江苏省南京市建邺区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（原卷版）

2023-2024学年第一学期期中学业质量监测试卷

九年级数学

注意事项：

1.本试卷共6页.全卷满分120分.考试时间为120分钟.考生答题全部答在答题卡上，答

在本试卷上无效.

2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将

自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上.

3.答选择题必须用25铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，

再选涂其他答案.答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其

他位置答题一律无效.

4.作图必须用25铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚.

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有

一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.已知。。的半径为5,若点尸在。。内，则。尸的长可以是（）

A.4B.5C.6D.7

2.若关于x的一元二次方程/—2%+。=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（）

A.-1B.1C.-4D.4

3.学校食堂有15元，18元，20元三种盒饭供学生选择（每人购一份）.某天盒饭销售情况如图所示，则当

天学生购买盒饭费用的平均数是（）

学校食堂某天盒饭

销售情况统计图

C.17元D.18元

4.下列说法中，正确是（）

A.两个半圆是等弧B.三个点确定一个圆

C.相等弦所对的弧相等D.圆的内接平行四边形是矩形

5.如图，.。的弦AB,0C的延长线相交于点E,NAOD=142。，为64。，则NAED的度数为（）

A.38°B.39°C.40°D.41°

6.若关于x的方程依?+及+c=0（aw0）的两根之和是祖，两根之积是“，则关于r的方程

a（7+l）2+Z?Q+l）+c=0的两根之积是（）

A.n+m—1B.n+m+1C.zz-m+1D.n—m-1

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置）

7.方程%2—2%=0的解是.

8.据调查，某班40位同学所穿鞋子的尺码如表所示，则鞋子尺码的中位数是码.

尺码/码3536373839404142

人数34687543

9.在：。中，弦A5的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为°.

10.甲、乙两人分别进行5次射击练习，成绩如下（单位：环）：甲：7,8,7,7,10；乙：8,7,8,10,

8.甲、乙的射击成绩的方差分别为s3s3则耳式（填““〈”或

11.建邺区2020年GDP为1122亿元，2022年GDP为1251亿元，设这两年GDP年平均增长率为x,根

据题意可列方程为.

12.圆锥的底面半径为6cm,母线长为10cm,则圆锥的侧面积为cm2

13.如图，AB=AC=AD.若NADB=a,则/BC£）=.

14.如图，在正六边形ABCDEF中，点尸是A尸上任意一点，连接尸C,PD,则_28与正六边形

ABCDEF的面积之比为.

15.设巧是一元二次方程依2+公一（a+b）=O（a,b是常数）的两个根.若王々＜0则%+%2的取

值范围是.

16.如图，在YABCD中，AB=12cm,AD-6cm,ND4B=60°,点尸为AB上一点，过点C,D,

尸作C。，当点尸从点A运动到点2时，点。运动路线的长为cm.

三、解答题（本大题共U小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说

明、证明过程或演算步骤）

17.解下列方程：

⑴/+2%+1=25

(2)(x-2)(x+3)=(%—2)(2x—1),.

18.“强国”自习室规定，每人每天学习需一次性支付10元场地费.随机抽取自习室一周的学习人数如下

表（单位：人）:

星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日合计

5468766496220178756

（1）求该自习室本周日平均营业额.

（2）如果用该自习室本周星期一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额，你认为是否合理？如果

合理，请说明理由；如果不合理，请设计一个方案，并估计该自习室当月（按30天计算）的营业总额.

19.根据江心洲地质水文条件量身打造的“新时代号”泥水平衡盾构机，是目前世界上最先进的盾构设备之

一，被誉为“国之重器”.如图1,盾构机核心部件一刀盘的形状是一个圆形.如图2,当机器暂停时,

刀盘露在地上部分的跨度AB=12m,拱高（弧的中点到弦的距离CD）3m,求盾构机刀盘的半径.

20.如图，已知四边形ABCD是；。的内接四边形，延长。C,A3相交于点E,且NA5C=2NE,求证:

VADE是等腰三角形.

21.已知关于x的方程./+辰+左—2=0

(1)证明：不论上为何值，方程总有两个不相等的实数根;

(2)若左为整数，则当左为何值时，方程的根是整数.

22.如图，48是(。的直径，点C,。在圆上，BC=CD，过点C作CELAD交AD的延长线于点£.

