新人教A版必修一 对数函数 学案

2019-2020学年新人教A版必修一对数函数学案

1.对数的概念

如果a(a〉0,a¥l)的b次幕等于N,即ab=N,那么数b叫作以a为底N的对数，记作卜垢N

三攵，其中且叫作对数的底数，2叫作真数.

2.对数的性质与运算法则

(1)对数的运算法则

如果。〉0,且aWl,M)0,N>0,那么：

①log“(MM=logaM+logaM

②log“错误！=logflM—logaM

③logMflogM(n£R).

(2)对数的性质

@al°Sl,N=N；②logaaN=N(a>0,且aWl).

(3)对数的换底公式

k>g°6=错误!(a>0,且4W1；c)0,且cWl；b}0).

3.对数函数的图像与性质

y=logaX4〉10<a<l

［尸

IL1dy=Llogflx

图像

0/:(1,0)X

|!y=log/

定义域(1)(0,+8)

值域⑵R

(3)过定点(1,0),即x=l时,y=0

(4)当％〉1时，y)0；当0<x<l(5)当x>l时，y〈0;当0

性质时,y<0(x<l时，y〉0

(7)在(0,+8)上是减函

(6)在(0,+8)上是增函数

数

4.反函数

指数函数y=</(a>0且。W1)与对数函数y=logax(a>0且aWl)互为反函数，它们的图像关

于直线y=x对称.

【知识拓展】

1.换底公式的两个重要结论

(1)log/二错误！；

(2)log*'=错误!log法.

其中〃>0且1,b}0且bWl,m，〃£R.

2.对数函数的图像与底数大小的比较

°——y=iogcx

如图，作直线y=l,则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数，故0<c<d<l〈°

〈6.由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大.

广基础自测

题组一思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)若MN〉0,则log“(MN)=logflM+logfl7Vo(X)

(2)对数函数y=log°x(a)0且aWl)在(0,+°°)上是增函数.(X)

(3)函数y=ln错误!与y=ln(l+x)—In(1一x)的定义域相同.(J)

(4)对数函数y=k»gax(a>0且aWl)的图像过定点(1,0)且过点(a,1),错误！，函数图像

只在第一、四象限.(J)

题组二教材改编

2

2.1g错误！一Ig8§+lg7错误！=o

答案错误！

解析原式=lg4+错误!1g2-1g7—错误!lg8+lg7+错误!lg5

=21g2+错误!(Ig2+lg5)—2坨2=错误!。

3.已知。=2号，dog?错误!，c=log］错误!，则a,6,c的大小关系为.

2

答案c)a)b

解析V0<a<l,b<0,c=log1错误！=log23>l。

2

c>a)b.

4.函数y=Jlog2(2x—1)的定义域是.

答案错误！

解析由10821。8错误!(2彳-1)>0,得0<2x—lWl.

•・］〈％W1.

・・.函数y=30gz(2x—1)的定义域是错误!。

题组三易错自纠

5.已知力0,\og5b=a,\gb=c,5"=10,则下列等式一定成立的是()

A.d=〃cB.〃=cd

C.c=adD.d—ci~\~c

答案B

6.已知函数y=log“(x+c)(a,c为常数,其中a〉0,aWl)的图像如图，则下列结论成立的是

A.a)1,c>lB.d>\,0<c<l

C.0<a<1,c>lD.0〈a(1,0<c<l

答案D

解析由该函数的图像通过第一、二、四象限知该函数为减函数，二。〈〃<1,•••图像与x轴

的交点在区间(0,1)之间，，该函数的图像是由函数y=log〃x的图像向左平移不到1个单位

后得到的,0<c<l.

7.若log”错误！〈1(a>0且aWl),则实数a的取值范围是.

答案错误！U(l,+8)

解析当0〈°〈1时,log“错误!<log“a=l,...Ocav错误！；

当a>\时，log。错误!(logaa=l,/.a>l.

实数。的取值范围是错误！U(l,+8).

题型分类深度剖析

真题典题深度剖析重点难点多维探究

题型一对数的运算-自主演练

1.设2。=5J7,7,且错误！+错误！=2,则相等于()

A.VWB.10

C.20D.100

答案A

解析由已知，得。=log2%b=log5，W,

则错误！+错误！=错误！+错误！=log"2+log",5=108/0=2。

解得机=错误！.

