山东泰安肥城市2023-2024学年数学高一下期末检测试题含解析

山东泰安肥城市2023-2024学年数学高一下期末检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值为2，则的取值范围是（）A． B． C． D．2．将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，5个剩余分数的平均分为21，现场作的7个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示,则5个剩余分数的方差为()A． B． C．36 D．3．等差数列中，，且，且，是其前项和，则下列判断正确的是（）A．、、均小于，、、、均大于B．、、、均小于，、、均大于C．、、、均小于，、、均大于D．、、、均小于，、、均大于4．已知数列的前项和为，满足，则通项公式等于()．A． B． C． D．5．设等差数列的前n项和为，若，则()A．3 B．4 C．5 D．66．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P,则△PBC的面积大于的概率是()A． B． C． D．7．已知是奇函数，且.若，则（）A．1 B．2 C．3 D．48．在区间上随机选取一个数，则的概率为（）A． B． C． D．9．在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是（）A． B． C． D．10．《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月（按30天计）共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布.A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数的最小正周期为.12．已知等差数列，，，，则______.13．在中，内角，，的对边分别为，，.若，，成等比数列，且，则________.14．若，则函数的最小值是_________.15．在中，给出如下命题:①是所在平面内一定点，且满足，则是的垂心；②是所在平面内一定点，动点满足，，则动点一定过的重心；③是内一定点，且，则；④若且，则为等边三角形，其中正确的命题为_____（将所有正确命题的序号都填上）16．在等差数列中，若，且它的前n项和有最大值，则当取得最小正值时，n的值为_______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在中，内角的对边分别为，且.（1）求角；（2）若，，求的值.18．设的内角所对应的边长分别是，且.（Ⅰ）当时，求的值；（Ⅱ）当的面积为时，求的值．19．已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数在区间上的最值以及相应的x的取值．20．设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝3，Sn＝1Sn﹣1+n（n≥1）（1）求出a1，a3的值，并证明：数列{an+1}为等比数列；（1）设bn＝log1（a3n+1），数列{}的前n项和为Tn，求证：1≤18Tn＜1．21．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任取个，求至多有人在分数段内的概率．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

化简函数为正弦型函数，根据题意，利用正弦函数的图象与性质求得的取值范围.【详解】解：函数则函数在上是含原点的递增区间；又因为函数在区间上是单调递增，则，得不等式组又因为，所以解得.又因为函数在区间上恰好取得一次最大值为2，可得，所以，综上所述，可得.故选：D.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图像和性质应用问题，也考查了三角函数的灵活应用，属于中档题.2、B【解析】

由剩余5个分数的平均数为21，据茎叶图列方程求出x＝4，由此能求出5个剩余分数的方差．【详解】∵将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个分数的平均数为21，∴由茎叶图得：得x＝4，∴5个分数的方差为：S2故选B【点睛】本题考查方差的求法，考查平均数、方差、茎叶图基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．3、C【解析】

由，且可得，，，，结合等差数列的求和公式即等差数列的性质即可判断.【详解】，且，，数列的前项都是负数，，，，由等差数列的求和公式可得，，由公差可知，、、、均小于，、、均大于.故选：C.【点睛】本题考查等差数列前项和符号的判断，解题时要充分结合等差数列下标和的性质以及等差数列求和公式进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.4、C【解析】

代入求得；根据可证得数列为等比数列，从而利用等比数列通项公式求得结果.【详解】当时，当且时，则，即数列是以为首项，为公比的等比数列本题正确选项：【点睛】本题考查数列通项公式的求解，关键是能够利用得到数列为等比数列，属于常规题型.5、C【解析】

由又，可得公差，从而可得结果.【详解】是等差数列又，∴公差，，故选C．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.6、C【解析】

记事件,基本事件是线段的长度，如下图所示，作于，作于，根据三角形的面积关系得，再由三角形的相似性得，可得事件的几何度量为线段的长度，可求得其概率.【详解】记事件,基本事件是线段的长度，如下图所示，作于，作于，因为，则有；化简得：，因为，则由三角形的相似性得，所以，事件的几何度量为线段的长度，因为，所以的面积大于的概率．故选：C【点睛】本题考查几何概型，属于基础题.常有以下一些方面需考虑几何概型，求解时需注意一些要点.(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解.(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域。(3)几何概型有两个特点:一是无限性，二是等可能性.基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用"比例解法求解几何概型的概率.7、C【解析】

根据题意，由奇函数的性质可得，变形可得：，结合题意计算可得的值，进而计算可得答案．【详解】根据题意，是奇函数，则，变形可得：，则有，即，又由，则，，故选：．【点睛】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及诱导公式的应用，属于基础题．8、C【解析】

根据几何概型概率公式直接求解可得结果.【详解】由几何概型概率公式可知，所求概率本题正确选项：【点睛】本题考查几何概型中的长度型概率问题的求解，属于基础题.9、C【解析】

如图，取中点，则平面，故，因此与平面所成角即为，设，则，，即，故，故选C.10、B【解析】由题可知每天织的布的多少构成等差数列,其中第一天为首项,一月按30天计可得,从第2天起每天比前一天多织的即为公差.又,解得.故本题选B.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】试题分析：，所以函数的周期等于考点：1.二倍角降幂公式；2.三角函数的周期.12、【解析】

