2024-2025学年新教材高中数学 第4章 概率与统计 4.2 随机变量 4.2.3 第1课时 n次独立重复试验与二项分布教案 新人教B版选择性必修第二册

2024-2025学年新教材高中数学第4章概率与统计4.2随机变量4.2.3第1课时n次独立重复试验与二项分布教案新人教B版选择性必修第二册科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）2024-2025学年新教材高中数学第4章概率与统计4.2随机变量4.2.3第1课时n次独立重复试验与二项分布教案新人教B版选择性必修第二册课程基本信息1.课程名称：n次独立重复试验与二项分布

2.教学年级和班级：高中二年级数学班级

3.授课时间：2024-2025学年第二学期，第10周星期二上午第3节

4.教学时数：45分钟

课程设计：

【导入】（5分钟）

【新课导入】（15分钟）

1.讲解n次独立重复试验的概念，阐述在相同条件下，重复进行n次试验的性质。

2.介绍二项分布的定义，推导二项分布的公式，解释其中参数的含义。

【实例分析】（15分钟）

1.结合实际例子，让学生理解二项分布的应用场景。

2.引导学生利用二项分布公式计算特定情况下的概率。

【练习与讨论】（10分钟）

1.布置练习题，让学生独立完成，巩固二项分布的计算方法。

2.学生互相讨论解题思路，教师进行解答和指导。

【总结与拓展】（5分钟）

1.总结本节课所学的内容，强调二项分布在实际问题中的应用。

2.拓展思考：引导学生思考二项分布与其他概率分布之间的关系，为后续学习打下基础。

【课后作业】（课后自主完成）

1.根据课堂练习，布置相关课后作业，巩固所学知识。

2.鼓励学生查阅资料，了解二项分布在实际生活中的应用案例。核心素养目标1.数据分析：培养学生运用数学模型分析现实问题的能力，通过n次独立重复试验与二项分布的学习，使学生能够运用概率统计方法解决实际问题。

