2025届高考数学统考一轮复习阶段质量检测7理含解析新人教版

PAGE阶段质量检测(七)建议用时：40分钟一、选择题1．为了调查某县2024年高考数学成果，在高考后对该县6000名考生进行了抽样调查，其中2000名文科学生，3800名理科考生，200名艺术和体育类考生，从中抽到了120名考生的数学成果作为一个样本，这项调查宜采纳的抽样方法是()A．系统抽样法 B．分层抽样法C．抽签法 D．简洁的随机抽样法B[由于6000名学生各个学生层次之间存在明显差别，故要采纳分层抽样的方法，故选B．]2．今年入夏以来，某市天气反复，降雨频繁．在下图中统计了某个月前15天的气温，以及相对去年同期的气温差(今年气温－去年气温，单位：℃)，以下推断错误的是()A．今年每天气温都比去年气温高B．今年的气温的平均值比去年低C．去年8～11号气温持续上升D．今年8号气温最低A[由题图可知，1号温差为负值，所以今年1号气温低于去年气温，故选项A不正确；除6,7号今年气温略高于去年气温外，其他日子今年气温都不高于去年气温，所以今年的气温的平均值比去年低，选项B正确；今年8～11号气温上升，但是气温差渐渐下降，说明去年8～11号气温持续上升，选项C正确；由题图可知，今年8号气温最低，选项D正确．故选A．]3．在甲乙两个运动员的某次射击竞赛中，规定射击先射中十环者胜．甲运动员先射击，射中十环的概率为0.4；若甲没有射中十环，乙运动员进行射击，射中十环的概率为0.6；若乙也没有射中十环，则甲运动员再次射击，射中十环的概率为0.5，若甲再次没有射中十环，乙运动员进行射击，射中十环的概率为0.8，射击4次以后，射击枪出现故障，竞赛停止．则在这次射击竞赛中，乙胜的概率为()A．0.52B．0.456C．0.64D．0.696B[设事务A表示“甲第1次射击，射中十环”，设事务B表示“乙第1次射击，射中十环”，设事务C表示“甲第2次射击，射中十环”，设事务D表示“乙第2次射击，射中十环”，则乙胜包含乙两次射击都有可能射中十环，得乙胜的概率为P(eq\o(A,\s\up7(－))B＋eq\o(A,\s\up7(－))eq\o(B,\s\up7(－))eq\o(C,\s\up7(－))D)＝P(eq\o(A,\s\up7(－))B)＋P(eq\o(A,\s\up7(－))eq\o(B,\s\up7(－))eq\o(C,\s\up7(－))D)＝P(eq\o(A,\s\up7(－)))P(B|eq\o(A,\s\up7(－)))＋P(eq\o(A,\s\up7(－)))P(eq\o(B,\s\up7(－))|eq\o(A,\s\up7(－)))P(eq\o(C,\s\up7(－))|eq\o(A,\s\up7(－))eq\o(B,\s\up7(－)))P(D|eq\o(A,\s\up7(－))eq\o(B,\s\up7(－))eq\o(C,\s\up7(－)))＝0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.456.故选B．]4．若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数为“十全十美数”，如208,136都是“十全十美数”，则这样的“十全十美数”共有()A．32个B．64个C．54个D．96个C[分状况探讨：(1)这个三位数中不含0，若这个三位数中有两个重复数字，数字组合为(1,1,8)，(2,2,6)，(3,3,4)，(4,4,2)，则有“十全十美数”4Ceq\o\al(1,3)个，若这个三位数中的三个数字都不重复，数字组合为(1,2,7)，(1,3,6)，(1,4,5)，(2,3,5)，则有4Aeq\o\al(3,3)个“十全十美数”；(2)这个三位数中含一个0，数字组合为(1,0,9)，(2,0,8)，(3,0,7)，(4,0,6)，(5,0,5)，则“十全十美数”有4Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＋2＝18(个)．依据分类加法计数原理得，“十全十美数”共有4Ceq\o\al(1,3)＋4Aeq\o\al(3,3)＋18＝54(个)．故选C．]5．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a,x2)))(1－x)6的绽开式中x3的系数为－8，则a＝()A．－2B．－3C．－1D．2A[依题意，留意到(1－x)6的绽开式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)·(－x)r＝Ceq\o\al(r,6)·(－1)r·xr，因此eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a,x2)))(1－x)6绽开式中x3的系数为1×Ceq\o\al(3,6)×(－1)3＋a×Ceq\o\al(5,6)×(－1)5＝－8，解得a＝－2，故选A．]6．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线3x－y＋5＝0垂直，则双曲线的离心率为()A．eq\r(10)B．10C．3D．eq\f(\r(10),3)D[因为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，直线3x－y＋5＝0的斜率k＝3，双曲线的一条渐近线与直线3x－y＋5＝0垂直，所以－eq\f(b,a)×3＝－1，所以a＝3b，所以双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(2))＝eq\f(\r(10),3)，故选D．]