2024年江西省赣州市高二下学期7月期末考数学试题及答案

赣州市2023~2024学年度第二学期期末考试高二数学试卷一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.Axx1,Bxx3x2AB1.已知集合，则（）x0x1xx0xxD.{xx1x或A.B.C.exx1，则p2.已知命题p:x为（）xxexx1x0,exx1x1）A.C.B.D.exx1x0,ex中，aaa27246，则log31log37（a3.正项等比数列nA.1B.2C.3D.44.已知函数的定义域为R且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是fxfxyx（）的增区间是fx2,0,A.函数B.函数的减区间是fx,2,C.x2是函数的极大值点D.x2是函数的极大值点5.“m£1”是“函数2fxx1在单调递增”的（）2A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6.在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，设置不同激活神经单元的函数，其中函数h是比较eexxeexx常用的一种，其解析式为tanhx.关于函数，下列结论错误的是（tanhx）有解tanhx奇函数tanhx是1A.C.B.D.不是周期函数是单调递增函数tanhxtanhxfxxx图像上的动点，是直线上的动点，则,B两点间距离xy207.已如A是函数BAB的最小值为（）A42B.4C.22D.51011的前项和为，公差为d1，则下列结论正确的是（）annSn8.设等差数列S0n成立的最小自然数是20aaa0A.C.B.使得4518nS910S21S22D.9102122､二多选题：本题共小题，每小题分，共3618分.在每小题给出选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错项得0分.a,bRab，a,b,c都不为0，则下列不等式一定成立的是（9.已知，且）1a1bA.C.B.acbcabab11D.22c2c2a,b4abab5，则下列结论正确的是（10.已知正数A.的最大值为1C.16ab的最小值为9满足）B.4ab的最小值为4111022D.的最小值为a1b911.记方程x1的实数解为Ω（ΩΩ被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关Ω的结论正确的是（）A.ΩΩ01132Ω,B.C.Ω22Ω101xfxexfΩ的最小值为D.函数x､三填空题：本题共小题，每小题分，共3515分.fxx0yfxgxxgg012.已知函数是R上的奇函数，，则__________.3x01nπ的前项和为，若nsin，则，当S2024__________.anSn13.数列nn1n2x3x1214.已知定义在R上的函数满足fxfx1fx2x3时，fx，则exyfx1012,1012在上的零点个数为__________个.､四解答题：本题共小题，共577分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤..､15.已知函数fxax3bx2xR的图象过点P2，且在点P处的切线恰好与直线3xy40平行.fx（1）求函数的解析式；（2）求在上的最大值和最小值4,1.fx的公差成等比数列，数列的前项和公式为ad4a,a,abnn16.已知等差数列n137.Sb2nN*nn（1）求数列和的通项公式：abnncab的前项和cnn（2）设，求数列.nnnn17.已知函数为二次函数，有，__________，从下列条件中选取一个，补全到fxff451232fx1f23fxfx题目中，①，②函数为偶函数，③（1）求函数的解析式；fxx2gxx（2）若23x1x1,2，若对任意的，总存在，使得2212gxfx1m成立，求实数的取值范围.21fxxxax18.已知函数2,fx为fxgxfx的导函数，记，其中为常数.a（1）讨论的单调性；gx（2）若函数有两个极值点，fxx,xxx1212a①求的取值范围；1xx②求证：.12a19.若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，3进行构造，第一次得到数列1，4，3：第二次得到数列4,7,3：依次构造，次得到的数列的所有项之和记为，如nnN*ana1438.1第a（1）求；3（2）求的通项公式；an11115（3）证明：.123n24赣州市2023~2024学年度第二学期期末考试高二数学试卷一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.Axx1,Bxx3x2AB1.已知集合，则（）x0x1xx0xxD.{xx1x或A.B.C.【答案】A【解析】【分析】先解一元二次不等式，求解集合B，再求交集即可.Axx1,，又Bxx23x0xxx30x0x3【详解】因为ABx0x1.所以故选：A.exx1，则p2.