2024-2025学年福建省龙岩市连城一中高二（上）开学数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建省龙岩市连城一中高二（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.等差数列{an}满足a4+a7A.1 B.2 C.3 D.42.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，a3=−2A.4 B.5 C.6 D.4或53.等比数列{an}中，若a2A.1 B.−2 C.2 D.2或−24.某中学的募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到了5000元.他们第1天只收到了20元，从第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多15元，这次募捐活动一共进行了(

)A.20天 B.25天 C.30天 D.35天5.已知数列{an}为等比数列，首项a1>0，公比A.数列{an}的最大项为a1 B.数列{an}的最小项为a2

C.6.已知{an}为等差数列，前n项和为Sn，a1=10，公差d=−2，则数列{|A.10 B.50 C.60 D.707.已知按规律排列的数列0，1，1，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，…，n，则该数列的第171项为(

)A.17 B.18 C.19 D.208.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，记数列{an}的前n项和为SA.203+1 B.403+1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知数列{an}的前n项和SnA.a2=3 B.an=2n−1 C.{a10.点M(x1,y1)在函数y=exA.−1 B.−2 C.−3 D.011.九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载.九连环一般是用金属丝制成圆形小环九枚，九环相连，套在条形横板或各式框架上，并贯以环柄.玩时，按照一定的程序反复操作，可使9个环分别解开，或合二为一.假设环的数量为n(n≤9,n∈N∗)，解开n连环所需总步数为Sn，解下每个环的步数为an，数列{an}满足：S1A.a4=5 B.S4=a5

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知点M(2,−3)，13.若等差数列{an}中前n项和为100，其后的2n项和为500，则紧随其后的3n14.已知数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0)，Tn为数列{Sn}的前n项积，满足S四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知点A(1,0)，B(0,2)，点P(a,b)在线段AB上．

(1)求直线AB的斜率；

(2)求ab的最大值．16.(本小题15分)

等比数列{an}的公比为2，且a2，a3+2，a4成等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若17.(本小题15分)

已知数列{an}各项均为正数，且a1=1，an+1an+an+1−an=0(n∈N∗).

18.(本小题17分)

已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a5−a1=S4=30．

(1)求数列{an}的通项公式an；

(2)若b19.(本小题17分)

设n条直线最多把平面分成an部分，其求法如下：易知一条直线最多把平面分成a1=2部分，两条直线最多把平面分成a2=4部分，3条直线分平面，要使所得部分尽量多，则第三条直线必与前两条直线都相交，产生2个交点，这2个交点都在第3条直线上，并把第三条直线分成3段，这3段的每一段都在a2部分的某部分中，它把所在部分一分为二，故增加了3部分，即a3=a2+3=7，依次类推得an=an−1+n，累加化简得an=n2+n+22.根据上面的想法，设n个平面最多把空间分成b答案解析1.B

