2023-2024学年八年级数学上册单元速记·巧练（沪教版）第十六章 二次根式（单元重点综合测试）（解析版）

第十六章二次根式单元重点综合测试注意事项：本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置选择题（6小题，每小题2分，共12分）1．（2023·上海浦东新·校考三模）下列二次根式中，最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据最简二次根式的意义进行判断即可．【详解】解：A、，不是最简二次根式，故不符合题意；B、，不是最简二次根式，故不符合题意；C、是最简二次根式，故符合题意；D、，不是最简二次根式，故不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查最简二次根式，理解“被开方数是整式且不含有能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式”是正确判断的关键．2．（2023·上海·八年级假期作业）已知，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分式的混合运算，乘法公式，二次根式的混合运算即可求解．【详解】解：，把，代入得，，故选：．【点睛】本题主要考查分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则，乘法公式，二次根式的运算法则是解题的关键．3．（2023春·上海松江·七年级统考期末）下列运算中，正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据二次根式的加减运算，乘方运算计算即可．【详解】A.与不是同类二次根式，无法计算，不符合题意；B.，正确，符合题意；C.，不正确，不符合题意；D.，不正确，不符合题意；故选Ｂ．【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，乘方运算计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．4．（2023春·上海宝山·七年级统考期末）有一个数值转换器，原理如下图所示：当输入的数是324时，输出的结果等于（

）

A．3 B．18 C． D．【答案】C【分析】根据算术平方根的定义以及实数分类，根据程序进行计算即可．【详解】解：输入时，取正平方根为，是有理数，输入时，取正平方根为，是无理数，输出，故选：C．【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，二次根式的性质化简，根据程序设计进行计算是解题的关键．5．（2023·上海·八年级假期作业）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为（

）A．6 B．16 C． D．【答案】D【分析】先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论．【详解】解：三个小正方形的面积分别为18、12、2，三个小正方形的边长分别为、、．由题图知：大正方形的边长为：．．故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的应用，用小正方形的边长表示出大正方形的边长是解决本题的关键．6．（2023春·八年级单元测试）已知，则的值为（

）A．0 B．1 C． D．【答案】C【分析】由的值进行化简到=，再求得，把式子两边平方，整理得到，再把两边平方，再整理得到，原式可变形为，利用整体代入即可求得答案．【详解】解∵==∴∴整理得∴∵∴整理得∴∴∴=====故选：C【点睛】本题考查了二次根式的化简，乘法公式，提公因式法因式分解等知识，关键在于熟练掌握相关运算法则和整体代入的方法．二、填空题（12小题，每小题2分，共24分）7．（2023春·上海松江·七年级统考期末）计算：.【答案】【分析】根据二次根式加减运算法则计算即可．【详解】解：原式．故答案为：．【点睛】本题主要考查二次根式的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．8．（2023·上海虹口·校联考二模）化简：．【答案】/【分析】根据二次根式的性质即可化简．【详解】解：由得：故答案为：．【点睛】本题考查二次根式的性质．掌握相关化简法则是解题关键．9．（2023春·上海静安·八年级统考期末）方程的根是．【答案】1【分析】根据二次根式的性质可得，从而可得，再将方程转化为，据此解答即可．【详解】解：由二次根式的被开方数的非负性得：，即，，则原方程可化为，，解得．故答案为：1．【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．10．（2023春·上海嘉定·七年级校考阶段练习）比较大小：．【答案】【分析】根据二次根式的性质即可求解．【详解】解：∵，，∵，∴，故答案为：．【点睛】此题主要考查二次根式的大小比较，解题的关键是熟知二次根式的性质．11．（2023·上海·八年级假期作业）当时，代数式的值是．【答案】0【分析】将代入计算即可．【详解】解：将代入得，，故答案为：0．【点睛】本题考查了二次根式的求值，解题关键在于正确地计算．12．（2023春·上海嘉定·七年级校考期末）已知数轴上的两点、所对应的数分别是和，那么、两点的距离等于．【答案】【分析】根据实数与数轴的关系列式计算即可．【详解】解：数轴上的两点、所对应的数分别是和，、两点的距离等于,故答案为：．【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．13．（2023春·上海宝山·七年级统考期末）已知，，那么．【答案】/【分析】将已知等式代入代数式，根据二次根式的性质进行计算即可求解．【详解】解：∵，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解的应用，二次根式的混合运算，熟练掌握以上知识是解题的关键．14．（2023·上海·八年级假期作业）若两最简根式和是同类二次根式，则的值的平方根是．【答案】【分析】根据同类二次根式的定义，列出方程，求解即可，【详解】解：由题意可得：，解得的平方根为故答案为：【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．15．（2023秋·上海·八年级专题练习）若，化简．【答案】1【分析】先根据，判断出，据此可得，再依据绝对值性质和二次根式的性质化简可得．【详解】解：，则，即，，原式，故答案为：1．【点睛】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是掌握二次根式的性质、绝对值的性质和解一元一次不等式的步骤．16．（2023春·上海·七年级期中）若的小数部分为，则的值为．【答案】5【分析】由已知求出a=，再将a的值代入所求式子即可．【详解】解：∵的整数部分为3，∴a=，∴故答案为：5．【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用及整式的混合运算，关键是求出a的值．17．（2023·上海闵行·校联考模拟预测）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则，记，，…，．则．【答案】10【分析】先根据求出（为正整数）的值，从而可得的值，再求和即可得．【详解】解：，（为正整数），，，，，则，故答案为：10．【点睛】本题考查了二次根式的运算、分式的运算，正确发现一般规律是解题关键．18．（2023春·河北邢台·八年级校考阶段练习）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着，，，，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．