(1)求证：CE是(。的切线；

(2)若A£)=10,AO=13,求CE的长.

23.2023年全国旅游市场持续回暖.经调研，“十一”假期期间，如果某景区门票定价每张80元，那么

当天入园人数预计将达到20000人；如果票价每增加1元，那么当天入园人数就减少200人.要使每日门

票收入达到1620000元，票价应定为多少元？

24.如图，A3是C。的直径，点C在。上，且AC=CE，AE,CB的延长线交于点G,CF_LAB交

于AG于点足垂足为D

B

(I)求证NCAB=NBCD;

(2)求证AF=FG.

25.如图，在ABC中，AB=AC,O是一ABC的外接圆，过点。作AC的垂线，垂足为。，分别交

CB的延长线，AG于点E,F；",的延长线交于点G.

(2)若EB=CG,求/54C的度数.

26.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC=16cm,3。=12cm,动点〃从点A出发沿AC

方向以2cm/s的速度运动到点C,动点N从点8出发沿8。方向以lcm/s的速度运动到点。.若点M,N同

时出发，其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动.

(1)出发1秒钟时，AMON的面积=cm2；

(2)出发几秒钟时，△MQV的面积为1cm2

27.如图，已知“ABC和长度为机的线段.用圆规与无刻度直尺分别作出满足下列条件的圆.(保留作图痕

迹，写出必要的文字说明)

(1)求作。A,使其与线段相交所形成的弦的长度为祖.

(2)求作：°,使其与，AB。各边相交所形成的弦的长度均为日

2023-2024学年第一学期期中学业质量监测试卷

九年级数学

注意事项：

1.本试卷共6页.全卷满分120分.考试时间为120分钟.考生答题全部答在答题卡上，答

在本试卷上无效.

2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将

自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上.

3.答选择题必须用25铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，

再选涂其他答案.答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其

他位置答题一律无效.

4.作图必须用25铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚.

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有

一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.已知。。的半径为5,若点尸在。。内，则。尸的长可以是（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【解析】

【分析】根据点与圆的位置关系可得5,由此即可得出答案.

【详解】解：。的半径为5,点P在内，

:.OP<5,

观察四个选项可知，只有选项A符合，

故选：A.

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系（圆内、圆上、圆外）是解题关键.

2.若关于x的一元二次方程N—2》+。=0有两个相等的实数根，则实数。的值为（）

A.-1B.1C.-4D.4

【答案】B

【解析】

【分析】此题考查了一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到根的判别

式A=Z?2-4ac=0,求出。的值即可.熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键.

【详解】解：:.关于x的一元二次方程/—2x+a=0有两个相等的实数根,

A=(―2)——4-1-«=0,

即4—4a=0

解得：a—\

故选：B.

3.学校食堂有15元，18元，20元三种盒饭供学生选择（每人购一份）.某天盒饭销售情况如图所示，则当

天学生购买盒饭费用的平均数是（）

学校食堂某天盒饭

B.16元C.17元D.18元

【答案】c

【解析】

【分析】本题考查了平均数，根据平均数等于数据总数除以总人数进行列式作答即可.

【详解】解：依题意，设当天有无个学生购买盒饭,

则18x50%x+15x40%x+20x(1-50%-40%)x9x+6x+2x*

xX

所以当天学生购买盒饭费用的平均数是17元

故选：C.

4.下列说法中，正确的是（）

A,两个半圆是等弧B.三个点确定一个圆

C.相等的弦所对的弧相等D.圆的内接平行四边形是矩形

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了与圆有关的概念.熟记和圆有关的各种性质是解题的关键，根据三点共圆的有关知

识、弧弦之间的关系、圆周角定理的知识点逐个选项进行分析.

【详解】解：A、两个半圆半径不一定相等，故不一定是等弧，故两个半圆是等弧此说法不正确，不符合

题意;

B、三个点不一定确定一个圆，当三个点共线时，作任两点间线段的垂直平分线，发现作出的垂直平分线

都互相平行，无法确定一个圆，只有不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆，故此说法不正确，不符

合题意；

C、相等的弦不在同圆或等圆中，所对的弧不一定相等，故此说法不正确，不符合题意；

D、圆内接四边形的对角互补，又平行四边形对角相等，故对角均为直角，根据有一个角是直角的平行四

边形是矩形，故圆的内接平行四边形是矩形此说法正确，符合题意.

