高二数学同步备课(人教A版2019选修第一册)1.4.1空间中点、线、面的向量表示(第1课时)(分层作业)(原卷版+解析)

1.4.1空间中点、线、面的向量表示（第1课时）（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022·全国·高二课时练习）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则可能使的是（

）A．， B．，C．， D．，2．（2022·全国·高二课时练习）在直三棱柱中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是(

)A． B． C． D．3．（2022·江苏·常州市第一中学高二阶段练习）下列说法不正确的是(

)．A．平面的一个法向量垂直于与平面共面的所有向量B．一个平面的所有法向量互相平行C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D．如果，与平面共面，且，，那么就是平面的一个法向量4．（2021·全国·高二课时练习）如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，．平面的法向量为（

）A． B． C． D．5．（2022·江苏·高二课时练习）过空间三点，，的平面的一个法向量是（

）A． B． C． D．6．（2021·江西·景德镇一中高二期中（理））已知直线过点，平行于向量，平面经过直线和点，则平面的一个法向量的坐标为（

）A． B． C． D．7．（2022·全国·高二课时练习）有以下命题：①一个平面的单位法向量是唯一的②一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行，则这条直线和这个平面平行③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交④若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量，则直线和平面垂直其中真命题的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、多选题8．（2021·山东济宁·高二期中）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（

）A．直线的一个方向向量为B．直线的一个方向向量为C．平面的一个法向量为D．平面的一个法向量为9．（2022·浙江温州·高二期末）已知、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面.下列说法中正确的是（

）A．若，，，则 B．若，，则C．若，，，则 D．若，，，则三、填空题10．（2022·全国·高二）已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，且平面，则______.11．（2022·全国·高二课时练习）若为平面的一个法向量，为平面的一个法向量，已知，则的值为__________．12．（2021·河北·张家口市第一中学高二期中）已知，，，则平面ABC的一个单位法向量是________．13．（2022·全国·高二课时练习）在四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高等于___________.14．（2022·全国·高二课时练习）已知三点、、，则平面的法向量可以是______．（写出一个即可）15．（2022·全国·高二课时练习）已知平面的一个法向量为，写出一个以为起点，且平行于平面的单位向量的终点坐标为______.16．（2022·全国·高二课时练习）以下真命题共有___________个.①一个平面的单位法向量是唯一的；②一条直线的方向向量和一个平面的法向量垂直，则这条直线和这个平面平行；③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交.17．（2022·全国·高二课时练习）两个平面垂直的充要条件是它们的法向量_______．18．（2022·全国·高二单元测试）若、都是平面的法向量，则和的关系是______．四、解答题19．（2022·全国·高二课时练习）写出经过点，且与y轴垂直的平面的方程．20．（2022·全国·高二课时练习）写出经过点，且与x轴垂直的平面的方程．21．（2022·湖南·高二课时练习）如图，已知平面内有，，三点，求平面的法向量．22．（2022·全国·高二课时练习）分别写出平面，平面，平面的一个法向量的坐标．23．（2022·全国·高二课时练习）已知，，，求平面ABC的一个法向量的坐标，并在坐标平面中作出该向量．24．（2022·广东江门·高二期末）如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)求平面的一个法向量；(2)求平面的一个法向量．【能力提升】一、单选题1．（2021·云南·巍山彝族回族自治县第二中学高二阶段练习）设，是不重合的两个平面，，的法向量分别为，，和是不重合的两条直线，，的方向向量分别为，，那么的一个充分条件是（

）A．，，且，B．，，且C．，，且D．，，且2．（2022·安徽·合肥一中高二阶段练习）如图一副直角三角板，现将两三角板拼成直二面角，得到四面体，则下列叙述正确的是（

）①平面的法向量与平面的法向量垂直；②异面直线与所成的角的余弦值为；③四面体有外接球且该球的半径等于棱BD长；④直线与平面所成的角为．A．①②④ B．③ C．③④ D．②③④3．（2022·全国·高二期末）下列四个命题中，正确命题的个数是（

）①若是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得；②若两条不同直线l，m的方向向量分别是，，则l∥m；③若是空间的一个基底，且，则A，B，C，D四点共面；④若两个不同平面α，β的法向量分别是，且，，则α∥β．A．1 B．2 C．3 D．44．（2022·江苏·南京市天印高级中学高二期中）已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（