利用等差中项的基本性质求得，，并利用等差中项的性质求出的值，由此可得出的值.【详解】由等差中项的性质可得，同理，由于、、成等差数列，所以，则，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用等差中项的性质求值，考查计算能力，属于基础题.13、【解析】

A,B,C是三角形内角，那么，代入等式中，进行化简可得角A,C的关系，再由，，成等比数列，根据正弦定理，将边的关系转化为角的关系，两式相减可得关于的方程，解方程即得．【详解】因为，所以，所以.因为，，成等比数列，所以，所以，则，整理得，解得.【点睛】本题考查正弦定理和等比数列运用，有一定的综合性．14、【解析】

利用基本不等式可求得函数的最小值.【详解】，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，因此，当时，函数的最小值是.故答案为：.【点睛】本题考查利用基本不等式求函数的最值，考查计算能力，属于基础题.15、①②④．【解析】

①:运用已知的式子进行合理的变形，可以得到，进而得到，再次运用等式同样可以得到,，这样可以证明出是的垂心；②：运用平面向量的减法的运算法则、加法的几何意义，结合平面向量共线定理，可以证明本命题是真命题；③：运用平面向量的加法的几何意义以及平面向量共线定理，结合面积公式，可证明出本结论是错误的；④：运用平面向量的加法几何意义和平面向量的数量积的定义，可以证明出本结论是正确的.【详解】①:，同理可得：,，所以本命题是真命题；②:，设的中点为，所以有，因此动点一定过的重心，故本命题是真命题；③:由，可得设的中点为，,,故本命题是假命题；④:由可知角的平分线垂直于底边，故是等腰三角形，由可知：，所以是等边三角形，故本命题是真命题，因此正确的命题为①②④.【点睛】本题考查了平面向量的加法的几何意义和平面向量数量积的运算，考查了数形结合思想.16、.【解析】试题分析：因为等差数列前项和有最大值，所以公差为负，所以由得，所以，＝，所以当时，取到最小正值．考点：1、等差数列性质；2、等差数列的前项和公式．【方法点睛】求等差数列前项和的最值常用的方法有：(1)先求，再利用或求出其正负转折项，最后利用单调性确定最值；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得前项和的最值；（3）利用等差数列的前项和(为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2），【解析】

（1）由正弦定理可得，求得，即可解得角；（2）由余弦定理，列出方程，即可求解.【详解】（1）由题意知，由正弦定理可得，因为，则，所以，即，又由，所以.（2）由（1）知和，，由余弦定理，即，即，解得，所以.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦、余弦定理，准确计算是解答的挂念，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.18、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）由得，再利用正弦定理即可求出（Ⅱ）由可得，再利用余弦定理即可求出.【详解】（Ⅰ）∵∴，由正弦定理可知：，∴（Ⅱ）∵∴由余弦定理得：∴，即则：故：【点睛】本题主要考查了正弦定理与余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）时，取得最大值2；时，取得最小值.【解析】

（Ⅰ）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式将函数化为y＝Asin（ωx+φ）的形式，利用三角函数的周期公式求函数的最小正周期．（Ⅱ）利用x∈[，]上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值和最小值．【详解】(Ⅰ)因为函数f（x）＝4cosxsin（x）1．化简可得：f（x）＝4cosxsinxcos4cos2xsin1sin2x+2cos2x1sin2x+cos2x＝2sin（2x）所以的最小正周期为．(Ⅱ)因为，所以．当，即时，f（x）取得最大值2；当，即时，f（x）取得最小值-1．【点睛】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属于基础题．20、（1）见解析；（1）见解析【解析】

（1）可令求得的值；再由数列的递推式，作差可得，可得数列为首项为1，公比为1的等比数列；（1）由（1）求得，，再由数列的裂项相消求和，可得，再由不等式的性质即可得证．【详解】（1）当时，，即，∴，当时，，即，∴，∵，∴，，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴数列是首项为，公比为1的等比数列.（1）由（1）可知，所以，所以，，，,所以,所以,即．【点睛】本题主要考查了数列的递推式的运用，考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题．21、(1)0.3，直方图见解析；(2)121；(3).【解析】

（1）频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，而频率的和等于1，可求出分数在内的频率，即可求出矩形的高，画出图象即可；（2）同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，将中点值与每一组的频率相差再求出它们的和即可求出本次考试的平均分；（3）先计算、分数段的人数，然后按照比例进行抽取，设从样本中任取2人，至多有1人在分数段为事件，然后列出基本事件空间包含的基本事件，以及事件包含的基本事件，最后将包含事件的个数求出题目比值即可.【详解】(1)分数在[120,130)内的频率为：1－(0.1＋0.15＋0.15＋0.25＋0.05)＝1－0.7＝0.3，，补全后的直方图如下：(2)平均分为：95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05＝121.(3)由题意，[110,120)分数段的人数为：60×0.15＝9人，[120,130)分数段的人数为：60×0.3＝18人．∵用分层抽样的方