7．为了探讨国民收入在国民之间的安排，避开贫富悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了闻名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL时，表示收入完全同等．劳伦茨曲线为折线OKL时，表示收入完全不同等．记区域A为不同等区域，a表示其面积；S为△OKL的面积．将Gini＝eq\f(a,S)称为基尼系数．对于下列说法：①Gini越小，国民安排越公允；②设劳伦茨曲线对应的函数为y＝f(x)，则对随意x∈(0,1)，均有eq\f(fx,x)＞1；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝1－eq\r(1－x2)(x∈[0,1])，则Gini＝eq\f(π,2)－1.其中正确的是()A．①②B．①③C．②③D．①②③B[对于①，依据基尼系数公式Gini＝eq\f(a,S)，可得基尼系数越小，不同等区域的面积a越小，国民安排越公允，故①正确；对于②，eq\f(fx,x)＝eq\f(fx－0,x－0)表示曲线y＝f(x)上的点与原点连线的斜率，由图可知对随意x∈(0,1)，均有0≤eq\f(fx,x)≤1，故②错误；对于③，将y＝1－eq\r(1－x2)化简整理，得x2＋(y－1)2＝1(x，y∈[0,1])，表示圆心为(0,1)，半径为1的四分之一圆，所以a＝eq\f(1,4)π×12－eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(π,4)－eq\f(1,2)，S＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，所以eq\f(a,S)＝eq\f(\f(π,4)－\f(1,2),\f(1,2))＝eq\f(π,2)－1，故③正确．故选B．]8．已知函数f(x)＝－eq\f(π,2x)，g(x)＝xcosx－sinx，当x∈[－4π，4π]且x≠0时，方程f(x)＝g(x)根的个数是()A．5B．6C．7D．8D[由题意得，函数f(x)＝－eq\f(π,2x)在x∈[－4π，4π]且x≠0上是奇函数且是反比例函数，g(x)＝xcosx－sinx在x∈[－4π，4π]上是奇函数，因为g′(x)＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx，当x∈[0，π]∪[2π，3π]时，g′(x)≤0，当x∈(π，2π)∪(3π，4π]时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，π]，[2π，3π]上是减函数，在(π，2π)，(3π，4π]上是增函数，且g(0)＝0，g(π)＝－π，g(2π)＝2π，g(3π)＝－3π，g(4π)＝4π，所以作出函数f(x)与g(x)在[－4π，0)与(0,4π]上的图象，如图所示，结合图象可知，f(x)与g(x)的图象共有8个交点，所以方程f(x)＝g(x)有8个根，故选D．]二、填空题9．已知样本x1，x2，…，x2020的平均数与方差分别是1和4，若yi＝axi＋b(i＝1,2，…，2020)，且样本y1，y2，…，y2020的平均数与方差也分别是1和4，则ab＝.1[依据题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝1，,4a2＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝2，))所以ab＝1.]10．《史记》卷六十五：《孙子吴起列传第五》，是中国历史上出名的揭示如何善用自己的特长去应付对手的短处，从而在竞技中获胜的事例．主要讲解并描述了齐国的大将田忌与齐威王进行赛马竞赛反败为胜的故事．若田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场竞赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场依次，则田忌获胜的概率为．eq\f(1,6)[设齐王的下等马，中等马，上等马分别为a1，a2，a3，田忌的下等马，中等马，上等马分别记为b1，b2，b3，齐王与田忌赛马，其状况有：(a1，b1)，(a2，b2)，(a3，b3)，齐王获胜；(a1，b1)，(a2，b3)，(a3，b2)，齐王获胜；(a2，b1)，(a1，b2)，(a3，b3)，齐王获胜；(a2，b1)，(a1，b3)，(a3，b2)，齐王获胜；(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，田忌获胜；(a3，b1)，(a1，b3)，(a2，b2)，齐王获胜．共6种等可能的状况．其中田忌获胜的只有一种(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，则田忌获胜的概率为eq\f(1,6).]11．中国有十二生肖，又叫十二属相，是以十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)形象化代表人的诞生年份，现有十二生肖的祥瑞物各一个，三位属相不同的小挚友依次每人选一个，则三位小挚友都不选和自己属相相同的祥瑞物的选法有种．1019[法一：不妨设三位小挚友分别为A，B，C，属相分别为龙，马，虎．若A选马，B选虎，则C有10种选法；若A选马，B不选虎，B有10种选法，则C只有9种选法，此时选法有9×10＝90(种)．