2.逻辑推理：训练学生运用数学逻辑推理，从特殊到一般，发现规律，掌握二项分布公式的推导和应用。

3.数学抽象：提高学生从具体实例中抽象出数学概念的能力，理解二项分布的数学本质及其在实际生活中的意义。

4.数学建模：鼓励学生将实际问题转化为数学模型，运用二项分布解决实际问题，培养数学建模素养。

5.科学素养：培养学生运用数学知识解释自然和社会现象的意识，增强学生对概率与统计知识在实际应用中的认识。重点难点及解决办法重点：

1.n次独立重复试验的理解。

2.二项分布公式的推导和运用。

3.利用二项分布解决实际问题。

难点：

1.理解独立重复试验中各次试验结果相互独立的概念。

2.掌握二项分布概率计算公式的运用。

3.将实际问题抽象为二项分布模型。

解决办法及突破策略：

1.通过实际案例引入，结合图表和动画演示，帮助学生形象理解独立重复试验的特点。

2.分步骤引导学生推导二项分布公式，提供多个例题，让学生在实践中掌握计算方法。

3.开展小组讨论，鼓励学生将生活实际问题与二项分布联系起来，教师指导学生如何抽象问题并建立模型。

4.设计不同难度的练习题，由浅入深，逐步突破难点，确保学生能够独立解决问题。教学资源1.软件资源：

-数学教学软件（几何画板、MathType等）

-概率统计模拟软件（用于演示二项分布的动态模拟）

2.硬件资源：

-多媒体教学设备（投影仪、计算机等）

-实验材料（硬币、骰子等用于进行实际试验的物品）

3.课程平台：

-教学管理系统（用于发布作业、学习资料等）

-课堂互动平台（用于课堂讨论、投票等）

4.信息化资源：

-电子教材

-教学视频（二项分布的概念与计算方法）

-电子教案

5.教学手段：

-PPT演示

-互动式教学（小组讨论、问答等）

-实物演示（使用硬币、骰子等）

-课堂练习与课后作业

-线上线下混合教学模式（预习资料、复习视频等）教学实施过程1.课前自主探索

-教师活动：发布预习资料，包括电子教材、预习视频等。

-学生活动：学生通过课程平台自主学习预习资料，了解n次独立重复试验与二项分布的基本概念。

-教学方法：采用线上线下混合教学模式，引导学生自主学习。

-教学手段：使用课程平台、电子教材、预习视频等。

-作用和目的：培养学生自主学习能力，为课堂学习打下基础。

2.课中强化技能

a.导入新课

-教师活动：通过实际案例引入n次独立重复试验，使用PPT演示。

-学生活动：学生观察案例，思考试验特点。

-教学方法：采用互动式教学，引导学生思考。

-教学手段：使用PPT、实物演示等。

-作用和目的：激发学生兴趣，理解独立重复试验的概念。

b.新课讲解

-教师活动：分步骤讲解二项分布的推导，结合例题演示计算方法。

-学生活动：学生跟随教师思路，积极参与推导过程，完成例题练习。

-教学方法：采用讲授法，结合实例分析。

-教学手段：使用数学教学软件、例题演示等。

-作用和目的：突破难点，使学生掌握二项分布的计算方法。

c.练习与讨论

-教师活动：布置练习题，引导学生互相讨论，解答学生疑问。

-学生活动：学生独立完成练习题，参与小组讨论。

-教学方法：采用小组合作、讨论式教学。

-教学手段：使用课堂互动平台、练习题等。

-作用和目的：巩固所学知识，培养学生的合作与交流能力。

3.课后拓展应用

-教师活动：发布课后作业，包括实际问题抽象为二项分布模型的练习题。

-学生活动：学生独立完成作业，查阅资料了解二项分布在实际生活中的应用。

-教学方法：采用自主学习、探究式教学。

-教学手段：使用课后作业、教学资源等。

-作用和目的：提升学生的数学建模素养，加深对二项分布在实际应用中的理解。学生学习效果1.理解n次独立重复试验的概念：学生能够明确理解在相同条件下，重复进行n次试验的性质，并能够运用这一概念分析实际问题。

2.掌握二项分布的推导和计算方法：学生能够熟练推导二项分布公式，并运用该公式解决实际问题，具备了一定的概率计算能力。

3.数据分析能力的提升：学生能够运用数学模型，特别是二项分布，对现实生活中的问题进行数据分析，提高了解决实际问题的能力。

4.逻辑推理能力的培养：通过二项分布公式的推导，学生学会了运用数学逻辑推理，从特殊到一般，发现规律，并能够运用这些规律解决问题。

5.抽象思维能力的发展：学生能够从具体实例中抽象出数学概念，理解二项分布的数学本质，并将其应用于实际问题。

1.学生能够描述二项分布的适用条件，即试验次数固定、每次试验只有两种可能结果、试验结果相互独立。

2.学生能够根据实际问题，确定二项分布中的参数p和q，即成功概率和失败概率，并进行相应的概率计算。

3.学生掌握了二项分布的概率计算公式，并能运用该公式计算特定情况下的概率，如恰好发生k次成功的概率、至少发生k次成功的概率等。

4.学生能够利用二项分布解决实际问题，如分析产品合格率、疾病检测准确率等，将实际问题转化为数学模型，并运用二项分布进行数据分析。

5.学生通过练习题和课后作业，巩固了二项分布的计算方法，并在解决实际问题的过程中，培养了数学建模素养。

1.学生小明在课后作业中遇到了一个关于产品检验的问题。他能够将问题抽象为二项分布模型，确定成功概率和失败概率，然后运用二项分布公式计算出在特定检验次数下，产品合格的概率。