故选：D.

5.如图，.。的弦A3,DC的延长线相交于点E，NAOD=142。，为64。，则NAED的度数为（）

A.38°B.39°C.40°D.41°

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外角定理，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一

半，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；连接05OC5D,根据圆周角定理得出

ZABD=-ZAOD=71°,ZBDC=-ZBOC=32°,最后根据三角形的外角定理即可解答.

22

【详解】解：连接05,00,5。，

1/ZAOD=142°,

：.ZABD=-ZAOD=71°,

2

“C为64。，

：.ZBOC=64°,

：.ZBDC=-ZBOC=32°,

2

ZAED=ZABD-ZBDC^71°-32°=39°,

故选：B.

6.若关于X的方程㈤：2+云+。=0（。/0）的两根之和是根，两根之积是小则关于r的方程

a（7+l）2+Z?«+l）+c=0的两根之积是（）

A.n+m-1B.n+m+1C.n-m+1D.n-m-1

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了根与系数的关系：若药，々是一元二次方程q?+法+。=0（。*0）的两根，贝|

be7

玉+X2=，X^X2——.利用换兀的思想是解决问题的关键.先把方程+6（，+1）+。=0看作

aa

关于t+l的一元二次方程，则利用关于X的方程依2+法+。=0（。0（））的两根为孙々得到

%=石-1,t2^x2-l,然后利用根与系数的关系得到结论.

【详解】解：把方程a（/+iy+b（r+l）+c=O看作关于/+1的一元二次方程，

设关于尤的方程依2+反（；+。=0（。/0）的两根为占，x2,

则方程a（/+l）+/?（/+1）+c=0的两根为4=%—1，，2=々—1，

,关于尤的方程at2+bx+c=0（^aw。）的两根之和是m,两根之积是n,

xt+x2-m,xrx2=n,

.,.秘2=（内—1）（%2—1）=%/―（/+/）+1=〃―机+1-

故选：C.

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置）

7.方程V—2》=0的解是.

【答案】玉=2,9=。

【解析】

【分析】利用因式分解法解答，即可求解.

【详解】解：犬―2》=0,

(x-2)x=0,

x-2-0,x-0,

解得：=2,x2=0.

故答案为：占=2,%=。

8.据调查，某班40位同学所穿鞋子的尺码如表所示，则鞋子尺码的中位数是码.

尺码/码3536373839404142

人数34687543

【答案】38

【解析】

【分析】本题考查了中位数，熟记中位数的定义“将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如

果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数

据的平均数就是这组数据的中位数”是解题关键.根据中位数的定义即可得.

【详解】解：由中位数的定义得：第20个数和第21个数的平均数即为中位数，

QQ।QQ

则鞋子尺码的中位数是------=38（码），

2

故答案为：38.

9.在.。中，弦A3的长恰好等于半径，弦A3所对的圆心角为

【答案】60

【解析】

【分析】本题考查了圆心角、等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆心角是解题关键.根据等边三角形的判

定与性质可得NAOfi=60°,由此即可得.

【详解】解：如图，•••在中，弦A3的长恰好等于半径，

:.OA^OB^AB,

是等边三角形，

:.ZAOB=60°,

即弦A5所对的圆心角为60°,

故答案为：60.

10.甲、乙两人分别进行5次射击练习，成绩如下(单位：环)：甲：7,8,7,7,10；乙：8,7,8,10,

8.甲、乙的射击成绩的方差分别为尺,欧，则舄4(填或

【答案】＞

【解析】

【分析】本题考查了方程，根据方差的定义“各个数据与平均数的差的平方的平均数”，求出两人的方程,

即可解答.

【详解】解：根据题意可得：

4=1[3X（7.8-7）2+（8-7.8）2+（10-7.8）2]=1.36,

4=1[3X（8.2-8）2+（8.2-7）2+（10-8.2）2]=0.96,

故答案为：＞.

11.建邺区2020年G0P为1122亿元，2022年G0P为1251亿元，设这两年GDP的年平均增长率为无，根

据题意可列方程为.

