，这就是概率的加法公

式，也称互斥事件的概率的加法公式.

(2)特别地，P(A)+P(7)=PG4U，)=1,所以：PCA)=1-P(A)O

(3)拓展推广：一般地，如果事件A”Az,…，4彼此互斥，那么事件发生(即

A”A2,人中有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即

P(A1UA2U-An)=P(A1)+P(A2)+・・・+P(AJ

四、巩固练习

1.从一箱产品中随机地抽取一件产品，设A=："抽到的是一等品”，B抽到的

是二等品”，C="抽到的是三等品”.且(A)=0.7,P(B)=0.1,P(C)=0.05.

求下列事件的概率：

(1)事件D二“抽到的是一等品或三等品”

(2)事件E二“抽到的是二等品或三等品”

【解】

(1)事件D即事件AUC,

因为事件A:“抽到的是一等品”和事件C="抽到的是三等品”是互斥事件，由互

斥事件的概率加法公式得：P(D)=P(AUC)=P(A)+P(C)=0.7+0.05=0.75.

(2)事件E即事件BUC,因为事件B二“抽到的是二等品”和事件C="抽到的

是三等品”是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式，P(E)二P(BU

C)=P(B)+P(C)=0.1+0.05=0.15.

2.一个袋中装有4个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.

⑴从袋中随机抽取2个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；

⑵先从袋中随机取1个球，该球的编号为m,将球放回袋中，再从袋中随机取1

个球，该球的编号为n,求水小+2的概率.

【解】(1)从袋子中随机取2个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1

和3,1和4,2和3,2和4,3和4,共6个.

从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件有1和2,1和3,共2个.

91

因此所求事件的概率为&=鼻.

63

(2)先从袋中随机取1个球，记下编号为m,放回后，再从袋中随机取1个球，

记下编号为n,其一切可能的结果(m,n)有：

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),

(3,3),(3,4),(4,1)(4,2),(4,3),(4,4),共16个.

满足条件nNin+2的结果为果为),(1,4),(2,4),共3个.

所以满足条件n2m+2的事件的概率P=—,故满足条件n〈m+2的事件的概率

为一=一得笔.

7.3频率与概率

【教学目标】

在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义

以及频率与概率的区别。

【教学重难点】

频率与概率的区别。

【教学过程】

一、概率概念的理解

瞰』下列说法正确的是()

A.由生物学知道生男生女的概率约为0.5,一对夫妇先后生两小孩，则一定为

一男一女

B.一次摸奖活动中，中奖概率为0.2,则摸5张票，一定有一张中奖

C.10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大

D.10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1

【解析】一对夫妇生两小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女),

所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2,当摸5张票时，可能都中

奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中

有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的

概率都是0.1,所以C不正确，D正确。

【答案】D

【教师小结】

(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事

件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值。

(2)由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但

随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映。

(3)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系。对具体的问题要从

全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件。

二、概率与频率的关系及求法

谢2某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示:

射击次数〃10205010()200500

击中靶心次数m8194492178455

击中靶心的频率;

(1)填写表中击中靶心的频率；

(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？

【解】(1)表中依次填入的数据为：0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.

(2)由于频率稳定在常数0.9附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是

0.9.

【教师小结】

(1)频率是事件4发生的次数m与试验总次数〃的比值，利用此公式可求出它们

的频率。频率本身是随机变量，当〃很大时，频率总是在一个稳定值附近左右摆动,

这个稳定值就是概率。

(2)解此类题目的步骤是：先利用频率的计算公式依次计算出频率，然后用频率

估计概率。

三、概率的应用

阿叵为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出2000

尾鱼，给每尾鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库。经过适当的时间，让其和

水库中的其他鱼充分混合，再从水库中捕出500尾，查看其中有记号的鱼，有40尾，

试根据上述数据，估计水库中鱼的尾数。

【解】设水库中鱼的尾数是〃，现在要估计〃的值，假定每尾鱼被捕的可能性

是相等的，从水库中任捕一尾鱼，设事件4=｛带记号的鱼｝,则P(A)=半。

第二次从水库中捕出500尾鱼，其中带记号的有40尾，即事件4发生的频数为

40,由概率的统计定义知P(A)其小，即2譬生黑，解得心25000.

JvUnJUU

所以估计水库中的鱼有25000尾。

【教师小结】

(1)由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率是频率的近似值与稳定

值，所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率。

(2)实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生

物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等。

【课堂总结】

1.概率的统计定义

一般地，如果在n次重复进行的试验中，事件4发生的频率为余则当〃很大时，

可以认为事件4发生的概率P(A)的估计值为々此时0<P(A)<l.

2.频率与概率的关系

概率可以通过频率来“测量”或者说频率是概率的一个近似，概率从数量上反映了

一个事件发生的可能性的大小。

■名师点拨

名称区别联系

本身是随机的，在试验之前无法(1)频率是概率的近似值，

频率确定，大多会随着试验次数的改变而随着试验次数的增加，频率会

改变。做同样次数的重复试验，得到越来越接近概率

的频率值也可能会不同(2)在实际问题中，事件的

足一个［0,1］中的确定值，不随概率通常情况下是未知的，常

概率

试验结果的改变而改变用频率估计概率

【课堂检测】

1.在给病人动手术之前，外科医生会告知病人或家属一些情况，其中有一项是

说这种手术的成功率大约是99%o下列解释正确的是()

A.100个手术有99个手术成功，有1个手术失败

B.这个手术一定成功

C.99%的医生能做这个手术，另外1%的医生不能做这个手术

D.这个手术成功的可能性大小是99%

解析：选D.成功率大约是99%,说明手术成功的可能性大小是99%,故选D.

2.下列叙述中的事件最能体现概率是0.5的是()

A.抛掷一枚骰子10次，其中数字6朝上出现了5次，抛掷一枚骰子数字6向

上的概率

B.某地在8天内下雨4天，该地每天下雨的概率

C.进行10()00次抛掷硬币试验，出现5001次正面向上，那么抛掷一枚硬币正

面向上的概率

D.某人买了2张体育彩票，其中一张中500万大奖，那么购买一张体育彩票中

500万大奖的概率

解析：选C.A,B,D中试验次数较少，只能说明相应事件发生的频率是0.5.

3.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20000部汽车

的相关信息，时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的

挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是