已知命题p:x为（）xxexx1x0,exx1x1A.C.B.D.exx1x0,ex【答案】D【解析】【分析】全称量词命题的否定，首先把全称量词改成存在量词，然后把后面结论改否定即可.pp:x0,ex1是全称量词命题，则命题x【详解】因为命题为存在量词命题，p由全称量词命题的否定得，命题：xexx1.故选：D.中，aaa27246，则（）alog31log373.正项等比数列nA.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】a4【分析】根据等比数列的性质求出即可得解.aaaa3427a，解得43，【详解】由等比数列性质可知246aaaaa2332，42所以31373173故选：B4.已知函数的定义域为R且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是fxfxxy（）的增区间是fx2,0,A.函数B.函数的减区间是fx,2,C.x2是函数的极大值点D.x2是函数的极大值点【答案】C【解析】【分析】根据函数图象确定导函数的符号，确定函数的单调区间和极值.的图象可知：xfxy【详解】根据x<2f(x)>02x0fx00x2fx0x2，当时，¢)f(x>0.当时，；时，，当时，所以在上单调递增，在2上单调递减.,2,fx因此函数在x2时取得极小值，在fxx2取得极大值.故ABD错误，C正确.故选：C1在fxx5.“m£1”是“函数2单调递增”的（B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件）2A充分不必要条件C.充要条件【答案】B【解析】【分析】利用对数函数与复合函数的单调性计算即可.【详解】由二次函数、对数函数的单调性及复合函数的单调性可知：1在fxx要满足函数2单调递增，2m1m0，2需要12m110因为01，所以“m£1”是“函数fxx21在单调递增”的必要不充分条件．2故选：B．6.在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，设置不同激活神经单元的函数，其中函数h是比较eexxeexx常用的一种，其解析式为tanhx.关于函数，下列结论错误的是（tanhx）有解tanhx是奇函数tanhx1A.C.B.D.不是周期函数是单调递增函数tanhxtanhx【答案】A【解析】【分析】考虑函数的值域可判断A，根据函数的奇偶性定义判断B，由复合函数的单调性分析可判断D，由D结合周期定义判断C.eexxeexx2ex2【详解】由tanh(x)11x2x，exee1222111tanh(x)(，即，故错误；因e2x11，则0，可得Ae2x1e2x1eexxeexxeexxeexxtanh(x)tanh(x)是奇函因为的定义域为R，且h(x)h(x)，所以数，故B正确；eexxeexx21tanh(x)1，因e2x是增函数，e2x1是增函数且恒为正数，则是减函数，故e2x1e2x1tanh(x)是增函数，故D正确；由D可知函数在R上单调递增，所以当T0时，，所以函数不是周期函数，故tanhxT)tanhxC正确.故选：Afxxx图像上的动点，是直线上的动点，则xy20,B两点间距离7.已如A是函数BAB的最小值为（）A.42B.4C.22D.5【答案】C【解析】【分析】先求函数斜率为1的切线，然后切线与直线xy20的距离即为所求.fx2【详解】因为fxx2lnxfxx01，x由1，得x1，又f11，fx所以过点的切线为：即xy20.fxy1x14xy20与xy20d的距离为：22即为所求.直线2故选：C1011的前项和为，公差为d1，则下列结论正确的是（）annSn8.设等差数列S0成立的最小自然数是20naaa0A.C.B.使得4518nS910S21S22D.9102122【答案】C【解析】aaaa0【分析】根据题意可知数列单调递减且，由通项公式化简可判断A，由等差数Snn为递减数列即可判断Ca,SnSS的关系及的符20,22列的性质及求和公式结合条件可判断Bn号可判断D.1011d1可知，等差数列aaaaa0【详解】由公差为为递减数列且，naaaa24da0对A，，故A错误；451920(aa)对B，因为10110，所以aaaa0S，所以10，故B错误；12n(nSnn1ddSdd0为单调递减数对C，因为2，且，所以由一次函数单调性知nn12nn22S991010列，所以，故C正确；S0Sa0SSa0对D，由B知，且，所以，22S21a21SSS20S22S22S21S222122S21S22因为，，若，则，且22S22S21S21S20S22S21S21S22S210，S20即S0S0，而，，SSSSSS，即S221S22S20212221222120S2121S2222显然矛盾，故不成立，故D错误.故选：C､二多选题：本题共小题，每小题分，共3618分.在每小题给出选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错项得0分.a,bRab，a,b,c都不为0，则下列不等式一定成立的是（9.