【答案】1122(1+4=1251

【解析】

【分析】本题主要考查了一元二次方程是实际应用一增长率问题，解题的关键是掌握：增长率问题中可以

设基数为G平均增长率为x,增长的次数为〃，则增长后的结果为a(l+x)”；而增长率为负数时，则降低

后的结果为据此即可列出方程.

【详解】解：设这两年G0P的年平均增长率为x,

可列方程为：1122(1+无7=1251,

故答案为：1122(1+%)2=1251.

12.圆锥的底面半径为6cm,母线长为10clli,则圆锥的侧面积为cm2

【答案】60K

【解析】

【详解】圆锥的侧面积="底面半径x母线长，把相应数值代入即可求解.

解：圆锥的侧面积=7ix6xl0=60兀cn?.

13.如图，AB=AC^AD.若=则/BCZ)=.

【答案】«+90°##90°+«

【解析】

【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键.先

根据等腰三角形的性质可得==再设NCfiD=x,NCD5=y,则=a+

AADC=a+y,根据等腰三角形的性质可得NACB=NA5C=cr+x,ZACDZADCa+y,然后

在△BCD中，根据三角形的内角和定理可得。+x+y=90。，最后根据NBCD=N4CB+/4co即可得.

【详解】解：AB=AD,ZADB=a,

AABD=AADB=cc,

设NCBD=x,NCDB=y,则ZABC=Of+x,^ADC-a+y,

AB=AC=AD,

:.ZACB=ZABC=a+x,ZACD^ZADC^a+y,

在Z\BCD中,ZCBD+ZCDB+ZACB+ZACD=180°,

:.x+y+a+x+a+y—180°,

整理得：（z+x+y=90°,

NBCD—XACB+ZACD—a+x+a+y—a+90°,

故答案为：«+90°.

14.如图，在正六边形A5CDEF中，点P是A尸上任意一点，连接尸C,PD,则PCD与正六边形

ABCDEF的面积之比为.

【答案】1：3##-

3

【解析】

【分析】本题考查正多边形与圆，三角形的面积，等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知

识，属于中考常考题型.

设正多边形的中心为0,如图，连接Cb,DF,8,根据AE〃CD,得到S9=5°，根据OC=。尸

得到S.0CQ=SOFD=}SpCD,而SOCQ正六边形，求出比值即可•

2o

【详解】解：设正多边形的中心为0,如图，连接。尸，DF,0D,

AF//CD,

,-•uv.PCD一=°s.FCD'

OC=OF,

-SOCD~SOFD=]SPCD，

Soco=%S正六边形，

•・一尸CD与正六边形ABCDEF的面积之比为1:3.

故答案为：1:3.

15.设巧是一元二次方程由及+公一（a+b）=O（mb是常数）的两个根.若王々<0则%+%2的取

值范围是.

【答案】+x2<1

【解析】

hr

【分析】本题考查根与系数的关系，根与系数的关系：芯+%=-一，石%2=一，熟知一元二次方程根与

aa

系数的关系及巧妙使用整体思想是解题的关键.

【详解】解：因为X1,巧是一元二次方程滤+区—（。+8）=0（a,6是常数）的两个根.

所以玉％=二&±21<0,

a

b

即—1—上<0

a

b

所以—<1

a

,b

那么不+%―---<]

a

故答案为：X]+x2<1

16.如图，在YABCD中，AB=12cm,AD-6cm,NZMB=60°,点尸为AB上一点，过点C,D,

尸作（。，当点尸从点A运动到点8时，点。运动路线的长为cm.

【解析】

【分析】依题意，「。是△CDP外接圆，结合四边形ABCD是平行四边形，得02G=^DH,根据

勾股定理以及中位线性质得QG=go”=孚（cm），因为上DH1DC,得四边形

是矩形，则AG=AH+HG=9cm,那么GZ=AG—A/=3cm,结合三角函数，即可作答.