2.计算：错误!+100

答案一20

解析原式=(lg2-2-lg52)X1002=4错误!xio

=lg10-2X10=-2X10=-20.

3.计算：错误！=.

答案1

解析原式

=错误！

=错误！

=错误！=错误！=错误！=1.

思维升华对数运算的一般思路

(1)拆：首先利用赛的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数森的形式，使赛的底数最

简，然后利用对数运算性质化简合并.

(2)合:将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对

数真数的积、商、氟的运算.

题型二对数函数的图像及应用-一师生共研

典例(1)若函数y=log〃x(a>0且aWl)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是()

答案B

解析由题意y=logax(a〉0且的图像过(3,1)点，可解得。=3.选项A中，尸3七=错误!

工,显然图像错误；选项B中,y=/由嘉函数图像性质可知正确；选项C中，y=(—x)3=—

显然与所画图像不符;选项D中,y=log3(—x)的图像与y=logM的图像关于y轴对称，显然

不符，故选B。

r

(2)当。错误!时，4<logax,则。的取值范围是()

A.错误!B。错误！

C.(1,陋)D.(错误!，2)

答案B

解析由题意得，当0〈。〈1时,要使得4，<logaX错误！，即当0〈xW错误！时，函数y=4"的图

£

像在函数y=logd图像的下方.又当x=错误！时，△=2,即函数y=4*的图像过点错误!.把

点错误!代入y=log〃尤，得。=错误！。若函数>=4'的图像在函数y=logd图像的下方，则需

错误!〈1（如图所示）.

当a>l时，不符合题意，舍去.

所以实数。的取值范围是错误!.

引申探究

若本例⑵变为方程《『logd在错误!上有解，贝”实数a的取值范围为.

答案错误！

解析若方程4，=log/在错误!上有解，则函数y=4工和函数y=logd在错误！上有交点，

由图像知错误!解得0<“忘错误!.

思维升华（1）对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性（单

调区间）、值域（最值）、零点时，常利用数形结合思想求解.

（2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解.

跟踪训练（1）函数y=21og4（1—x）的图像大致是（）

AB

CD

答案C

解析函数y=21og4（l—无）的定义域为（一8,1）,排除A,B;又函数y=21og4（1—X）在定义

域内单调递减，排除D。故选C。

（2）（2017•衡水调研）已知函数人无）=错误!且关于x的方程/（x）+x—。=0有且只有一个实

根,则实数a的取值范围是.

答案（1,+8）

解析如图，在同一坐标系中分别作出y=«r）与y=—x+a的图像，其中。表示直线在y轴

上的截距.

由图可知，当。〉1时，直线y=—尤+。与y=log加只有一个交点.

题型三对数函数的性质及应用多

探

命题点1对数函数的单调性

典例(1)若例b>0,0<c<1,则0

A.logaC(logiCB.logc.tz<logci>

C.aSP.c"〉?

答案B

解析当。〈c<l时，y=logcx是减函数，

/.logc^logcft,故选B.

(2)(2017•江西九江七校联考)若函数八x)=log2(x*2—依一3a)在区间(一8,-2］上是减函

数，则实数a的取值范围是()

A.(一8,4)B.(-4,4］

C.(-8,-4)U［-2,+8)D.［-4,4)

答案D

解析由题意得f—ax-3a〉0在区间(-8,—2］上恒成立且函数y=f—ar—3a在(-8,—

2］上是减少的，则错误！2且(一2)2—(—2)a—3d)0,解得实数。的取值范围是［—4,4),

故选D.

命题点2和对数函数有关的复合函数

典例已知函数/U)=loga(3一办)3〉0且aWl).

(1)当尤e［0,2］时，函数尤)恒有意义，求实数a的取值范围；

(2)是否存在这样的实数a,使得函数/(功在区间［1,2］上为减函数，并且最大值为1?如果

存在,试求出a的值；如果不存在,请说明理由.

解(1)Va)0且aWl,设t(x)=3—ax,

则f(x)=3—ax为减函数，

尤e［0,2］时j(无)的最小值为3—2°,

当问0,2］时，人尤)恒有意义，

即［0,2］时，3—ax)0怛成立.

・・・3-2〃>0..・・〃〈错误！。

又〃〉。且〃Wl,「.a的取值范围为(0,1)U错误!.