【解析】解：由S9=9(a1+a9)2=9a5=45，得到a5=5，

又a5+a6=2.D

【解析】解：设公差为d，由a2=−3，S5=−10，

所以a1+d=−35a1+10d=−10，解得a1=−4d=1，

所以an=n−5，

令an≥0，解得n≥5，则数列{an}单调递增，且a5=0，3.C

【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，

因为a2+a4=(a1+a3)q=2(a4.B

【解析】解：由题意可知，每一天收到的捐款成等差数列，首项为20，公差为15，

设这次募捐活动一共进行了n天，则20n+n(n−1)2×15=5000，

解得n=25(负值舍去)．

故选：B．

利用等差数列的前n项和公式即可得解．

5.D

【解析】解：对于A，由题意知：当n为偶数时，an<0<a1，

当n为奇数时，an>0，an+2−an=an(q2−1)<0，a1最大；

综上所述：数列{an}的最大项为a1，A正确；

对于B，当n为偶数时，an<0，an+2−an=an(q2−1)>0，a2最小；

当n为奇数时，an>0>a2；

综上所述：数列{an}的最小项为a2，B正确；

对于C，∵anan+1=an2q，an+1an+2=an+12q，

∴an+1an+2−6.B

【解析】解：根据题意，等差数列{an}中，a1=10，公差d=−2，则an=12−2n，

设数列{|an|}的前10项和Tn，

则T7.A

【解析】解：由题知该数列第1项为0，第2到第3项为1，第4到第6项为2，依次类推，

∵1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17=17×(1+17)2=153，

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18=18×(1+18)2=171．

∴该数列的第171项为8.C

【解析】解：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为8，公差为15的等差数列{an}，

则Sn=8n+n(n−1)2×15=152n2+12n，

∴2Sn+80n=2(152n2+12n)+80n=15n+80n+1，

由对勾函数的性质可得：函数f(x)=15x+80x+1=15(x+163x9.AC

【解析】解：根据题意，数列{an}的前n项和Sn=n2+3，

当n=1时，有a1=1+3=4，

当n≥2时，有an=Sn−Sn−1=2n−1，

而a1=4不符合an=2n−1，故an=4,n=12n−1,n≥2，B错误；

当n=2时，an=3，A正确；10.BC

【解析】解：因为M在函数图象上，所以y1=ex1，

所以y1+1x1−1=ex1+1x1−1，令f(x)=ex+1x−1，x∈[0,1)，

所以f′(x)=ex(x−1)−(ex+1)(x−1)2=ex(x−2)−1(x−1)2，x∈[0,1)，

令g(x)=ex(x−2)−1，x∈[0,1)，

则g′(x)=ex(x−2)+ex=ex(x−1)，x∈[0,1)，

所以g′(x)<0，可得g(x)在x∈[0,1)上单调递减，

所以g(1)<g(x)≤g(0)，即−e−1<g(x)≤−3，

所以11.AC

【解析】解：S1=1，S2=2，an=2Sn−2+1(n≥3)，

∵a3=2S1+1=3，∴S3=5，

∵a4=2S2+1=5，∴S4=10，

∵a5=2S3+1=11，∴S5=21，

a6=2S4+1=21；S6=21+21=42；

当n≥3，an=2Sn−2+1，即Sn−Sn−1=2Sn−2+1，∴Sn+Sn−1=2(Sn−1+Sn−212.3π4【解析】解：∵点M(2,−3)，N(−3,2)，则直线MN的斜率为2+13.1500

【解析】解：等差数列的每n项组合，组成一个新的数列，

同样也是等差数列，只是新数列的增量是原数列增量的n倍，

设新数列的增量为x，则200+3x=500，

解得x=100，

则后面3n项的和为300+(3+4+5)x=1500．

故答案为：1500．

等差数列的每n项组合，组成一个新的数列，同样也是等差数列，只是新数列的增量是原数列增量的n倍，由此利用已知条件能求出结果．

本题考查等差数列的前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．14.①③④

【解析】解：∵Sn+Tn=Sn⋅Tn(n∈N∗)，

∴当n=1时，2a1=a12，解得a1=2或a1=0，

∵Sn≠0，∴a1=2，故①正确；

∵Sn+Tn=Sn⋅Tn(n∈N∗)，

∴Sn≠1，则Tn=SnSn−1，

∴当n≥2时，Tn−1=Sn−1Sn−1−1，

∴TnTn−1=SnSn−1⋅Sn−1−1Sn−1，

∴Sn=SnSn−1⋅Sn−115.解：(1)由题意知，直线AB的斜率kAB=2−00−1=−2．

(2)当点P(a,b)在A，B两点之间时，

由点P(a,b)在线段AB上，

易知kAP=kAB，即b−0a−1=−2，

即b=−2a+2(0<a<1)，

当P与A，B重合时也满足b=−2a+2，

因此b=−2a+2(0≤a≤1)，

亦即2a+b=2，且0≤a≤1，0≤b≤2，

所以2=2a+b≥22ab，

∴ab≤1【解析】(1)利用两点斜率公式可直接解答；

(2)先确定a，b满足的关系式，然后利用基本不等式可直接解答．

本题考查的知识要点：两点间的斜率，基本不等式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．16.解：(1)∵等比数列{an}的公比q=2，且a2，a3+2，a4成等差数列，

∴2(a3+2)=a2+a4，

∴2(4a1+2)=2a1+8a【解析】(1)根据等差数列的性质，等比数列的通项公式，方程思想，即可求解；

(2)根据分组求和法，等差数列与等比数列的求和公式，即可求解．

本题考查差数列的性质，等比数列的通项公式，方程思想，分组求和法，等差数列与等比数列的求和公式，属中档题．17.(1)证明：因为an+1an+an+1−an=0(n∈N∗)，

所以an+1=anan+1．

因为bn=1an，

所以bn+1−bn=anan+1−1a【解析】(1)直接利用递推关系式求出数列的通项公式．

(2)首先求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．

本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用．18.解：(1)设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，因为a5≠a1，所以q≠1，

则a5−a1=a1q4−a1=30S4=a1(1−q4)1−q=30，解得a1=2q=2，

所以数列{an}的通项公式an=a1qn−1【解析】(1)根据条件，建立方程组a1q4−a1=30a1(1−q4)1−q=30，即可求解；

19.解：(1)设n个平面最多把空间分成bn部分，易知一个平面最多把空间分成b1=2部分，两个平面最多把空间分成b2=4部分，

3个平面分空间，要使所得部分尽量多，则第三个平面必与前两个平面都相交，产生2条交线，这2条交线都在第3个平面上，

并把第三个平面分成4部分平面区域，这4部分平面区域的每一部分区域都在b2部分空间的某部分空间中，

它把它所在部分空间一分为二，故增加了4部分空间，即b3=b2+4=8，

4个平面分空间，要使所得部分尽量多，则第4个平面必与前3个平面都相交，产生3条交线，这