【详解】解：依题意，过点C,D,尸作c。，

故当点尸与点A重合时，此时点P为点6，圆心为点。|,当点尸与点B重合时，此时点尸为点八，圆心

为点。2，过点。作DHLAB，如图所示:

则即是AD的垂直平分线，E尸与AB相交于一点，为/,是CD的垂直平分线，M以与AB相交

于一点，为G,E尸与NM相交于一点，为Q；

因为四边形ABC。是平行四边形

所以。2是YA5CD的对角线的交点，MNJ.AB,DHLDC

那么四边形是矩形，DM=HG=-x12cm=6cm,O,G=-DH

22

因为AB=12cm,AD=6cm,ZDAB=60°,EFJ.AD

所以NFZ4=NG/a=30°,AF=1AD=3cm

故A/=6cm,

所以点。।是A3的中点

当点尸从点A运动到点8时，点O运动路线的长为O。?；

因为AB=12cm,AD=6cm,ZDAB=60°,

所以NADH=30°

则AH=^AD=3cm,DH=y]AD2-AH2=J36-9=（cm）

那么QG=go〃=¥（cm），AGAH+HG=3+6=9（cm）

故仪=46—AZ=女m

因为NG/q=30°,

QGA/3

贝iJtanNG/a=

1G~^

即qG=6cm

所以O1Q=QG+O]G=¥+6=¥(cm)

故答案为：正

2

【点睛】本题考查了三角形的外接圆，以及平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角函数，

难度较大，综合性较强，三角形的外接圆是三边的垂直平分线的交点，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的

关键.

三、解答题(本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说

明、证明过程或演算步骤)

17.解下列方程：

(1)Y+2X+1=25

(2)(x—2)(%+3)=(x—2)(2%—1),.

【答案】(1)演=4,9=—6

(2)%=2,X2=4

【解析】

【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法和直接开方法是解题的关键.

(1)把方程左边化为完全平方式的形式，再求出工的值即可；

(2)先移项，再提取公因式即可.

【小问1详解】

川+2x+1=25，

(犬+1)2=25,

x+1=±-425—±5,

玉=4,九2--6；

【小问2详解】

(%-2)(%+3)=(%-2)(2%-1),

(x-2)(x+3)-(x-2)(2x-1)=0,

(x-2)[(x+3)-(2x-l)]=0,

(x-2)(x+3—2x+l)=0,

(%-2)(4-%)=0,

x-2=0或4-x=0,

%=2,X2=4.

18.“强国”自习室规定，每人每天学习需一次性支付10元场地费.随机抽取自习室一周的学习人数如下

表(单位：人)：

星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日合计

5468766496220178756

(1)求该自习室本周的日平均营业额.

(2)如果用该自习室本周星期一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额，你认为是否合理？如果

合理，请说明理由；如果不合理，请设计一个方案，并估计该自习室当月(按30天计算)的营业总额.

【答案】(1)该自习室本周的日平均营业额为1080元

(2)不合理，理由和方案见解析

【解析】

【分析】本题考查了求算术平均数，用样本估计总体，掌握求算术平均数以及用样本估计总体的方法和步骤

是解题的关键.

(1)根据平均数的定义即可求解；

(2)从极端值对平均数的影响作出判定，可用该自习室周一到周日的平均营业额估计当月营业额.

小问1详解】

解：756x10-7=1080(元)，

答：该自习室本周的日平均营业额为1080元.

【小问2详解】

解：不合理，平均数受极端值的影响较大，周六和周日的营业额明显高于其他5天，所有用该自习室本周

星期一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额不合理；

方案：用该自习室周一到周日的平均营业额估计当月营业额，

1080x30=32400（元）.

19.根据江心洲地质水文条件量身打造的“新时代号”泥水平衡盾构机，是目前世界上最先进的盾构设备之

一，被誉为“国之重器”.如图1,盾构机核心部件一刀盘的形状是一个圆形.如图2,当机器暂停时,

刀盘露在地上部分的跨度=12m,拱高（弧的中点到弦的距离CD）3m,求盾构机刀盘的半径.

图2

【答案】盾构机刀盘的半径为7.5m

【解析】

【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，设。4=OC=rm,构建方程求解.解题的关键是理解题

意，学会利用参数构建方程.

【详解】解：依题意，如图:

设Q4=OC=rm

OCYAB,

/.AD=DB=^AB=6（m）

•-*OA2=AD2+OD2，

,•.r2=62+（r-3）2,

，r=7.5.

所以盾构机刀盘的半径为7.5m.

20.如图，已知四边形ABCD是。的内接四边形，延长。C,A3相交于点E,且=求证:

VADE是等腰三角形.

【答案】见解析

【解析】

【分析】本题主要考查了圆的内接四边形的性质，三角形的外角定理，等角对等边，根据三角形的外角定理，

得出=再根据圆内接四边形对角互补，推出=即可得出ZE=ZBAD，最

后根据等角对等边，即可求证.

