专题7 曲线的公切线问题2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步教学设计 (北师大版2019)

专题7曲线的公切线问题2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步教学设计(北师大版2019)科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）专题7曲线的公切线问题2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步教学设计(北师大版2019)教学内容本节课的教学内容来自于2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册，第七章“导数与切线”，具体为专题7“曲线的公切线问题”。本节课主要介绍曲线的公切线概念及其求法，通过实例分析，让学生掌握求曲线在某点处的切线方程的方法，以及如何利用公切线解决实际问题。

教学内容主要包括以下几个部分：

1.曲线的公切线概念：介绍曲线的公切线定义，理解公切线与曲线的关系。

2.切线方程的求法：学习求曲线在某点处的切线方程的步骤，掌握求切线斜率的方法。

3.公切线的求法：探讨如何求曲线的公切线，引导学生运用切线方程的求法解决问题。

4.应用举例：通过实际问题，让学生运用公切线知识解决问题，提高学生的实际应用能力。

5.巩固练习：设计具有针对性的练习题，让学生在解答过程中巩固所学知识，提高解题能力。核心素养目标本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和直观想象等核心素养。通过学习曲线的公切线问题，学生能够理解公切线的概念，掌握求曲线在某点处的切线方程的步骤，提高他们的逻辑推理和数学建模能力。同时，通过实际问题的解决，学生能够将所学知识应用于实际情境中，培养他们的数学应用意识。此外，通过小组讨论和合作交流，学生能够提高团队合作能力，培养他们的交流与表达能力。重点难点及解决办法重点：曲线的公切线概念及其求法，切线方程的求法，公切线的求法，以及如何利用公切线解决实际问题。

难点：1.理解并掌握曲线的公切线概念，能够正确判断曲线的公切线。

2.熟练掌握求曲线在某点处的切线方程的步骤，能够灵活运用切线方程解决实际问题。

3.理解并掌握公切线的求法，能够解决涉及公切线的问题。

解决办法：

1.通过具体实例和图形演示，引导学生直观理解曲线的公切线概念，加深他们对公切线的认识。

2.分步骤讲解求曲线在某点处的切线方程的方法，通过练习题巩固所学知识，提高学生的解题能力。

3.设计具有挑战性的问题，引导学生思考和探讨公切线的求法，激发学生的思维活力，帮助他们克服难点。

4.组织学生进行小组讨论和合作交流，促进学生之间的思维碰撞，互相学习和借鉴，提高他们的解决问题的能力。

5.提供充足的练习机会，让学生在解答过程中巩固所学知识，培养他们的解题技巧和能力。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册，以便学生能够跟随教学进度进行学习和复习。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源，以直观展示曲线的公切线和切线方程的求法。例如，可以准备一些曲线图形的打印图纸，让学生能够直观地观察和分析曲线与切线的关系。

3.实验器材：如果涉及实验，需要准备一些实验器材，如白板笔、坐标纸、直尺、量角器等，以确保实验的完整性和安全性。可以组织学生在课堂上进行一些简单的实验操作，例如在坐标纸上绘制曲线并测量切线斜率，以增强学生对切线概念的理解。

4.教室布置：根据教学需要，对教室进行适当的布置。可以设置一些分组讨论区，让学生能够在小组内进行讨论和合作交流。此外，如果需要进行实验操作，可以准备一些实验操作台，以确保学生有足够的空间进行实验操作。

5.练习题库：准备一些与教学内容相关的练习题，包括基础题和拓展题，以供学生在课堂上练习和巩固所学知识。这些练习题应该涵盖曲线的公切线概念、切线方程的求法、公切线的求法等方面的内容，以帮助学生加强对知识的掌握。

6.教学课件：制作教学课件，包括教学内容的介绍、实例分析、练习题讲解等，以帮助学生更好地理解和掌握所学知识。课件可以使用PPT、PDF等格式，并结合多媒体资源如图片、图表、视频等，以增加学生的学习兴趣和参与度。

7.教学反馈表：准备教学反馈表，用于收集学生对课堂教学的反馈意见，包括学生对教学内容的理解程度、教学资源的适用性、教学方法的effectiveness等。通过教学反馈表，教师可以及时了解学生的学习情况，对教学进行调整和改进。教学流程一、导入新课（用时5分钟）

同学们，今天我们将要学习的是《曲线的公切线问题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要描绘曲线切线的情况？”（举例说明）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索曲线的公切线问题的奥秘。

二、新课讲授（用时10分钟）

1.理论介绍：首先，我们要了解曲线的公切线的基本概念。曲线的公切线是指在某一区间内，曲线与直线相切的线段。公切线能够帮助我们描绘曲线的切线斜率和曲线在某一点的行为。

2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了曲线的公切线在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。通过案例分析，学生能够理解公切线与曲线的关系，并学会如何求解公切线。

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调公切线的求法和切线方程的求法这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。

三、实践活动（用时10分钟）

1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与曲线的公切线相关的实际问题。通过分组讨论，学生能够深入思考并应用所学的知识。

2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何利用直尺和量角器求解曲线的公切线。

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。通过成果展示，学生能够分享彼此的学习成果，并相互学习和借鉴。

四、学生小组讨论（用时10分钟）

1.讨论主题：学生将围绕“曲线的公切线在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。

2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。

五、总结回顾（用时5分钟）

今天的学习，我们了解了曲线的公切线的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对曲线的公切线问题的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。教学资源拓展1.拓展资源：