）A．与是共线向量 B．与向量方向相同的单位向量是C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是5．（2021·全国·高二单元测试）在四面体ABCD中，为等边三角形，，二面角的大小为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（2021·全国·高二专题练习）如图，在圆锥中，，是上的动点，是的直径，，是的两个三等分点，，记二面角，的平面角分别为，，若，则的最大值是（

）A． B． C． D．二、多选题7．（2021·辽宁营口·高二期末）以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中正确的是（

）A．B．与平面BCD的法向量平行C．D．平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直8．（2021·湖北·襄阳五中高二阶段练习）在棱长为1的正方体中，已知为线段的中点，点和点分别满足，，其中，，，则（

）A．当时，三棱锥的体积为定值B．当时，四棱锥的外接球的表面积是C．若直线与平面所成角的正弦值为，则D．存在唯一的实数对，使得平面三、填空题9．（2021·天津市实验中学滨海学校高二阶段练习）如图，直三棱柱ABC一中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，DF交于点E，要使平面，则线段的长为____.10．（2022·全国·高二课时练习）放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD中，H是底面中心，平面ABC，写出：（1）直线BC的一个方向向量___________；（2）点OD的一个方向向量___________；（3）平面BHD的一个法向量___________；（4）的重心坐标___________.四、解答题11．（2022·全国·高二专题练习）如图，在直三棱柱中，为的中点，分别是棱上的点，且．(1)求证：直线平面；(2)若是正三角形为中点，能否在线段上找一点，使得平面？若存在，确定该点位置；若不存在，说明理由．12．（2022·全国·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，底面是等腰直角三角形，，，侧棱，点D，E分别是和的中点，求点到平面AED的距离．13．（2022·全国·高二课时练习）已知直线经过点，平行于向量，直线经过点，平行于向量，求与两直线，都平行的平面的一个法向量的坐标．14．（2022·湖南·高二课时练习）如图，在长方体中，，，，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量：(1)平面ABCD；(2)平面；(3)平面．15．（2020·海南·儋州市第一中学高二阶段练习）如图，四棱锥中，侧面是边长为2的等边三角形且垂直于底面，，，是的中点.（1）求证：直线平面；（2）点在棱上，且二面角的余弦值为，求直线与底面所成角的正弦值.1.4.1空间中点、线、面的向量表示（第1课时）（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022·全国·高二课时练习）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则可能使的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根据题意可得，再逐个选项代入判断即可.【详解】要使成立，需使，将选项一一代入验证，只有D满足.故选：D.2．（2022·全国·高二课时练习）在直三棱柱中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】作出图像，根据直棱柱侧棱垂直于底面即可求解．【详解】如图，∵、、均垂直于平面ABC，故选项D中可以作为平面ABC的法向量．故选：D．3．（2022·江苏·常州市第一中学高二阶段练习）下列说法不正确的是(

)．A．平面的一个法向量垂直于与平面共面的所有向量B．一个平面的所有法向量互相平行C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D．如果，与平面共面，且，，那么就是平面的一个法向量【答案】D【分析】根据平面法向量的定义和性质逐项判断即可.【详解】对于A，根据平面法向量的定义可知，平面的法向量垂直于与平面共面的所有向量，故A正确；对于B，一个平面的所有法向量与平面都垂直，∴都互相平行，故B正确；对于C，如果两个平面的法向量垂直，根据线面垂直的性质定理和判定定理可以判断这两个平面也垂直，故C正确；对于D，如果与平面共面且，当共线时，不一定是平面的一个法向量，故D错误.故选：D.4．（2021·全国·高二课时练习）如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，．平面的法向量为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据空间直角坐标系写出各向量，利用法向量的性质可得解.【详解】是正方形，且，，，，，，，，，又，，，平面的法向量为，则，得，，结合选项，可得，故选：C.5．（2022·江苏·高二课时练习）过空间三点，，的平面的一个法向量是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设出平面的法向量为，利用垂直关系，布列方程组，即可得到结果.【详解】，．设平面的法向量为．由题意知，，所以，解得，令，得平面的一个法向量是．故选：A6．（2021·江西·景德镇一中高二期中（理））已知直线过点，平行于向量，平面经过直线和点，则平面的一个法向量的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设法向量，利用空间向量的数量积即可求解.【详解】由题意可得,设经过直线和点平面的法向量为，则，令，则，所以，所以经过直线和点平面的法向量为.故选：A7．（2022·全国·高二课时练习）有以下命题：①一个平面的单位法向量是唯一的②一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行，则这条直线和这个平面平行③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交④若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量，则直线和平面垂直其中真命题的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据平面单位法向量的定义可判断①，根据直线方向向量与平面法向量的关系判断②，根据两平面法向量关系判断③，根据直线与平面垂直的判定定理判断④.【详解】因为一个平面的单位法向量方向不同，所以有2个，故①错误；当一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行时，则这条直线和这个平面垂直，故②错误；因为两个平面的法向量平行时，平面平行，所以法向量不平行，则这两个平面相交，③正确；若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条相交直线的方向向量，则直线和平面垂直，故④错误.故选：A二、多选题8．（2021·山东济宁·高二期中）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（

