充要条件 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.4.2充要条件

一、充要条件原命题(原命题的)逆命题“若p，则q”“若q，则p”原命题

若两直线平行，则同位角相等逆命题

若同位角相等，则两直线平行一、充要条件思考1(教材P20改编)

判断下列命题及其逆命题的真假？(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则ac<0.(4)若x>y，则x2>y2.原命题逆命题真真真真假假假假

命题真假推出关系条件关系p⇔qp是q的充要条件(等价条件)“若p，则q”为真命题“若q，则p”为真命题“若p，则q”为真命题“若q，则p”为假命题“若p，则q”为假命题“若q，则p”为真命题p⇒q，q⇏pp是q的充分不必要条件p⇏q，q⇒pp是q的必要不充分条件“若p，则q”为假命题“若q，则p”为假命题p⇏q，q⇏pp是q的既不充分也不必要条件一、充要条件例1(教材P21例3改编)下列各题中，

判断p是q的什么条件?(1)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；(3)p：xy>0，q：x>0，y>0；(4)p：x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0(a≠0).p⇒q，q⇏p(充分不必要条件)p⇔q(充要条件)p⇏q，q⇒p(必要不充分条件)p⇔q(充要条件)训练1(教材P22习题2)下列各题中，

判断p是q的什么条件?(1)p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等边三角形；(2)p：一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，q：b2-4ac≥0(a≠0)；(3)p：a∈P∩Q，q：a∈P；(4)p：a∈P∪Q，q：a∈P；(5)p：x>y，q：x2>y2.p⇏q，q⇒p(必要不充分条件)p⇔q(充要条件)p⇒q，q⇏p(充分不必要条件)p⇏q，q⇒p(必要不充分条件)p⇏q，q⇏p(既不充分也不必要条件)一、充要条件思考2

若p⇔q，则p是q的充要条件，p唯一吗？请举例说明.思考3(教材P21探究)

你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？

①四边形的两组对边分别相等；

②四边形的一组对边平行且相等；③四边形的两条对角线互相平分；

④四边形的两组对角分别相等.思考4

平行四边形的定义是什么？两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.(也是“四边形是平行四边形”的充要条件)“四边形是平行四边形”的每个充要条件都从不同角度刻画了“平行四边形”这个概念.思考5

你能利用“两个三角形全等”的充要条件，给出“三角形全等”的其他定义吗？结论

数学定义是从充分性与必要性两个方向刻画数学对象的，不同的充要条件从不同的

角度刻画了一个数学对象.一、充要条件与集合的关系例2下列各题中，

p是q的什么条件?(x∈R)(1)p：x>3，

q：x>2；(2)p：(x－1)·(x－2)＝0，q：x＝1；(3)p：-1≤x≤5，q：x≥-1且x≤5；

(4)p：x>0，

q：x<-2.p⇒q，q⇏p；思考6

观察例2，你能否用集合间的关系进行表示.

定义Venn图集合表示p⇒q，q⇏p设P={x|p(x)}，Q={x|q(x)}P⫋Q

p⇏q，q⇒pQ⫋Pp⇔q

p⇏q，q⇏pP=Q

无包含关系小范围⇒大范围p⇏q，q⇒p；p⇔q；p⇏q，q⇏p.二、充要条件与集合的关系例3(同步导练P19例3)若p：x2+x-6=0是q：ax+1=0(a≠0)的必要不充分条件，则实数a的值为

__________.

由题知，Q⫋P训练2(同步导练P19训练3)一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要

条件是()

A.a<0B.a>0C.a<-1D.a<1C三、充要条件的证明例4(教材P23习题5)设a，b，c∈R.证明：a2+b2+c2=ab+ac+bc的充要条件是a=b=c.①充分性(已知a=b=c，证明a2+b2+c2=ab+ac+bc)若a=b=c，则a2+b2+c2=aa+bb+cc=ab+ac+bc②必要性(已知a2+b2+c2=ab+ac+bc，证明a=b=c)若a2+b2+c2=ab+ac+bc，则2(a2+b2+c2)=2ab+2ac+2bc，则(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0，所以a=b=c.证明：a=b=c是a2+b2+c2=ab+ac+bc的充要条件.结论

①证明p