2024-2025学年重庆市南开中学高一（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年重庆市南开中学高一（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.一个四边形的四边长依次为a，b，c，d，且(a−c)2+|b−d|=0，则这个四边形一定为A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形2.若4x2−(k+1)x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为A.±6 B.±12 C.−13或11 D.13或−113.把x2−1+2xy+y2A.(x+1)(x−1)+y(2x+y) B.(x+y+1)(x−y−1)

C.(x−y+1)(x−y−1) D.(x+y+1)(x+y−1)4.50×1A.7与8 B.8与9 C.9与10 D.10与115.将抛物线y=x2−2x+3通过某种方式平移后得到抛物线y=(x−4)A.向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度

B.向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度

C.向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度

D.向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度6.若实数a≠b，且a，b满足a2−8a+5=0，b2−8b+5=0，则代数式b−1A.−20 B.2 C.2或−20 D.2或207.若不等式2kx2+kx−38<0对一切实数xA.−3<k<0 B.−3≤k≤0 C.−3<k≤0 D.k<−3或k≥08.若关于x的不等式组x−a2−1>04a+2x3≤2无解，且一次函数y=(a−5)x+(2−a)的图象不经过第一象限，则符合条件的所有整数A.7 B.8 C.9 D.10二、多选题：本题共3小题，共9分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.我们定义一种新函数，形如y=|ax2+bx+c|(a≠0,b2−4ac>0)的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x2−2x−3|A.图象与y轴的交点为(0,3)

B.图象具有对称性，对称轴是直线x=1

C.当−1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大

D.当x=1时，函数的最大值是410.已知不等式3ax2+2ax+1>0，则下列说法正确的是A.若a=−1，则不等式的解集为(−1,13)

B.若不等式的解集为(−2,43)，则a=−18

C.若不等式的解集为(11.已知抛物线y=12x2−bx+c，当x=1时，y<0；当x=2时，A.b2<2c

B.若c>1，则b>32

C.已知点A(m1,n1)，B(m2,n2)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.多项式2x2−4xy+413.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinAcosC=12asinB，ab=6，则△ABC14.对于每个x，函数y是y1=−x+6，y2=−2x四、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题10分)

已知关于x的一元二次方程x2−2kx+k2+2=2(1−x)有两个实数根x1，x2．

(1)求实数k的取值范围；

(2)若方程的两个实数根x116.(本小题10分)

已知函数y=2x+ax+1．

(1)当x>−1时，函数值y随x的增大而增大.求a的取值范围；

(2)若a=1，求x∈[0,2]时，函数值y的取值范围．17.(本小题10分)

已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(2,c)，

(1)求该抛物线的对称轴；

(2)若点(n,y1)和点(n−2,y2)均在该抛物线上，当n<2时.请你比较y1，y2的大小；

(3)若18.(本小题10分)

已知a=12+3，求2a2−8a+1的值，小明是这样分析与解答的：

∵a=12+3=2−3(2+3)(2−3)=2−3，

∴a−2=−3，

∴(a−2)2=3，即a19.(本小题12分)

已知某二次函数图象的顶点坐标为(3,−4)，且图象经过点(0,5)．

(1)求该二次函数的解析式，

(2)若当2≤x≤t时，该二次函数的最大值与最小值的差是9，求t的值；

(3)已知点M(2,m)，N(5,−4)，若该函数图象与线段MN只有一个公共点，求m的取值范围．

答案解析1.A

2.C

3.D

4.C

5.A

6.A

7.C

8.C

9.ABC

10.ABD

11.BC

12.16

13.314.6

15.解：(1)方程x2−2kx+k2+2=2(1−x)，

整理得x2−2(k−1)x+k2=0，

由该方程有两个实数根x1，x2，

得Δ=4(k−1)2−4k2≥0，解得k≤12，

所以实数k的取值范围是(−∞,12].

(2)由x1，x2是方程x2−2(k−1)x+k2=0的两个实数根，

得x16.解：(1)根据题意，y=2x+ax+1=2(x+1)+a−2x+1=2+a−2x+1，

因为当x>−1时，函数值y随x的增大而增大，

根据反比例函数性质可知a−2<0，即a<2，

所以a的取值范围是(−∞,2)；

(2)因为a=1，所以y=2x+1x+1=2−1x+1，

因为当x∈[0,2]时，函数值y随x的增大而增大，

所以当x=0时，y有最小值2−10+1=1；当17.解：(1)由二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(2,c)，得4a+2b+c=c，解得b=−2a，

所以该抛物线的对称轴为直线x=−b2a，即x=1．

(2)由(1)得抛物线的解析式为y=ax2−2ax+c，

依题意，y1=an2−2an+c，y2=a(n−2)2−2a(n−2)+c，

则y1−y2=an2−2an+c−[a(n−2)2−2a(n−2)+c]=4a(n−2)，而n<2，

当a>0时，有4a(n−2)<0，因此y1<y2；

当a<0时，有4a(n−2)>0，因此y1>y2，

所以当a>0时，y1<y2；当a<0时，y18.解：(1)∵a=15−2=5+2(5−2)(5+2)=5+2，

∴a−2=5，

∴(a−2)2=5，即a2−4a+4=5，∴a2−4a=1，

∴3a2−12a−1=3(a2−4a)−1=3×1−1=2．

(2)119.解：(1)由二次函数图象的顶点坐标为(3,−4)，设该二次函数的解析式为y=a(x−3)2−4，

∵图象经过点(0,5)，∴9a−4=5，解得a=1．

∴该二次函数的解析式为y=(x−3)2−4=x2−6x+5．

(2)①当2≤t<3时，最小值为y=t2−6t+5，最大值为y=22−6×2+5=−3，

由−3−(t2−6t+5)=9可得t2−6t+17=0，此时方程无实数解；

②当t≥3时，y=(x−3)2−4的最小值为−4，

若3≤t<4，则y=(x−3)2−4的最大值为(2−3)2−4=−3，此时−3−(−4)=1≠9，不合题意；

若t≥4，则y=(x−3)2−4的最大值为y