）A．直线的一个方向向量为B．直线的一个方向向量为C．平面的一个法向量为D．平面的一个法向量为【答案】AC【分析】求出即可判断的正误，求出平面的法向量判断的正误，求出平面的法向量判断的正误.【详解】由题意，,,,,,∵，∴向量为直线的一个方向向量，故正确,不正确；设平面的法向量为，则,由，得，令得，则正确;设平面的法向量为，则，由，得，令得，则不正确.故选：.9．（2022·浙江温州·高二期末）已知、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面.下列说法中正确的是（

）A．若，，，则 B．若，，则C．若，，，则 D．若，，，则【答案】ACD【分析】对于A，利用线面平行的性质定理判断，对于B，利用线面平行的判定定理判断，对于C，利用线面垂直的判定定理判断即可，对于D，利用面面平行的判定方法判断.【详解】由线面平行的性质定理可知，A正确；若，则或，即B错误；设的法向量分别为，若，则，又，则，，所以，即C正确；若，则，又，则，即D正确.故选：ACD三、填空题10．（2022·全国·高二）已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，且平面，则______.【答案】【分析】根据可求出结果.【详解】因为平面，所以，则，解得.故答案为：11．（2022·全国·高二课时练习）若为平面的一个法向量，为平面的一个法向量，已知，则的值为__________．【答案】【分析】利用向量平行的坐标表示即可求解．【详解】根据题意，若∥，则∥，∴，解得，∴.故答案为：.12．（2021·河北·张家口市第一中学高二期中）已知，，，则平面ABC的一个单位法向量是________．【答案】【分析】由题设，求面ABC的一个法向量，则其单位法向量是.【详解】由题设，，若是面ABC的一个法向量，则，令，则，故面ABC的一个单位法向量是.故答案为：13．（2022·全国·高二课时练习）在四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高等于___________.【答案】2【分析】先求出平面的法向量，然后求出在方向上的投影的绝对值即可得答案【详解】设平面的法向量，则，令，则，因为，所以四棱锥的高为，故答案为：214．（2022·全国·高二课时练习）已知三点、、，则平面的法向量可以是______．（写出一个即可）【答案】（答案不唯一）【分析】设平面的法向量为，则有，然后赋值即可得出答案.【详解】解：，设平面的法向量为，则有，令，则，所以，所以平面的法向量可以是.故答案为：（答案不唯一）.15．（2022·全国·高二课时练习）已知平面的一个法向量为，写出一个以为起点，且平行于平面的单位向量的终点坐标为______.【答案】（答案不唯一）【分析】设终点坐标为，写出单位向量，由向量垂直和向量的模得方程组，取方程组的一个解即可（答案不唯一）．【详解】设终点坐标为，则单位向量为，则，可取，，，即终点坐标为.故答案为：（答案不唯一）16．（2022·全国·高二课时练习）以下真命题共有___________个.①一个平面的单位法向量是唯一的；②一条直线的方向向量和一个平面的法向量垂直，则这条直线和这个平面平行；③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交.【答案】1【分析】利用单位向量和平面法向量的定义否定命题①；利用直线与平面平行的判定定理否定命题②；利用两个平面位置关系定义判断命题③.【详解】①一个平面的单位法向量有无穷多个.判断错误；②一条直线的方向向量和一个平面的法向量垂直，则这条直线和这个平面平行或这条直线在这个平面内.判断错误；③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交.判断正确.综上，正确命题共有1个故答案为：117．（2022·全国·高二课时练习）两个平面垂直的充要条件是它们的法向量_______．