2019-2020学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.3简单几何体的表面积与体积第2课时球的体积和表面积应用案巩固提升新人教A版必修第二册

PAGE1-第2课时球的体积和表面积[A基础达标]1．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为()A．2∶3 B．4∶9C.eq\r(2)∶eq\r(3) D.eq\r(8)∶eq\r(27)解析：选B.设两个球的半径分别为r，R，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)πr3))∶eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)πR3))＝r3∶R3＝8∶27，所以r∶R＝2∶3，所以S1∶S2＝r2∶R2＝4∶9.2．已知球的表面积为16π，则它的内接正方体的表面积S的值是()A．4π B．32C．24 D．12π解析：选B.设球的内接正方体的棱长为a，由题意知球的半径为2，则3a2＝16，所以a2＝eq\f(16,3)，正方体的表面积S＝6a2＝6×eq\f(16,3)＝32.3．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为()A.eq\f(32π,3) B.eq\f(8π,3)C．8eq\r(2)π D.eq\f(8\r(2)π,3)解析：选D.设截面圆的半径为r，则πr2＝π，故r＝1，由勾股定理求得球的半径为eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，所以球的体积为eq\f(4,3)π(eq\r(2))3＝eq\f(8\r(2)π,3)，故选D.4．把一个铁制的底面半径为r，高为h的实心圆锥熔化后铸成一个铁球，则这个铁球的半径为()A.eq\f(r\r(h),2) B.eq\f(r2h,4)C.eq\r(3,\f(r2h,4)) D.eq\f(r2h,2)解析：选C.设铁球的半径为R，因为eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(4,3)πR3，所以R＝eq\r(3,\f(r2h,4)).5．已知A，B是球O的球面上两点，且球的半径为3，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．当三棱锥O­ABC的体积取得最大值时，则过A，B，C三点的截面的面积为()A．6π B．12πC．18π D．36π解析：选A.因为O为球心，∠AOB＝90°，所以截面AOB为球大圆，所以当动点C满足OC⊥平面OAB时，三棱锥O­ABC的体积最大，此时，OA＝OB＝OC＝R＝3，则AB＝AC＝BC＝3eq\r(2)，所以截面ABC的圆心O′为△ABC的中心，所以圆O′的半径r＝O′C＝3eq\r(2)×eq\f(\r(3),3)＝eq\r(6)，所以截面ABC的面积为π×(eq\r(6))2＝6π，故选A.6．已知球面上的四点P、A、B、C，PA、PB、PC的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，则这个球的表面积为______．解析：球面上的四点P、A、B、C，PA、PB、PC的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，是长方体的一个角，扩展为长方体，两者的外接球相同，长方体的对角线长为eq\r(32＋42＋52)＝5eq\r(2)，外接球的半径为eq\f(5\r(2),2).外接球的表面积为4πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(2),2)))eq\s\up12(2)＝50π.答案：50π7．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则eq\f(S1,S2)＝________．解析：由题意可得圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，则S1＝6π，S2＝4π.所以eq\f(S1,S2)＝eq\f(6π,4π)＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)8.圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.解析：设球的半径为xcm，由题意得πx2×8＝πx2×6x－eq\f(4,3)πx3×3，解得x＝4.答案：49．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V＝eq\f(4,3)πr3＋πr2l＝eq\f(4,3)π×13＋π×12×3＝eq\f(13π,3).10．若一个底面边长为eq\f(\r(6),2)，侧棱长为eq\r(6)的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积．解：如图，在底面正六边形ABCDEF中，连接BE，AD交于O，连接BE1，则BE＝2OE＝2DE，所以BE＝eq\r(6)，在Rt△BEE1中，BE1＝eq\r(BE2＋E1E2)＝2eq\r(3)，所以2R＝2eq\r(3)，则R＝eq\r(3)，所以球的体积V球＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π，球的表面积S球＝4πR2＝12π.[B能力提升]11．若等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，则它们的表面积的大小关系是()A．S球＜S圆柱＜S正方体B．S正方体＜S球＜S圆柱C．S圆柱＜S球＜S正方体D．S球＜S正方体＜S圆柱解析：选A.设等边圆柱底面圆半径为r，球半径为R，正方体棱长为a，则πr2·2r＝eq\f(4,3)πR3＝a3，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,r)))eq\s\up12(3)＝eq\f(3,2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,r)))eq\s\up12(3)＝2π，S圆柱＝6πr2，S球＝4πR2，S正方体＝6a2，eq\f(S球,S圆柱)＝eq\f(4πR2,6πr2)＝eq\f(2,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,r)))eq\s\up12(2)＝eq\r(3,\f(2,3))＜1，eq\f(S正方体,S圆柱)＝eq\f(6a2,6πr2)＝eq\f(1,π)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,r)))eq\s\up12(2)＝eq\r(3,\f(4,π))＞1.故选A.12．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为eq\f(32,3)π，那么这个正三棱柱的体积是()A．96eq\r(3) B．16eq\r(3)C．24eq\r(3) D．48eq\r(3)解析：选D.由题意可知正三棱柱的高等于球的直径，从棱柱中间平行棱柱底面截得球的大圆内切于正三角形，正三角形与棱柱底的三角形全等，设三角形边长为a，球半径为r，由V球＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(32,3)π，得r＝2.由S柱底＝eq\f(1,2)a×r×3＝eq\f(\r(3),4)a2，得a＝2eq\r(3)r＝4eq\r(3)，所以V柱＝S柱底·2r＝48eq\r(3).13．如图，ABCD是正方形，eq\o(BD,\s\up8(︵))是以A为圆心、AB为半径的弧，将正方形ABCD以AB为轴旋转一周，则图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋转所得旋转体的体积之比为________．解析：Ⅰ生成圆锥，Ⅱ生成的是半球去掉圆锥Ⅰ，Ⅲ生成的是圆柱去掉扇形ABD生成的半球．设正方形的边长为a，则Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋转所得旋转体的体积分别为VⅠ、VⅡ、VⅢ，则VⅠ＝eq\f(1,3)πa3，VⅡ＝eq\f(4,3)πa3÷2－eq\f(1,3)πa3＝eq\f(1,3)πa3，VⅢ＝πa3－eq\f(4,3)πa3÷2＝eq\f(1,3)πa3.所以三部分所得旋转体的体积之比为1∶1∶1.答案：1∶1∶114．将一个底面圆的直径为2、高为1的圆柱截成横截面为长方形的棱柱(如图)，设这个长方形截面的一条边长为x，对角线长为2，截面的面积为A.(1)求面积A以x为自变量的函数关系式；(2)求出截得棱柱的体积的最大值．解：(1)横截面如图长方形所示，由题意得A＝x·eq\r(4－x2)(0<x<2)．(2)V＝1·xeq\r(4－x2)＝eq\r(－（x2－2）2＋4)，由上述知0<x<2，所以当x＝eq\r(2)时，Vmax＝2.即截得棱柱的体积的最大值为2.[C拓展探究]15．如图是某几何体的三视图．(1)求该几何体外接球的体积；(2)求该几何体内切球的半径．解：(1)由三视图可知，该几何体是三条侧棱两两垂直的三棱锥，如图，以DC，DB，DA为长、宽、高构造一个长方体，则该长方体的外接球就是该三棱锥的外接球，即外接球的半径R＝eq\f(1,2)eq\r(22＋22＋12)＝eq\f(3,2)，所以该几何体外接球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(9,2)π.(2)设内切球的球心为O，半径为r，则VA­BCD＝VO­ADB＋VO­ADC＋VO­DCB＋VO­ABC.即eq\f(1,3)×eq\