3.1.2　第2课时　函数的表示法

第2课时函数的表示法(2)第三章3.1.2函数的表示法1.掌握利用图象的变换法作图.2.会求函数的解析式.学习目标一、函数图象的画法问题除了我们所熟悉“列表、描点、连线”作图，还有哪些作图的方法？提示平移变换、对称变换、翻折变换.例1

画出函数y＝(x－2)2的图象.解方法一列表：x－1－0.500.511.522.533.544.55y96.2542.2510.2500.2512.2546.259描点、连线，图象如图所示.方法二用图象变换法：先作出函数y＝x2的图象，然后把它向右平移2个单位长度，就得到函数y＝(x－2)2的图象，如图所示.反思感悟画函数图象的两种常见方法(1)描点法：列表、描点、连线.(2)变换作图法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、对称变换、翻折变换等.知识梳理1.函数图象的平移变换(1)左加右减：函数y＝f(x)的图象沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到函数y＝f(x＋a)的图象.(2)上加下减：函数y＝f(x)的图象沿y轴方向向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到函数y＝f(x)＋b的图象.跟踪训练1

函数y＝

的大致图象是√解析方法一

y＝

的定义域为{x|x≠－1}，排除C，D，当x＝0时，y＝0，排除B.由函数的平移性质可知A正确.二、求函数的解析式则x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1).所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1).(2)已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)；解设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，所以f(x)＝x2－2x－1.(3)已知函数f(x)对于任意的x都有2f

＋f(x)＝x(x≠0)，求f(x).反思感悟求函数解析式的四种常用方法(1)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可.(2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可.(3)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可.(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解.提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性.跟踪训练2

(1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)；解方法一

(配凑法)：∵f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，∴f(x)＝x2－5x＋6.方法二

(换元法)：令t＝x＋1，则x＝t－1，∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，即f(x)＝x2－5x＋6.(2)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，求f(x).解设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.又f(f(x))＝4x＋8，∴a2x＋ab＋b＝4x＋8，1.知识清单：(1)函数的图象.(2)求函数解析式.2.方法归纳：待定系数法、换元法、配凑法、数形结合法.3.常见误区：求函数解析式时易忽视定义域.课堂小结随堂演练1.若二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，并过点(0,0)，则此二次函数的解析式可能为A.f(x)＝x2－1 B.f(x)＝－(x－1)2＋1C.f(x)＝(x－1)2＋1 D.f(x)＝(x－1)2－11234√解析设f(x)＝(x－1)2＋c，由于点(0,0)在二次函数图象上，∴f(0)＝(0－1)2＋c＝0.∴c＝－1，∴f(x)＝(x－1)2－1.12342.已知函数f(2x－1)＝4x＋6，则f(x)的解析式是A.f(x)＝2x＋8 B.f(x)＝2x＋1C.f(x)＝2x＋2 D.f(x)＝4x＋2解析因为f(2x－1)＝4x＋6＝2(2x－1)＋8，所以f(x)＝2x＋8.√12343.已知f(x)的图象恒过点(1，－1)，则函数f(x－3)的图象恒过点A.(－2，－1) B.(4，－1)C.(1，－4) D.(1，－2)√解析因为已知f(x)的图象恒过点(1，－1)，所以当x－3＝1时，f(x－3)＝－1，即函数f(x－3)的图象恒过点(4，－1).12344.已知二次函数f(x)的图象经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)，则函数f(x)的解析式为__________________.解析设f(x)＝a(x＋2)2＋3(a≠0)，由y＝f(x)过点(－3,2)，得a＝－1，∴f(x)＝－(x＋2)2＋3＝－x2－4x－1.f(x)＝－x2－4x－1课时对点练基础巩固1234567891011121314151.函数f(x)＝|x－1|的图象是解析画出y＝|x|的图象，则f(x)的图象由y＝|x|的图象向右平移一个单位长度得到.16√2.二次函数y＝2x2的图象向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得图象对应的函数表达式为A.y＝2(x＋1)2＋2 B.y＝2(x－1)2＋2C.y＝2(x＋1)2－2 D.y＝2(x－1)2－2123456789101112131415√16解析将二次函数y＝2x2的图象向上平移2个单位长度得到函数y＝2x2＋2的图象，再向右平移1个单位长度得函数y＝2(x－1)2＋2的图象.123456789101112131415163.函数y＝－

的图象是√12345678910111213141516再根据x＝2时，y＝－1<0，排除A.123456789101112131415164.(多选)已知f(2x－1)＝4x2，则下列结论中正确的是A.f(3)＝9 B.f(－3)＝4C.f(x)＝x2

D.f(x)＝(x＋1)2√解析f(2x－1)＝4x2＝(2x－1)2＋2(2x－1)＋1，故f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，故选项C错误，选项D正确；f(3)＝16，f(－3)＝4，故选项A错误，选项B正确.√12345678910111213141516√√12345678910111213141516123456789101112131415166.在平面直角坐标系中，先将抛物线y＝x2＋2x－3关于原点作中心对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为A.y＝－x2＋2x－3 B.y＝－x2＋2x＋3C.y＝－x2－2x＋3 D.y＝x2＋2x＋3√12345678910111213141516解析先将抛物线y＝x2＋2x－3关于原点作中心对称变换，得到y＝－[(－x)2＋2(－x)－3]，整理得y＝－x2＋2x＋3；再将抛物线y＝－x2＋2x＋3关于y轴作轴对称变换，得到y＝－(－x)2＋2(－x)＋3，整理得y＝－x2－2x＋3；所以经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.123456789101112131415167.设b>0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列图象之一，则a的值为_____.－112345678910111213141516解析若a>0，即图象开口向上，故排除第1个和第3个图象，若a<0，即图象开口向下，由图象知函数过点(0,0)，∴a2－1＝0，∴a＝－1(舍去a＝1).123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516如图实线所示.1234567891011121314151612345678910111213141516(2)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，求f(x).解由题意得，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x代替x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x，12345678910111213141516(3)已知函数f(x)＝x2－bx＋c且f(1)＝0，f(2)＝－3，求f(x).故f(x)＝x2－6x＋5.123456789101112131415综合运用1611.一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为A.y＝20－2x

B.y＝20－2x(0<x<10)C.y＝20－2x(5≤x≤10) D.y＝20－2x(5<x<10)√解析由题意得y＋2x＝20，所以y＝20－2x，又2x>y，即2x>20－2x，即x>5，由y>0即20－2x>0得x<10，所以5<x<10.1234567891011121314151612.若y＝f(x＋3)的图象经过点P(1,4)，则函数y＝f(x)的图象必经过点A.(－2,4) B.(1,1) C.(4,4)D.(1,7)√解析由于点P(1,4)在y＝f(x＋3)的图象上，且y＝f(x)的图象是由y＝f(x＋3)的图象向右平移3个单位长度得到的，因此点P(1,4)也向右平移3个单位长度，变成(4,4).13.已知图甲是函数f(x)的图象，图乙是由图甲变换所得，则图乙中的图象对应的函数可能是12345678910111213141516A.y＝f(|x|)B.y＝|f