若A选虎，同理可得选法共有100种．若A不选马、虎，A有9种选法；当B选虎时，C有10种选法，此时选法有9×10＝90(种)；当B不选虎时，B有9种选法，则C也有9种选法，此时选法有9×9×9＝729(种)．依据分类加法计数原理可知，三位小挚友都不选和自己属相相同的祥瑞物的选法有10＋90＋100＋90＋729＝1019(种)．法二：三位小挚友选择的总状况共有12×11×10＝1320(种)．①三人都选与自己属相相同的祥瑞物，有1种选法；②三人中有二人选与自己属相相同的祥瑞物，选法共有9Ceq\o\al(2,3)＝27(种)；③三人中有一人选与自己属相相同的祥瑞物，选法有Ceq\o\al(1,3)(10＋9×9)＝273(种)，所以三位小挚友都不选和自己属相相同的祥瑞物的选法有1320－(1＋27＋273)＝1019(种)．]12．据国家统计局发布的数据，2024年11月全国CPI(居民消费价格指数)同比上涨4.5%，CPI上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI上涨3.27个百分点．下图是2024年11月CPI—篮子商品权重，依据该图，下列四个结论正确的有．①CPI—篮子商品中权重最大的是居住；②CPI—篮子商品中吃穿居处占权重超过50%；③猪肉在CPI—篮子商品中权重为2.5%；④猪肉与其他畜肉在CPI—篮子商品中权重约为0.18%.①②③[由题中第一个图知CPI—篮子商品中居住占23.0%，所占权重最大，故①正确；CPI—篮子商品中吃穿住占23.0%＋8.0%＋19.9%＝50.9%，权重超过50%，故②正确；由题中第一个图知食品占19.9%，分解后可知猪肉在CPI—篮子商品中所占权重为2.5%，故③正确；猪肉与其他畜肉在CPI—篮子商品中所占权重为2.1%＋2.5%＝4.6%，故④错误．综上所述，正确的结论为①②③.]三、解答题13．某校从参与高三化学得分训练的学生中随机抽出60名学生，将其化学成果(均为整数，满分100分)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，由此得到部分频率分布直方图(如图)．视察图中的信息，回答下列问题：(1)求分数在[70,80)内的频率，并补全频率分布直方图；(2)据此估计本次考试的平均分；(3)若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成果在[40,60)内记0分，在[60,80)内记1分，在[80,100]内记2分，用X表示抽取结束后的总记分，求X的分布列．[解](1)设分数在[70,80)内的频率为x.依据频率分布直方图，有(0.010＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＋x＝1，解得x＝0.3.补全频率分布直方图略．(2)抽取的60名学生的平均分为eq\x\to(x)＝45×0.10＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.据此估计本次考试的平均分为71分．(3)成果在[40,60)内的有0.25×60＝15(人)，成果在[60,80)内的有0.45×60＝27(人)，成果在[80,100]内的有0.3×60＝18(人)，易知X的全部可能取值是0,1,2,3,4，则P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,15),C\o\al(2,60))＝eq\f(7,118)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,15)C\o\al(1,27),C\o\al(2,60))＝eq\f(27,118)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,15)C\o\al(1,18)＋C\o\al(2,27),C\o\al(2,60))＝eq\f(207,590)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(1,27)C\o\al(1,18),C\o\al(2,60))＝eq\f(81,295)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,18),C\o\al(2,60))＝eq\f(51,590).所以X的分布列为X01234Peq\f(7,118)eq\f(27,118)eq\f(207,590)eq\f(81,295)eq\f(51,590)14.为了引导居民合理用电，国家确定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位(一套住宅为一户)．阶梯级别第一阶梯其次阶梯第三阶梯月用电范围/度[0,210](210,400](400，＋∞)某市随机抽取10户同一个月的用电状况，得到如下统计表：居民用电编号12345678910用电量/度538690124132200215225300410(1)若规定第一阶梯电价每度0.5元，其次阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出其次阶梯的部分每度0.8元，试计算每户居民月用电410度时应交电费多少元；(2)现要在这10户家庭中随意选取3户，求取到用电量在其次阶梯的用户数的分布列与期望；(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市居民用电，现从全市抽取10户，若抽到k户月用电量在第一阶梯的可能性最大，求k的值．