【详解】证明：VZABC=2ZE,ZABC=ZE+ZBCE,

:.NE=ZBCE,

•.•四边形ABC。是。的内接四边形，

/.ZBCD+ZBAD=180°

：ZBCE+ZBCD=180°,

ZBCE=ZBAD,

：-ZE=ZBAD，则=

；•VADE是等腰三角形.

21.已知关于x的方程./+辰+左—2=0

（1）证明：不论左为何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若人为整数，则当人为何值时，方程的根是整数.

【答案】（1）见解析（2）当左=2时，方程的根是整数

【解析】

【分析】⑴由『乃一共左—2）＞0可得结论；

（2）求方程得工—一:土J（"2）+4,要使方程的解为整数，贝ij（左—2）2+4为平方数，设

2

（左一2）2+4=/，整理得（小+左一2）（加一左+2）=4,根据加+左一2与加一女+2的奇偶性相同，得

m+k-2-2[m+k-2=-2m—2\m=—2

或＜,求出'c或/c即可•

m-k+2-2\m-k+2=-2k=2k=2

【小问1详解】

证明：A二左2—4（左一2）

=左2—4左+8

=（左-2『+4,

V（Z;-2）2>0,

/.（A:-2）2+4>O,

...无论改取何值，方程总有两个不相等的实数根;

小问2详解】

角星：x2+kx+k—2=0>

*——）士J（）—2丫+4,

X~2

要使方程的解为整数，贝U（左-2）2+4为平方数，

设（左一2y+4=m2，

整理得：（和+左一2乂加一左+2）=4,

,:m+k—2与m—k+2的奇偶性相同，

m+k-2-2\m+k-2--2

：.\或《,

m-k+2-2\m-k+2--2

m-2[m=-2

解得：〈7C或I7C，

K-2k-2

当左=2时，方程变为炉+2%=0，

解得：％=0或x=—2,

・•・当左=2时，方程的根是整数.

【点睛】本题考查了解一元二次方程，以及一元二次方程根的判别式：一元二次方程

㈤：2+陵+。=0（。*0）的根与八=/—44°有如下关系：当A>0时，方程有两个不相等的实数根；当

A=0时，方程有两个相等的实数根；当A<0时，方程无实数根.

22.如图，AB是C。的直径，点C,。在圆上，BC=CD，过点C作CELAD交AD的延长线于点及

(1)求证：CE是「。的切线；

(2)若AD=10,AO=13,求CE的长.

【答案】(1)见详解(2)CE=n

【解析】

【分析】本题考查了切线的判定定理和勾股定理，垂径定理：

(1)连接OC,AC,OA=OC,则NOC4=NQ4C,再由已知条件，可得NOCE=90。；

(2)作得到四边形OCM是矩形和AE=5,根据矩形性质可得CE长.

【小问1详解】

解：连接OC,AC,如图所示：

VOA=OC,

：.ZOCA=ZOAC,

BC=CD

：.ZBAC=ZCAD,

：.ZOCA=ZCAD,

：.OC//AE,

,：ZE=9Q°,

：.NOCE=NE=90。，

OC±CE,

•••0。是,。半径，

，CE是；O的切线；

【小问2详解】

解：如图，作OF_LA£),

2

VZ.OFE=ZFEC=ZECO=90°,

四边形OC所是矩形，

CE=OF,

在Rt_AO/中，由勾股定理得：

OF=A/132-52=12

CE=n.

23.2023年全国旅游市场持续回暖.经调研，“十一”假期期间，如果某景区门票定价为每张80元，那么

当天入园人数预计将达到20000人；如果票价每增加1元，那么当天入园人数就减少200人.要使每日门

票收入达到1620000元，票价应定为多少元？

【答案】票价应定为90元

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设票价应定为x元，根据票价义每日销售的票数=每日门票收

入，列出一元二次方程，解方程即可.

【详解】解：设票价应定为x元，

由题意得：尤[20000—200(%—80)]=1620000,

整理得：X2-180X+8100=0;

解得：%=90,

所以票价应定为90元.