2.学生小红在课堂练习中，通过小组讨论和教师的指导，掌握了二项分布公式的推导过程。她不仅能够解决练习题，还能向其他同学解释公式中的每一步推导。

3.学生小李在课堂实验中，使用硬币进行独立重复试验，通过观察和记录试验结果，加深了对二项分布的理解。他能够将试验结果与理论概率进行对比，进一步验证二项分布的准确性。重点题型整理题型一：计算恰好发生k次成功的概率

例题1：某产品的合格率为90%，现从该产品中随机抽取10件进行检验，求恰好有9件合格的概率。

解答：设合格为成功，不合格为失败，则成功概率p=0.9，失败概率q=0.1，试验次数n=10。恰好有9件合格的概率为：

P(X=9)=C(10,9)*p^9*q^1=10*0.9^9*0.1^1≈0.3487

题型二：计算至少发生k次成功的概率

例题2：某考生参加4次考试，每次考试及格的概率为80%，求该考生至少及格3次的概率。

解答：设及格为成功，不及格为失败，则成功概率p=0.8，失败概率q=0.2，试验次数n=4。至少及格3次的概率为：

P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=C(4,3)*p^3*q^1+C(4,4)*p^4*q^0

=4*0.8^3*0.2^1+1*0.8^4*0.2^0≈0.9472

题型三：计算不超过k次成功的概率

例题3：某篮球运动员投篮命中率为60%，在比赛中连续投篮5次，求该运动员至多命中3次的概率。

解答：设命中为成功，未命中为失败，则成功概率p=0.6，失败概率q=0.4，试验次数n=5。至多命中3次的概率为：

P(X≤3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)

=C(5,0)*p^0*q^5+C(5,1)*p^1*q^4+C(5,2)*p^2*q^3+C(5,3)*p^3*q^2

=1*0.4^5*0.6^0+5*0.4^4*0.6^1+10*0.4^3*0.6^2+10*0.4^2*0.6^3≈0.8280

题型四：二项分布的期望和方差

例题4：某产品的次品率为5%，从该产品中随机抽取20件进行检验，求抽检中次品数的期望和方差。

解答：设次品为成功，合格品为失败，则成功概率p=0.05，失败概率q=0.95，试验次数n=20。次品数的期望E(X)和方差D(X)分别为：

E(X)=n*p=20*0.05=1

D(X)=n*p*q=20*0.05*0.95≈0.95

题型五：二项分布的实际应用问题

例题5：某医院对一种新药进行临床试验，试验结果显示，该药治愈率为70%。现有一批患者共100人，求至少有60人被治愈的概率。

解答：设治愈为成功，未治愈为失败，则成功概率p=0.7，失败概率q=0.3，试验次数n=100。至少有60人被治愈的概率为：

P(X≥60)=P(X=60)+P(X=61)+...+P(X=100)

由于计算复杂，可以采用概率的互补事件来简化计算：

P(X<60)=P(X=0)+P(X=1)+...+P(X=59)

然后使用1-P(X<60)来求解P(X≥60)。

补充说明：

1.在计算二项分布概率时，要注意使用组合数C(n,k)来表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。

2.在解决实际问题时，要根据具体情况确定成功和失败的定义，从而得到正确的概率p和q。

3.对于计算至少发生k次成功的概率，可以采用累加的方法将所有大于等于k次的概率相加，也可以使用1减去所有小于k次的概率来简化计算。

4.二项分布的期望和方差公式在实际应用中非常有用，它们可以帮助我们了解随机变量的平均水平和波动程度。

5.在处理二项分布的实际应用问题时，要注意问题的具体情况，合理选择计算方法，避免复杂的计算过程。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.采用线上线下混合教学模式，提高学生自主学习能力。通过发布预习资料，引导学生课前自主学习，培养学生自主学习的能力。

2.利用实物演示和数学软件，增强学生对概念的理解。通过实物演示和数学软件的运用，帮助学生更直观地理解二项分布的概念，提高学生的理解能力。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生在二项分布的实际应用方面存在困难。在