已知，且）1a1bA.C.B.acbcabab11D.22c2c2【答案】BC【解析】【分析】由不等式的性质和函数单调性，判断选项中的不等式是否成立.11a0b【详解】当时，有，A选项错误；ab，得acbc，B选项正确；ab，则acbcab0abababc2，C选项正确；2ab，0，得c2c2c2cxab1211函数y在R上单调递减，ab，则，D选项错误.22故选：BC10.已知正数a,b4abab5，则下列结论正确的是（满足）A.的最大值为1C.16ab的最小值为9B.4ab的最小值为41110922D.的最小值为a1b【答案】ABD【解析】【分析】根据均值不等式分别建立不等式解不等式可判断AB，先变形16a2b2为关于的二次函数求最11值判断C，利用条件变形可得a1b4)9，转化为关于b的式子由均值不等式判断D.a1ba,b4abab5ab1，【详解】由正数满足，可得4ab5ab4ab，解得01，即1当且仅当4ab，即a,b2时等号成立，故A正确；22114aba,b4abab54ab由正数满足，可得4ab5，442124ab4或4ab204ab，即a,b2时等号成立，故B正确；解得b2(4ab)28ab5ab28abab956，由A知ab1，216a222时，16a2b的最小值为，故由二次函数的单调性知ab9569)568，即ab128C错误；1a1b4b4由4abab5可得4a4bab9，即ab4)9，所以99，911b14b14109bb1272，即b3，a所以，当且仅当时等号成立，故D正a1b9b9999b确.故选：ABD11.记方程正确的是（x1的实数解为Ω（ΩΩ被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关Ω的结论）A.ΩΩ01132Ω,B.C.ΩD.函数【答案】ACD22Ω101xfΩ的最小值为fxexx【解析】gxe1，利用导数判断其单调性，结合零点存在性定理分析判断B选项，对于A：【分析】构建xΩ对e1，，取对数整理即可；对于：根据二次函数单调性判断；对于D：结合不等式Cfx1，当且仅当1时，等号成立.xx10分析可知x【详解】构建gxex1，则Ω为gx的零点，因为x1ex，gxgx0，gx,1若x1，则gx0，可知在内单调递减，且gx，可知在内单调递增，所以在内无零点；,1gx若x1，则gx0e，所以在内存在唯一零点Ω；g0.510且g1e10gx21Ωe，对于选项A：因为e1，，即1lneΩΩ0，故A正确；两边取对数可得：，Ω，故B不正确；对于选项B：由上可知对于选项C：yΩ2Ω1对称轴为Ω1，而Ω，故yΩ2Ω1单调递增，22Ω0.5，yΩ22Ω1最小值为，所以22Ω10，故C正确；当Ω1对于选项D：构建hxxxx0hx1，则，x令x1；令hx0，解得hx00x1；，解得可知在内单调递减，在内单调递增，hx0,1则hxh0xx10，当且仅当x1时，等号成立，，可得t0可得tt10，令tex，1eexex1exxexxxx1ex1xxexx1x则fx1，xx1x1，即ex时，等号成立，当且仅当x所以的最小值为fxf(Ω)，故D正确；故选：ACD.【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．､三填空题：本题共小题，每小题分，共3515分.fxx0gg0__________.yfxgxx12.已知函数是R上的奇函数，，则3x0【答案】2【解析】f(0)0g(x)解析式得解.【分析】根据奇函数的定义得出，再由yfx是R上的奇函数，所以f(0)0，【详解】因为函数gg0gf01g312，所以故答案为：21nπ的前项和为，若nsin，则S2024__________.anSn13.数列nn1n220242025【答案】【解析】nπ2sin是周期为【分析】先按通项进行分组求和，再由分式数列用裂项法求和，而数列4的数列，所以按每4个数一组求和即可.1nπ11n1nπansinsin【详解】由得：nn12n2111112233445111111S1010020242025111111111112024101001，12233445202420252025202520242025故答案为：.x3x1214.已知定义在R上的函数满足fxfx1fx2，当x3时，fx，则exyfx1012,1012在上的零点个数为__________个.【答案】1350【解析】0,3【分析】由题意可得函数为周期函数，再由一个周期内内有两个零点，且一个零点小于1，一个大于2，即可得出在1012,1012上的零点个数.fx1fx2f(x)f(x【详解】由可得，所以周期T3，x23x1x0,3时，fx，令，fx0当ex35350,1,x2,3，即一个周期内有2个零点，解得1222ff(3373因为所以，yfx在1012,10122233711350上的零点个数为.故答案为：1350､四解答题：本题共小题，共577分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数fxax3bx2xR的图象过点P2，且在点P处的切线恰好与直线3xy40平行.fx（1）求函数的解析式；上的最大值和最小值（2）求在.fx4,1【答案】（1）fxx33x2（2）最大值为4；最小值为：【解析】a,bx=1处的导数为3，1）根据函数的图象过点P，得到关于的一个关系式，再根据函数在a,ba,b的值.