[解](1)由题意知，每户居民月用电410度时应交电费210×0.5＋(400－210)×0.6＋(410－400)×0.8＝227(元)．(2)设取到用电量在其次阶梯的用户数为ξ，易知用电量在其次阶梯的用户有3户，则ξ可取0,1,2,3，P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,24)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,7)C\o\al(1,3),C\o\al(3,10))＝eq\f(21,40)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,7)C\o\al(2,3),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,40)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,120).故ξ的分布列是ξ0123Peq\f(7,24)eq\f(21,40)eq\f(7,40)eq\f(1,120)所以E(ξ)＝0×eq\f(7,24)＋1×eq\f(21,40)＋2×eq\f(7,40)＋3×eq\f(1,120)＝eq\f(9,10).(3)由题意可知，从全市中抽取10户，设这10户的月用电量在第一阶梯的户数为X，则X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(3,5)))，15．某“双一流”高校专业奖学金以所学专业各科考试成果作为评比依据，分为专业一等奖学金(金额为3000元)、专业二等奖学金(金额为1500元)及专业三等奖学金(金额为600元)，且专业奖学金每年评比一次，每个学生一年最多只能获得一次．图①是该校2024年500名学生周课外平均学习时间的频率分布直方图，图②是这500名学生2024年周课外平均学习时间与获得专业奖学金的频率柱状图．图①图②(1)求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数．(2)若周课外平均学习时间超过35h的学生称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，列出2×2列联表并推断是否有99.9%的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与“努力型”学生有关．(3)若以频率作为概率，从该校任选一名学生，记该学生2024年获得的专业奖学金金额为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望．附：P(K2≥k0)0.100.050.0100.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.[解](1)获得专业三等奖学金的频率为(0.008＋0.016＋0.04)×5×0.15＋(0.04＋0.056＋0.016)×5×0.4＋(0.016＋0.008)×5×0.4＝0.32,500×0.32＝160(人)，故这500名学生中获得专业三等奖学金的人数为160.(2)周课外平均学习时间不超过35h的“非努力型”学生有500×(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.056＋0.016)×5＝440(人)，其中获得专业一、二等奖学金的学生有500×(0.008＋0.016＋0.04)×5×0.05＋500×(0.04＋0.056＋0.016)×5×(0.25＋0.05)＝92(人)．周课外平均学习时间超过35h的“努力型”学生有500×(0.016＋0.008)×5＝60(人)，其中获得专业一、二等奖学金的学生有60×(0.35＋0.25)＝36(人)．所以2×2列联表为“非努力型”学生“努力型”学生总计获得专业一、二等奖学金9236128未获得专业一、二等奖学金34824372总计44060500K2的观测值k＝eq\f(500×92×24－348×362,128×372×440×60)≈42.36＞10.828，故有99.9%的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与“努力型”学生有关．(3)X的可能取值为0,600,1500,3000.P(X＝600)＝0.32，P(X＝1500)＝0.05×(0.008＋0.016＋0.04)×5＋0.25×(0.04＋0.056＋0.016)×5＋0.35×(0.016＋0.008)×5＝0.198，P(X＝3000)＝0.05×(0.04＋0.056＋0.016)×5＋0.25×(0.016＋0.008)×5＝0.058，P(X＝0)＝1－0.32－0.198－0.058＝0.424.所以X的分布列为X060015003000P0.4240.320.1980.058故E(X)＝0×0.424＋600×0.32＋1500×0.198＋3000×0.058＝663(元)．16．某品牌电脑公司为了更好地了解甲、乙、丙三类机型电脑的质量状况，从某商场已售的这三类机型电脑中各随机抽取了120台进行跟踪调查，得到各类机型电脑三年内出现故障的概率如下：电脑机型甲乙丙概率eq\f(1,5)eq\f(1,4)eq\f(1,5)(1)某物管公司同时购置了甲、乙、丙三类机型电脑各一台，记X表示这三台电脑三年以内出现故障的台数，求X的分布列及数学期望．(2)已