（1）前4个台阶上的数的积是；（2）把从第1个台阶开始的前30个台阶上的数相加，结果是；（3）从第1个台阶起，把连续若干个台阶上数的平方相加起来，如果和为113，那么一共是个台阶上的数的平方相加．【答案】2419【分析】（1）将前4个数字相乘，根据二次根式乘法法则计算即可得答案；（2）根据“台阶上的数字是每4个一循环”求解可得；（3）前4个台阶上数的平方相加起来和为25，且，而，据此可得答案．【详解】解：（1）由题意得前4个台阶上数的积是；故答案为：24；（2）∵任意相邻四个台阶上数的和都相等，∴台阶上的数字是每4个一循环，∵，，∴，从第1个台阶开始的前30个台阶上的数相加，结果是，故答案为：；（3）前4个台阶上数的平方相加起来和为：，∵，且，，∴一共是19个台阶上的数的平方相加．故答案为：19．【点睛】本题主要考查图形的变化规律及二次根式的运算，解题的关键是根据相邻四个台阶上数的和都相等得出台阶上的数字是每4个一循环．三、解答题（9小题，共64分）19．（2023春·湖北黄冈·八年级期中）计算：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）将被开方数相乘，再利用二次根式的混合运算法则即可求解；（2）利用乘法分配律，将各二次根式化为最简二次根式，即可求解．【详解】（1）解：原式（2）解：原式【点睛】本题考查了二次根式的混合运算．掌握相关运算法则即可．20．（2023秋·上海·八年级专题练习）若最简二次根式与是同类二次根式，求的值．【答案】，．【分析】根据同类二次根式的定义列方程即可求出．【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式解得：即，．【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．21．（2023春·上海浦东新·七年级校考期中）如图，正方形的面积为，．

(1)如果点、分别在、上，，说明的理由．(2)如果四边形是正方形，且它的面积为，求三角形的面积．【答案】(1)见解析；(2)．【分析】（1）根据垂直的定义可得，再根据同位角相等，两直线平行求出，然后根据两直线平行，同位角相等即可得证；（2）根据正方形的面积求出、的长，然后求出的长，再根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解．【详解】（1）解∶∵，已知，∴（垂直的意义，∴（同位角相等，两直线平行，∴两直线平行，同位角相等；（2）∵正方形与的面积分别为、，∴它们的边长分别为、，∴，∴三角形的面积为．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，二次根式的运算，主要利用了正方形的面积公式，三角形的面积，是基础题，熟记性质是解题的关键．22．（2023春·河南驻马店·八年级校考阶段练习）如图，有一张长为，宽为的长方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角都是边长为的小正方形．

(1)求制作成的无盖长方体盒子的体积；(2)求制作成的无盖长方体盒子的侧面积（不含下底面）．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据长方体计算公式列式计算即可；（2）根据长方体的侧面积公式列式计算即可．【详解】（1）解：无盖长方体盒子的体积为：；答：制作成的无盖长方体盒子的体积是．（2）解：无盖长方体盒子的侧面积为：；答：制作成的无盖长方体盒子的侧面积为．【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算．23．（2023春·上海·七年级统考期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使，，使得，，那么便有：（）例如：化简解：首先把化为，这里，，由于，即，所以(1)填空：，(2)化简：；【答案】(1)；(2)【分析】（1）由条件对式子进行变形利用完全平方公式对的形式化简后即可得出结论；（2）由条件对式子进行变形利用完全平方公式对的形式化简后即可得出结论．【详解】（1）解：；；（2）解：【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方式的运用以及二次根式性质的运用．24．（2023春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，．(1)请你写出的一个有理化因式：；(2)请仿照上面给出的方法化简；(3)已知，，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据有理化因式的定义即可解答；（2）根据一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法进行化简；（3）通过分母有理化可化简、，从而求出、，根据，将，的值代入即可求解．【详解】（1）解：∵，∴是的有理化因式，故答案为：；（2）解：；（3）解：∵，，∴，，∴．【点睛】本题主要考查了二次根式分母有理化的知识，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法．25．（2023春·北京大兴·八年级统考期末）【阅读材料】小华根据学习“二次根式“及”乘法公式“积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究”当时，与的大小关系”．下面是小单的深究过程：①具体运算，发现规律：当时，特例1：若，则；特例2：若，则；特例3：若，则．②观察、归纳，得出猜想：当时，．③证明猜想：当时，∵，∴，∴．当且仅当时，．请你利用小华发现的规律解决以下问题：(1)当时，的最小值为(2)当时，的最小值为；(3)当时，求的最大值．【答案】(1)2(2)(3)【分析】（1）直接由题中规律即可完成；