又得到关于的一个关系式，可求（2）利用导数分析函数的单调性，可求函数的最大、最小值.【小问1详解】因为函数fxax3bx2P2，的图象过点所以ab2.又因为2fx，且在点P处的切线恰好与直线3xy40平行，fxaxbx所以fab3，ab2a1fxx33x2.由ab3得：b3，所以【小问2详解】由（1）知：26x3xx2，fx3x2x0()x>0x<2x0.或fx0f由，由所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，fx22,0又f416f，，，，424f00f1所以在上的最大值为，最小值为4,14fx.的公差成等比数列，数列的前项和公式为ad4a,a,abnn16.已知等差数列n137.Sb2nN*nn（1）求数列和的通项公式：abnncab的前项和c，求数列nn（2）设.nnnnan1b2n【答案】（1），nn（2）nn2n1【解析】的通项nb1）根据等差数列的通项公式求等差数列的通项公式，根据数列的前项和，求数列n公式.n（2）利用错位相减求和法求数列的前项和.【小问1详解】aad5daad5daad5d由题意：，，，143474a,a,a成等比数列，7因为所以132d0d1或a2175d5d5d，3又d0，所以d1，所以15d2.an1n所以.对数列：当n1时，bb2b20，bn111Sb2Sn12，n1当n2时，，nnbbbnb，n1两式相减得：nnn1所以是以2为首项，2为公比得等比数列，所以b2n.bnn【小问2详解】cn12，n由（1）知：nT221322423n12n所以：，nn2n1，n222323424n2nT422232nn12n1两式相减得：n212n124n12n1n2n1，12所以Tn2n1.n17.已知函数为二次函数，有，__________，从下列条件中选取一个，补全到fxff451232fx1f23fxfx题目中，①，②函数为偶函数，③（1）求函数的解析式；fxx2gxx（2）若23x1x1,2，若对任意的，总存在2，使得221gxfx1m成立，求实数的取值范围.21【答案】（1）fxx22x3（2）【解析】1）用待定系数法求函数解析式.（2）分别求函数的值域，根据两个函数值域之间的关系求参数.【小问1详解】abc0设fxax2bxca0，由题意：16abc5，两式相减的：ab1bx1，即12ab0.若选①，则：抛物线的对称轴为：2aa1b2c3fxx22x3；，所以所以若选②，则：抛物线的对称轴为：x1，同上；abc0a1若选③，则：4abc3，由16abc5，得：b2，所以fxx2x3.24abc3c3fxx综上：22x32x【小问2详解】12xx1x23x2x32对：gxgxx232x12x23x2x3x22x3x1x23x12gxx1,2gx01x201x1；当时，由；由所以在上单调递减，在上单调递增，gx2所以时，gxg421.x1,222fxx2m2x31恒成立，x1,2时，当4x24所以m2x在2上恒成立.xx44xyx1,2x413，观察可知，函数在上单调递减，所以x由m23m5.m所以实数的取值范围是：fxxxax18.已知函数2,fx为fxgxfx的导函数，记，其中为常数.a（1）讨论的单调性；gx（2）若函数有两个极值点，fxx,xxx1212a①求的取值范围；1xx②求证：.12a1【答案】（1）见解析（2）①；②证明见解析2【解析】1）求出，分类讨论，利用解不等式即可得解；gxg(x)0g(x)0，（2）①先分析a0不合题意，再求出a0时函数在有两个极值点fx的必要条件，再x,xxx12121221x2此条件下分析即可得解；②对结论进行转化，只需证，换元后利用导数确定函数单调性，12得出函数最值，即可得证.【小问1详解】定义域为(0,).f(x)x12axg(x)x12ax，112axgx2a，xx푔g(x)(0,)上单调递增，在当a0时，(푥)>0恒成立，′1x，解得a0g(x)0，则12ax0当令时，令，2a1x，解得g(x)012ax0，则，2a12a12ag(x),在单调递增，在单调递减.g(x)(0,)上单调递增；在综上，当a0时，12a12aa0g(x)在,当时，单调递增，在单调递减.【小问2详解】f(x)0由（1）知，a0时，a0最多一个根，不符合题意，故，函数fx有两个极值点x,xxx，1212g(x)0在11有两个不同零点的必要条件是푔=ln>0，2푎2푎10a解得，21212a12a0ag(x)在,单调递减，当，单调递增，在111e2푎푔=ln>0,푔=−<0,푥→+∞,푔(푥)→−∞，2푎2푎e111e2a2a由零点存在性定理得：f(x)在,,，各有1个零点，12a.的取值范围是函数fx有两个极值点x,xxx，1212x12ax0①11x12ax0②221x2①②得：a，2xx212xx1xx2(푥−푥)12，即证12要证即证，即证푥