【答案】垂直【分析】已知平面垂直及其法向量，利用面面、线面垂直的性质判断充分性，再根据面面垂直的判定判断必要性.【详解】如下图，若为的法向量即且，：作且，，，由面面垂直的性质知：，而，则，又为的法向量即，，则，综上，，充分性成立.如下图，若所在直线且：由为的法向量，则，而，则为的法向量，即，所以，必要性成立.综上，两个平面垂直的充要条件是它们的法向量垂直.故答案为：垂直18．（2022·全国·高二单元测试）若、都是平面的法向量，则和的关系是______．【答案】【分析】根据平面的法向量的定义，可得答案.【详解】由于平面的法向量都垂直于该平面，故、都是平面的法向量，则和的关系是平行关系，即，故答案为：四、解答题19．（2022·全国·高二课时练习）写出经过点，且与y轴垂直的平面的方程．【答案】【分析】由是所求平面的一个法向量，令是平面上的点，则在平面上，利用空间向量垂直的坐标表示即可求平面的方程.【详解】由题设，所求平面的一个法向量为，若是所求平面上的点，则，所以，即所求平面方程为.20．（2022·全国·高二课时练习）写出经过点，且与x轴垂直的平面的方程．【答案】【分析】设为所求平面上的点，则且为该平面的一个法向量，利用空间向量的垂直关系即可得该平面的方程．【详解】由题设，所求平面与垂直且过，若为该平面上的点，则在该平面上，所以，可得所求平面的方程为.21．（2022·湖南·高二课时练习）如图，已知平面内有，，三点，求平面的法向量．【答案】（结果不唯一）【分析】设出法向量的坐标，根据法向量与向量垂直，列出方程组，求解即可.【详解】不妨设平面的法向量，又，故可得，即，不妨取，故可得，故平面的一个法向量为.又平面的法向量不唯一，只要与向量平行且非零的向量均可.故答案为：.（结果不唯一）22．（2022·全国·高二课时练习）分别写出平面，平面，平面的一个法向量的坐标．【答案】平面，平面，平面的一个法向量坐标分别为、、.【分析】写出各个平面中的两个不平行的向量，设法向量坐标，由空间向量垂直的坐标表示列方程求出法向量的坐标．【详解】由平面上存在不平行向量、，若是平面的一个法向量，则，易知：是平面的一个法向量.由平面上存在不平行向量、，若是平面的一个法向量，则，易知：是平面的一个法向量.由平面上存在不平行向量、，若是平面的一个法向量，则，易知：是平面的一个法向量.23．（2022·全国·高二课时练习）已知，，，求平面ABC的一个法向量的坐标，并在坐标平面中作出该向量．【答案】法向量为，作图见解析.【分析】由题设求、的坐标，设为所求法向量，利用向量垂直的坐标表示求法向量坐标，进而画出该向量即可.【详解】由题设，，，若是面ABC的一个法向量，所以，令，则.24．（2022·广东江门·高二期末）如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)求平面的一个法向量；(2)求平面的一个法向量．【答案】(1)(答案不唯一)(2)(答案不唯一)【分析】（1）由x轴垂直于平面，可得平面的一个法向量；（2）利用求解平面的法向量的方法进行求解.(1)因为x轴垂直于平面，所以是平面的一个法向量．(2)因为正方体的棱长为3，，所以M，B，的坐标分别为，，，因此，，设是平面的法向量，则，，所以，取，则，．于是是平面的一个法向量．【能力提升】一、单选题1．（2021·云南·巍山彝族回族自治县第二中学高二阶段练习）设，是不重合的两个平面，，的法向量分别为，，和是不重合的两条直线，，的方向向量分别为，，那么的一个充分条件是（

）A．，，且，B．，，且C．，，且D．，，且【答案】C【分析】利用面面平行的判定定理、向量位置关系及充分条件的定义即可判断.【详解】对于A，，，且，，则与相交或平行，故A错误；对于B，，，且，则与相交或平行，故B错误；对于C，，，且，则，故C正确；对于D，，，且，则与相交或平行，故D错误.故选：C.2．（2022·安徽·合肥一中高二阶段练习）如图一副直角三角板，现将两三角板拼成直二面角，得到四面体，则下列叙述正确的是（

