第二章一元二次函数不等式与方程单元检测

第二章一元二次函数、方程和不等式单元检测一、单选题1．（2022高一下·青海西宁·期末）如果，则正确的是（

）A．若a>b，则 B．若a>b，则C．若a>b，c>d，则a+c>b+d D．若a>b，c>d，则ac>bd【答案】C【分析】根据不等式的性质即可逐一求解.【详解】对于A:取则，故A错，对于B:若，则，故B错误，对于C:由同号可加性可知：a>b，c>d，则a+c>b+d，故C正确，对于D:若，则，，故D错误.故选：C2．（2324高一上·吉林延边·阶段练习）不等式的解集为（）A．R B． C． D．【答案】C【分析】利用一元二次不等式的解法直接求解即可.【详解】由，得，得，解得，所以不等式的解集为，故选：C3．（2324高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．最小值为2 B．最大值为2C．最小值为2 D．最大值为2【答案】C【分析】利用基本不等式的概念及运算逐项判断，可得出合适的选项.【详解】当时，，当且仅当即时，等号成立；当时，，当且仅当即时，等号成立；故选项AB错误；任意，，当且仅当时，即也即时，等号成立，所以最小值为2，故选项C正确；当趋向于无穷大时，也趋向于无穷大，所以无最大值，故D错误.故选：C.4．（2324高二上·湖南长沙·期末）集合，集合，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】求解不等式化简，再用充分必要条件判定得答案.【详解】或，或，则，反之不成立，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.5．（2324高一下·广东茂名·期末）已知，则的最小值为（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【分析】借助基本不等式计算即可得.【详解】由，则，故，当且仅当时，等号成立.故选：D.6．（2324高一上·重庆·期末）已知，则的最小值是（

）A．2 B．3 C．6 D．36【答案】C【分析】根据基本不等式即可求解.【详解】由于，所以，所以，当且仅当，即时取等号，故选：C7．（2324高一上·安徽宣城·期末）已知，且，，则的最小值是（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】结合“1”的代换和基本不等式求解即可.【详解】由得，于是，又，，所以，因此，当且仅当，即时，等号成立.故.故选：B.8．（2324高一上·甘肃·期末）若正数a，b满足，则ab的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式将等式转化为关于的不等式即可求解.【详解】，，即.，又因为a，b为正数，所以.，即，当且仅当等号成立，故的取值范围是.故选：C.9．（2223高一上·山东济南·期中）平板电脑屏幕面积与整机面积的比值叫电脑的“屏占比”，它是平板电脑外观设计中的一个重要参数，其值在（0，1）间，设计师将某平板电脑的屏幕面积与整机面积同时减少相同的数量，升级为一款“迷你”新电脑的外观，则该新电脑“屏占比”和升级前比（

）A．“屏占比”不变 B．“屏占比”变小 C．“屏占比”变大 D．“屏占比”变化不确定【答案】B【分析】设法列出升级前后的屏占比表达式，由作差法可比较大小.【详解】设升级前屏幕面积为a,整机面积为b,则屏占比为，设减小面积为，则升级后屏占比为：，则，即，屏占比变小.故选：B10．（2425高一上·江苏·假期作业）负实数、满足，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据为定值，消元后利用基本不等式求最值.【详解】因为负实数、满足，则，可得，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，所以的最小值为.故选：A.二、填空题11．（2324高一上·陕西西安·开学考试）如果，那么下列不等式成立的是．①

②

③

④【答案】④【分析】根据题意，结合不等式的基本性质和作差比较法，逐项判定，即可求解.【详解】由，可得，对于①中，由，所以，所以①不正确；对于②中，由，所以，所以②不正确；对于③中，由，所以，所以③不正确；对于④中，由，所以，所以④正确.故答案为：④.12．（2324高一·全国·课堂例题）不等式的解集是【答案】或．【分析】分式不等式等价转化为整式不等式，结合二次不等式的解法求解集.【详解】原不等式等价于解得或，故不等式的解集是或．故答案为：或13．（2324高一上·上海浦东新·期中）已知，，，则MN（用>、<、=填空）.【答案】【分析】利用作差法比较大小即可.【详解】因为，，所以，故,故答案为：14．（2324高一下·山西大同·期末）若正实数a，b满足，则的最小值是.【答案】【分析】由基本不等式得到，将代入，求出最小值.【详解】因为，由基本不等式得，即，解得，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：15．（2324高一上·广东江门·期中）已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为.【答案】【分析】转化为有实数解，利用判别式即可求解.【详解】“，”是假命题，等价于“，”为真命题，所以有实数解，所以，解得或，所以实数a的取值范围为.故答案为：16．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为．【答案】【分析】两次利用基本不等式即可求出.【详解】，，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.三、解答题17．（2324高一上·广西桂林·阶段练习）（1）解关于x的不等式；（2）解关于x的不等式．【答案】（1）；（2）答案见解析.【分析】（1）解一元二次不等式即可得解.（2）分类讨论求解一元二次不等式.【详解】（1）不等式化为：，解得或，所以原不等式的解集为.（2）不等式化为：，当时，，当时，解得或，当时，解得或，所以当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为18．（2324高一上·浙江嘉兴·阶段练习）（1）已知，且，求的最小值.（2）已知关于的不等式的解集是或，求不等式的解集.【答案】（1）16；（2）【分析】（1）根据基本不等式中“1”的应用可得当时，的最小值为；（2）由一元二次不等式和一元二次方程之间的关系，利用韦达定理可得，且，即可解得不等式的解集为.【详解】（1）因为，所以.因为，所以.当且仅当，即时，即时，等号成立；此时.（2）依题意知和为的两根且；由根与系数的关系有，可得；从而可化为，又，所以可得，即，可得不等式的解集为.19．（2223高一上·湖南衡阳·期末）如图为传统节日玩具之一走马灯，常见于除夕、元宵、中秋等节日灯内点上蜡烛，蜡烛燃烧产生的热力造成气流，令轮轴转动．轮轴上有剪纸，烛光将剪纸的影投射在屏上，图像便不断走动，因剪纸图像为古代武将骑马的图画，在转动时看起来好像几个人你追我赶一样，故名走马灯，现打算做一个体积为96000的如图长方体状的走马灯（题中不考虑木料的厚薄粗细）．(1)若底面大矩形的周长为160cm，当底面边长为多少时，底面面积最大？（设大矩形的长为，宽为）(2)若灯笼高为40cm，现只考虑灯笼的主要框架，当底面边长为多少时，框架用料最少？【答案】(1)长宽均为；(2)长为，宽为【分析】（1）由，然后利用基本不等式求出的最大值，从而求解；（2）由体积一定得然后利用基本不等式求出的最小值，从而求解.【详解】（1）由题意得底面大矩形周长为，且大矩形的长设为，宽设为，所以，得，所以，当且仅当时取等号，此时，所以底面面积最大为.（2）由题意知走马灯的体积为，高为，所以底面积为，框架用料最少等价于底面用料为最小即可，，当，即取等号，故当长为、宽为时，用料最少.20．（2324高一上·山东东营·阶段练