24.如图，43是（。的直径，点C在。上，且AC=CE，AE,CB的延长线交于点G,CF_LAB交

于AG于点孔垂足为D

（1）求证NCAB—/BCD;

（2）求证AF=FG.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角相等，直径

所对的圆周角是直角.

（1）根据是。。直径，得出NACD+/BCD=90。，再根据CFLAB,得出

ZC4B+ZACD=90%即可求证；

（2）根据圆周角定理得出/A3C=NC4E,根据NACB=90。，CF±AB,得出

ZCAD+ZACD=ZCAD+ZABC^90°,则NACD=NABC,进而得出NACD=NC4E,贝I

AF=CF,再根据NG+NC4E=NBCD+NACD=90。，ZACD=ZCAE,得出NG=/BCD,则

CF=FG,即可求证.

【小问1详解】

证明：；A3是「。的直径，

NACB=90。，

ZACD+ZBCD=90°,

-：CF±AB,

：.ZADC^90°,

：.ZCAB+ZACD=90°,

：.ZCAB=/BCD;

【小问2详解】

证明：：AC=CE，

/.ZABC=NCAE,

VZACB=90°,CFLAB,

ZCAD+ZACD=ZCAD+ZABC=90°,

ZACD=ZABC,

：.ZACD=ZCAE,

：.AF=CF,

VZG+ZCAE=ZBCD+ZACD^90°,ZACD=ZCAE,

：.NG=/BCD,

:.CF=FG,

：.AF=FG.

25.如图，在ABC中，AB=AC,。是以46。的外接圆，过点。作AC的垂线，垂足为。，分别交

CB的延长线，AG于点E,F；AF>8C的延长线交于点G.

(2)若E3=CG,求/8AC的度数.

【答案】(1)见解析(2)NB4c=36°

【解析】

【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，三角形的内角和定理，

正确作出辅助线，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

(1)连接。尸，根据垂径定理得出AF=CF^则NPC4=NE4C，根据等边对等角得出

ZABC=ZACB,结合圆的内接四边形的性质，得出NGEC=NABC,进而得出NG〃C=NACfi,根

据NGFC=NE4C+N/C4,NACB=NG4C+NG,则NG=N/C4,得出NG=NE4C,即可求证

AC=CG；

(2)连接AE,易得EB=AB，ZABC=ZACB,则/AEB=/FAB,设ZAEB=NEAB=x,则

ZABC^ZACB=2x,根据垂径定理和三线合一推出AE=CE,则NACB=NEAC=2x,进而得出

NB4C=NE4C—/£45=兀最后根据Na4C+NACB+NABC=x+2x+2x=180°,即可求解.

【小问1详解】

解：连接。尸，

•/OF±AC,

AF=CF，

：.ZFCA=ZFAC,

'：AB=AC,

：.ZABC=ZACB,

VZABC+ZAFC=180°,ZGFC+ZAFC=180°,

/.NGFC=ZABC,

/.NGFC=ZACB,

ZGFC=ZFAC+ZFCA,ZACB=ZGAC+ZG,

/.ZG^ZFCA,

：.ZG^ZFAC,

/.AC=CG；

【小问2详解】

解：连接AE,

,:EB=CG,AC=CG,AB=AC,

:•EB=AB，/ABC=ZACB,

；•ZAEB=ZEAB,

设ZAEB=NEAB=x,则ZABC=ZACB=2x,

•/OD1AC,

AD=CD,

•/EDIAC,

AE=CE,

ZACB=ZEAC=2x,

：.NBAC=ZEAC-ZEAB=x

在ABC中，ZBAC+ZACB+ZABC=x+2x+2x=lSQ°,

解得：x=36°,

/.ZBAC=36°.

A

26.如图，菱形ABC。的对角线AC,BD交于点O,AC=16cm,=12cm,动点M从点A出发沿AC

方向以2cm/s的速度运动到点C,动点N从点2出发沿2。方向以Icm/s的速度运动到点D若点M,N同

时出发，其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动.

(1)出发1秒钟时，AWN的面积=cm2；

(2)出发几秒钟时，AMQV的面积为len?

【答案】⑴15⑵”5+&或，=5或y5-&

【解析】

【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程与几何问题，掌握菱形的对角线互相垂直平分，根据题意进

行分类讨论是解题的关键.

(1)根据菱形的性质得出0A=—AC=8cm,OB=—BD=6cm,ACd.