）①平面的法向量与平面的法向量垂直；②异面直线与所成的角的余弦值为；③四面体有外接球且该球的半径等于棱BD长；④直线与平面所成的角为．A．①②④ B．③ C．③④ D．②③④【答案】C【分析】对①：由平面与平面不垂直，即可判断；对②：过点作和平行且相等，则四边形为矩形，（或其补角）为异面直线与所成的角，解三角形即可得判断；对③：设中点为，中点为，则，分别为直角三角形和直角三角形的外接圆的圆心，又平面，所以为四面体外接球球心，从而即可判断；对④：由平面，可得为直线与平面所成的角，从而即可判断.【详解】解：对①：由题意，平面与平面不垂直，所以平面的法向量与平面的法向量不垂直，故①错误；对②：设，则，，过点作和平行且相等，则由题意可得为矩形，（或其补角）为异面直线与所成的角，由题意，平面平面，且交线为，又，所以平面，所以，同理，因为，所以在等腰三角形中，，所以异面直线与所成的角的余弦值为，故②错误；对③：设中点为，中点为，则，分别为直角三角形和直角三角的外接圆的圆心，又易得平面，所以为四面体外接球球心，半径为,因为，所以四面体外接球半径为，故③正确；对④：由平面，可得为在平面内的射影，所以为直线与平面所成的角，故④正确.3．（2022·全国·高二期末）下列四个命题中，正确命题的个数是（

）①若是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得；②若两条不同直线l，m的方向向量分别是，，则l∥m；③若是空间的一个基底，且，则A，B，C，D四点共面；④若两个不同平面α，β的法向量分别是，且，，则α∥β．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】①由空间向量基本定理判断；②由方向向量的定义判断；③由空间向量共面定理判断；④由法向量的定义判断.【详解】①若是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得，由空间向量基本定理知，正确；②若两条不同直线l，m的方向向量分别是，，则l∥m，由方向向量的定义知，正确；③若是空间的一个基底，且，则A，B，C，D四点共面，由空间向量共面定理知，正确；④若两个不同平面α，β的法向量分别是，且，，则α∥β．由法向量的定义知，正确.故选：D4．（2022·江苏·南京市天印高级中学高二期中）已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（

）A．与是共线向量 B．与向量方向相同的单位向量是C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是【答案】C【分析】根据共线向量、单位向量、向量夹角、法向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】，不存在实数，使，所以与不共线，A选项错误.向量方向相同的单位向量是，B选项错误.，所以与夹角的余弦值是，C选项正确.，所以不是平面的法向量，D选项错误.故选：C5．（2021·全国·高二单元测试）在四面体ABCD中，为等边三角形，，二面角的大小为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】以B为原点建立空间直角坐标系,根据关系写出各个点的坐标,利用平面和平面的法向量,表示出二面角的余弦值,即可求得的取值范围.【详解】以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系:因为为等边三角形，不妨设,由于,所以因为当时四点共面,不能构成空间四边形,所以则,,由空间向量的坐标运算可得设平面的法向量为则代入可得令,则,所以设平面的法向量为则,代入可得令,则,所以二面角的大小为则由图可知,二面角为锐二面角所以因为所以即所以故选:C【点睛】根据直线与平面夹角的特征及取值范围,即可求解,对空间想象能力要求较高,属于中档题.6．（2021·全国·高二专题练习）如图，在圆锥中，，是上的动点，是的直径，，是的两个三等分点，，记二面角，的平面角分别为，，若，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设底面圆的半径为,,以所在直线为轴,以垂直于所在直线为轴,以所在直线为轴建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标.利用法向量求得二面角与夹角的余弦值.结合即可求得的取值范围,即可得的最大值.【详解】设底面圆的半径为,,以所在直线为轴,以垂直于所在直线为轴,以所在直线为轴建立空间直角坐标系,如下图所示:则由可得,,是的两个三等分点则所以设平面的法向量为则,代入可得化简可得令,解得所以平面的法向量为由图可知,二面角的平面角为锐二面角,所以二面角的平面角满足设二面角的法向量为则代入可得化简可得令,解得所以平面的法向量为由图可知,二面角的平面角为锐二面角,所以二面角的平面角满足由二面角的范围可知结合余弦函数的图像与性质可知即化简可得,且所以所以的最大值是故选:B【点睛】本题考查了空间直角坐标系在求二面角中的综合应用,根据题意建立合适的空间直角坐标系,求得平面的法向量,即可求解.本题含参数较多,化简较为复杂,属于难题.二、多选题7．（2021·辽宁营口·高二期末）以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中正确的是（