（1）数学期刊和论文：推荐学生阅读一些与曲线的公切线问题相关的数学期刊和论文，如《数学学报》、《应用数学学报》等。通过阅读这些论文，学生可以了解到最新的研究成果和前沿动态，提高他们的学术素养。

（2）在线课程和讲座：引导学生观看一些在线课程和讲座，如MOOC、网易云课堂等平台上的相关课程。这些资源可以帮助学生从不同角度和深度理解曲线的公切线问题，提高他们的自学能力。

（3）数学竞赛和活动：鼓励学生参加一些数学竞赛和活动，如全国中学生数学竞赛、美国数学竞赛等。通过参与竞赛和活动，学生可以在实践中提高自己的数学水平，拓宽视野。

2.拓展建议：

（1）深入研究曲线的公切线问题：鼓励学生深入研究曲线的公切线问题，从不同角度和层面探讨其性质和应用。可以引导学生开展小研究，撰写研究报告或论文，提高他们的研究能力。

（2）探索其他数学领域的应用：让学生尝试探索曲线的公切线问题在其他数学领域的应用，如微分方程、优化问题等。通过这种跨学科的学习，学生可以更好地理解曲线的公切线问题的价值。

（3）参与数学社团和讲座：建议学生加入学校的数学社团，参加数学讲座和活动。通过与志同道合的同学和老师的交流，学生可以获得更多的学习机会和资源，提高自己的数学素养。

（4）运用现代技术工具：引导学生运用现代技术工具，如计算机软件、互联网资源等，解决曲线的公切线问题。这可以帮助学生提高自己的技术能力和实际应用能力。

（5）开展合作学习和研究：鼓励学生开展合作学习和研究，与其他同学或老师一起探讨曲线的公切线问题。通过合作学习和研究，学生可以互相学习、互相启发，提高自己的学术水平。板书设计①曲线的公切线概念：

-定义：在曲线上任意取一点P，作切线l，使得l与曲线C仅在点P相交，则称l为曲线C在点P的公切线。

-性质：公切线与曲线在切点处相切，切点处的切线斜率等于曲线在该点的导数。

②切线方程的求法：

-步骤1：确定切点坐标。

-步骤2：求切点处的导数，即切线斜率。

-步骤3：利用点斜式写出切线方程。

-步骤4：化简切线方程，得到最终形式。

③公切线的求法：

-方法1：逐点求切线。

-方法2：利用导数求切线。

-方法3：运用几何方法求公切线。

-方法4：利用计算机软件求公切线。

板书设计要求简洁明了，重点突出。通过使用清晰的符号和图表，以及色彩的合理运用，使板书具有艺术性和趣味性。例如，可以使用不同颜色的粉笔标出曲线的公切线和切线，让学生一目了然。同时，可以通过绘制示意图或动画演示，使得板书更加生动有趣，激发学生的学习兴趣和主动性。课后作业1.求解以下曲线的公切线方程：

-曲线：y=x^2，切点：P(1,1)

-曲线：x^2+y^2=4，切点：Q(1,1)

-曲线：y=3x-2，切点：R(2,0)

2.利用公切线解决实际问题：

-一条直角梯形的上底和下底长分别为4cm和6cm，高为3cm，求梯形的两条公切线的长度。

-一个圆的半径为5cm，圆心到直线的距离为3cm，求圆与直线的公切线方程。

3.探究曲线的公切线在实际生活中的应用，如：

-分析汽车行驶过程中的速度曲线和加速度曲线，求出它们的公切线，理解车辆的加速性能。

-分析温度随时间变化的曲线，求出其公切线，理解温度的变化趋势。

4.设计一个实验，验证曲线的公切线概念：

-准备一张坐标纸，绘制曲线y=x^2，在曲线上的不同点处画切线，观察切线与曲线的关系。

-准备一张圆的模板，在圆上不同位置处画切线，观察切线与圆的关系。

5.讨论曲线的公切线问题在数学和其他领域中的应用，如：

-讨论曲线的公切线在微分方程中的作用。

-讨论曲线的公切线在优化问题中的应用。

答案：

1.曲线的公切线方程：

-y=x^2，切点P(1,1)：y=2x-1

-x^2+y^2=4，切点Q(1,1)：y=-x+2

-y=3x-2，切点R(2,0)：y=3x-1

2.利用公切线解决实际问题答案：

-梯形的两条公切线的长度均为5cm。

-圆与直线的公切线方程：x/5+y/5-1=0。

3.探究曲线的公切线在实际生活中的应用答案：

-汽车行驶过程中的速度曲线和加速度曲线的公切线可以反映车辆的加速性能。

-温度随时间变化的曲线的公切线可以理解温度的变化趋势。

4.设计一个实验验证曲线的公切线概念答案：

-观察切线与曲线的关系，验证切线在曲线上的任意点处相切。

-观察切线与圆的关系，验证切线与圆在切点处相切。

5.讨论曲线的公切线问题在数学和其他领域中的应用答案：

-曲线的公切线在微分方程中用于描述曲线在某一区间内的行为。

-曲线的公切线在优化问题中用于求解曲线上的最小值或最大值问题。教学评价与反馈2.小组讨论成果展示：通过小组讨论成果展示，评估学生对曲线的公切线概念、切线方程的求法和公切线的求法的理解和应用能力。

3.随堂测试：通过随堂测试，评估学生对曲线的公切线问题的理解和掌握程度。

4.实验操作：通过观察学生在实验操作中的表现，评估学生的动手能力和对曲线的公切线问题的理解程度。

5.教师评价与反馈：针对学生在课堂