(2)假设存在这样的实数a

t(x)=3—ax,丁。〉0,二・函数*%)为减函数.

•.75)在区间［1,2］上为减函数，・・・y=k)g"为增函数，

・•・〃〉1,%e［l,2］时，©)的最小值为3—2〃，f(x)的最大值为/(2=loga(3-a),

・・・错误!即错误!

故不存在这样的实数。，使得函数/(x)在区间［1,2］上为减函数，并且最大值为1。

思维升华(1)利用对数函数单调性时要注意真数必须为正,明确底数对单调性的影响.

(2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则

判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题.

跟踪训练(1)设〃=log32力=log52,c=log23,则()

A.a>c>bB.b>c}a

C.c>b］〃D.c〉a>b

答案D

解析〃=log32(log33=l,/?=log52<log55=lo

又C=log23〉log22=l,所以c最大.

由l<log23(log25,得记；3〉错误!，即。泌，

所以C〉4〉bo

(2)已知函数/G)=ln错误!的定义域是(1,+8),则实数〃的值为.

答案2

解析由题意，得不等式1—合0的解集是(1,+8),由1—错误!〉0,可得万〉a,故X〉log2a,

由log2a=1,

得(7=2。

■高频小考点■

比较指数式、对数式的大小

考点分析比较大小问题是每年高考的必考内容之一.

(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结

合的方法.

(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而

底数不同则构造赛函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0

或1.

05

典例(1)设。=0。5-,6=0。3。"c=log0.3O02,则a,b,c的大小关系是()

A.c(b<aB.a<b〈c

C.b<a〈cD.a(c{b

(2)(2017・新乡二模)设〃=6004/=二go04().5,c=log80.4,则a,b,c的大小关系是()

A.a<b<cB.c〈b〈a

C.c<a<bD.b〈c(a

(3)若实数〃，b,c满足loga2vlog万2(logc2,则下列关系中不可能成立的是()

A.a(b(cB.b<a〈c

C.c<b〈〃D.a<c<b

(4)(2017・石家庄一模)已知函数y=/(x+2)的图像关于直线x=—2对称，且当(0,十

°°)时，f(x)=门0g2XI,若Q=/(—3),误！，c=f(2),则a,b,c的大小关系是()

A.a)b>cB.b>a)c

C.c〉a>bD.a>c>b

解析(1)根据薛函数)=心5的单调性，

可得0。30-5(O.505(1°05=1,即系<a<l；

根据对数函数y=logo03元的单调性，可得logo。30.2>logo。3。♦3=1,即c>l。所以b{a<co

(2)・・・。=6°。4〉1,6=logo,40。5£(0,1),

c=logsOo4(0,.,・〃〉故选B。

(3)由loga2(log/,2(logc2的大小关系,可知a,b,。有如下四种可能：①1(c<b<〃；②0<〃<l<c

(b；③0(b<a{1〈c;④0〈c(b<a<lo对照选项可知A中关系不可能成立.

(4)易知>=/(%)是偶函数.当冗£(0,+8)时，加)=y错误！=|lOg2XI,且当［1,+°°)

时，/(x)=log2X是增加的，又〃=/(―3)=/(3),。=/错误！=人4),所以。>〃〉Co

答案(1)C(2)B(3)A(4)B

课时作业

X基础保分练

1.设a=log37,b=2iT,c=0。831,则()

A.b(a<cB.c{a<b

C.c〈b〈〃D.a{c{b

答案B

解析V^=log37,/.l<a<2o

V/?=2kl,：.b>2.

Vc=0o837,.-.0<c<lo

即c〈a（/?,故选Bo

2.（2017•孝义模拟）函数y=lnsinx（0〈x〈兀）的大致图像是（）

答案c

解析因为0〈尤〈兀，所以0〈sinxWl,

所以InsinxWO,故选C.

3.已知偶函数八x),当尤e[0,2)时，/(x)=2sinx,当xd[2,+8)时，口)二题汉则僧误!