）A．B．与平面BCD的法向量平行C．D．平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直【答案】AB【分析】作图，梳理出图中包含的垂直关系，即、、、平面平面，从而推出平面ABD来判断选项A；可通过平面来判断选项B；可假设结论成立进行推导条件，通过对比条件，来判定假设成不成立，从而判断选项C；可判断两平面是否垂直，来判定其法向量是否垂直可判断选项D.【详解】如图所示，由已知可得，为等腰三角形，且，翻折后可得、，平面平面，对于选项A，平面平面，平面平面，且，所以平面，而平面，故，该选项正确；对于选项B，、且，故平面，所以与平面BCD的法向量平行，该选项正确；对于选项C，由选项A可知，，假设成立，则平面，此时，该结论与矛盾，故该选项错误；对于选项D，因为平面平面，平面平面，平面平面，故平面与平面不垂直，则平面ADC的法向量和平面ABC的法向量不互相垂直，故该选项错误.故选：AB.8．（2021·湖北·襄阳五中高二阶段练习）在棱长为1的正方体中，已知为线段的中点，点和点分别满足，，其中，，，则（

）A．当时，三棱锥的体积为定值B．当时，四棱锥的外接球的表面积是C．若直线与平面所成角的正弦值为，则D．存在唯一的实数对，使得平面【答案】ABC【分析】根据锥体体积的求法、几何体外接球表面积的求法、线面角、线面垂直等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】对于A，当时，是的中点，连接与交于点，则为的中点，∴，面，又点在上，∴点到面的距离为定值，∴三棱锥的体积为定值，故A正确；对于B，当时，点为的中点，设四棱锥的外接球的半径为，则球心O在PM延长线上，由OP=R得OM=，由得，解得，∴外接球的表面积为，故B正确；对于C，连接，过点作于，连接，∵平面，∴平面平面，平面平面，∴平面，∴为与平面所成角，∵，∴，，在由余弦定理有，在中由勾股定理有，∴，解得，故C正确．对于D，∵点在上，又在上，在上，∴平面即为平面，又易证平面，∴是平面的法向量，∴要使平面，须与共线，即须与共线，显然不可能，∴不存在实数对使得平面，故D错误.故选：ABC三、填空题9．（2021·天津市实验中学滨海学校高二阶段练习）如图，直三棱柱ABC一中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，DF交于点E，要使平面，则线段的长为____.【答案】【分析】构建空间直角坐标系，由已知确定相关点的坐标并设，进而得到、、的坐标，根据线面垂直有求参数t，即可知线段的长.【详解】以为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，由题意，，，，，，设，，∴，，，平面，∴，即，，解得线段的长为故答案为：10．（2022·全国·高二课时练习）放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD中，H是底面中心，平面ABC，写出：（1）直线BC的一个方向向量___________；（2）点OD的一个方向向量___________；（3）平面BHD的一个法向量___________；（4）的重心坐标___________.【答案】

【分析】先求出正四面体中各边的长度，得到各个点的坐标.对于（1）（2）：直接求出方向向量；对于（3）：根据法向量的定义列方程组，即可求得；对于（4）：利用重心坐标公式直接求得.【详解】由题意可得：,,..由图示，可得：，，，，，，（1）直线BC的一个方向向量为，（2）点OD的一个方向向量为；（3）,.设为平面BHD的一个法向量，则，不妨设，则.故平面BHD的一个法向量为.（4）因为，，，，所以的重心坐标为.故答案为：（1）；（2）；（3）（4）.四、解答题11．（2022·全国·高二专题练习）如图，在直三棱柱中，为的中点，分别是棱上的点，且．(1)求证：直线平面；(2)若是正三角形为中点，能否在线段上找一点，使得平面？若存在，确定该点位置；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)在直线上存在一点，且，使得平面．【分析】（1）利用线面平行判定定理去证明直线平面；（2）建立空间直角坐标系，利用向量的方法保证平面，进而求得点的位置．(1)在直三棱柱中，是的中点，又为的中点

，而，四边形是平行四边形，平面平面，平面．(2)在直线上找一点，使得平面，证明如下：在直