十44)等于()

A.一错误！+2B.1

C.3D.错误!+2

答案D

解析因为福误！=谓误！=2sin错误！=错误!，

f(4)=log24=2,所以继误！+/(4)=错误！+2,故选D。

4.(2017•北京)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限/约为3361,而可观测宇宙中普

通物质的原子总数N约为1080o则下列各数中与错误!最接近的是()

(参考数据：1g3-0。48)

A.1033B.1053

C.1073D.1093

答案D

解析由题意，1g错误！=lg错误！=lg336」lg108。

=3611g3-801g10^361X0.48-80X1=93.28.

又1g1033=33,[g1()53=53,1g1073=73,1g1093=93,

故与错误！最接近的是1093.

故选D。

5.(2017・江西红色七校二模)已知函数/(x)=ln错误!，若为t误！十耀误！~\--by错误！=503(“

+6),则片+廿的最小值为()

A.6B.8C.9D.12

答案B

解析'//(x)+/(e—x)=2,

.,•缱误！+理误！+…+4误！=2012,

.*.503Q+6)=2012,：,a+b=4o

...片+乂力错误！=8,

当且仅当a=b=2时取等号.

6.若/(防二坨"一2ax+l+a)在区间(-8,1]上是减少的，则a的取值范围为()

A.[1,2)B.[1,2]C.[1,+8)D.[2,+8)

答案A

解析令函数g(x)—x2—2ax+l+a—(x—a)2+1+。一式对称轴为尤=凡要使函数在(_8,

1]上是减少的，则有错误！即错误！

解得1W。(2,即ad[l,2),故选A.

7.若a=log43,则2"+2-。=。

答案错误！

解析Va=log43=log2,3=错误!陛23=1082错误！，

：.2a+2^

=小+2

=错误！+错误！=错误!.

8.设函数兀0=错误!则满足/U)W2的x的取值范围是.

答案[0,+8)

解析当xWl时，由2i=W2,解得所以OWxWl;

当x>l时，l—log2%W2,解得Q错误！，所以x〉1.

综上可知％与0。

9.(2017.南昌模拟)设实数mb是关于x的方程|lgxI=c的两个不同实数根，且4Vb<10,

则abc的取值范围是.

答案(0，1)

解析由题意知，在(0,10)上，函数y=|lgxI的图像和直线y=c有两个不同交点，「・次?=1,

0<c(1g10=1,

・・・〃反的取值范围是(0,1).

y=c

10.函数/(x)=log2错误!•log应(2x)的最小值为.

答案一错误！

解析f(x)=log2错误！•loge(2x)=错误!logw210g2(2X)=log2尤(1+logM).设r=logax

(fGR),则原函数可以化为y=,G+l)=错误!2—错误!QGR),故该函数的最小值为一错误！。

故了(X)的最小值为一错误！。

11.已知函数本)=10g〃(2x一°)在区间错误!上恒有/(x)〉0,则实数a的取值范围是.

答案错误！

解析当0<〃<1时，函数在区间错误!上是减函数，所以log。错误!>0,即0V错误！一

又2X错误！一〃〉0,解得错误!<〃<错误！，且〃<1,故错误！〈。<1；

当苏1时，函数人x)在区间错误!上是增函数，

所以log。(1—〃)〉0,即1—〃〉1,且2X错误！一〃>0,

解得〃<0,且4<1,此时无解.

综上所述，实数。的取值范围是错误！。

12.(2018・长沙模拟)已知函数加)是定义在R上的偶函数〃0)=0,当x>0时，於)=log1

Xo

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)解不等式式/-1)>一2.

解(1)当x<0时，一心>0,

则/(—x)=logi(―x).

2

因为函数/(X)是偶函数，所以/(—X)=>).

所以x<0时，段)=log错误!(一X),

所以函数式X)的解析式为

fix)=错误！

(2)因为y(4)=k)g]4=-2,f(x)是偶函数，

2

所以不等式/(/—I)〉一2可化为

f(Ix2—")〉f(4).

又因为函数在(o,+8)上是减函数，

所以0〈If—1I<4,解得一小〈X〈错误！且xW±l,

又当％2—1=0时，/(0)=0〉一2成立，

所以一错误!〈错误！。即不等式的解集为(一错误！，错误！).

X技能提升练

13.设函数式x)=log/xl在(一8,0)上是增加的，则f(a+1)与五2)的大小关系是()

A./(«+1)>/2)B.f(a+1)勺⑵

C.八。+1)=/(2)D.不能确定

答案A

解析由已知得0〈。〈1,所以1Q+1〈2